Правила выводов логики высказываний.
Правило вывода – это предписание, или разрешение позволяющее из суждения 1-ой логической структуры, как посылок, вывести суждения некоторой логической структуры, как заключения.
Особенности правил заключения в том, что признаки истинности заключения производятся на основе не содержания, а их структуры. Правила вывода записываются в виде схемы, которая состоит из 2-х частей (сверху и снизу), разделённых вертикальной линией. Над чертой в столбец записываются логические схемы посылок, под чертой логические схемы заключения.
Все правила выводов логики высказываний делятся на 2-е группы:
Основные и Производные.
- Основные – это простые и очевидные правила, не нуждающееся в доказательстве. Основные делятся на прямые и косвенные.
· Прямые – это такие правила, которые указывают на непосредственно выводимость одних суждений из других.
· Косвенные – лишь дают возможность умозаключить о правомерности вывода одних суждений из других.
- Производные - сокращённый процесс вывода, выводятся из основных.
Основные прямые.
Введение конъюнкции: А , В
А ⋀ В
Удаление конъюнкции: А ⋀ В
А , В
Введение дизъюнкции: А В
А ⋁ В А ⋁ В
Удаление дизъюнкции: А ⋁ В
Ā .
В
Удаление импликации: А ⊃ В
А .
В
Введение отрицания/удаление: А ; Ǟ
Ǟ ; А
Введение эквивалентности: А ⊃ В, В ⊃ А
А <--> В
Удаление эквивалентности: А <--> В
А ⊃ В, В ⊃ А
Основные непрямые.
Особенностью является то, что заключение с очевидностью не следует из посылок, и поэтому прибегают к дополнительным условиям.
Введение импликации.
1.А ⊃ В
2.А – допущение
3.В ⊃ С
4.В – удаление импликации 1,2
5.С – удаление импликации 3,4
6.А ⊃ С введение импликации 2,5.
Правило сведения к абсурду – если из посылок и допущения, в ходе рассуждения или доказательства выводятся 2-а противоречащих друг другу высказываний В и не В, то в заключении можно записать не А. В (не В)
В
Ā
Производные.
Правило условного (гипотетического) силлогизма:
| А ⊃ В В ⊃ С А ⊃ С | 1.А ⊃ В 4. В – удал.имплик.1,3. 2.В ⊃ С 5. С – удал.имплик.2,4. 3. А – доп. 6. А ⊃ С введ.имплик.3,5. |
Отрицание дизъюнкции:
| А ⋁ В А ⋀ В | 1. А⋁ В 4. А – свед.к абсур.1,3 |
Отрицание конъюнкции:
| А⋀В А ⋁ В | 1. А⋀В 5. В - уд.коньюнк. |
Правило модус толенс:
| А ⊃ В В А | 1. А ⊃ В 4. В – уд.импл.1,3 2. В 5.А – свед.к абсур.2,4 3. А – допущ. |
Правило контрапозиции:
| А ⊃ В ß ⊃ А | 1. А ⊃ В 3. А – модус тол.1,2 2. В- допущ. 4. ß ⊃ А – введ.имплик.2,3 |
Сложная контрапозиция:
| (А ⋀ В) ⊃ С (А ⋀С)⊃В | 1. (А ⋀ В) ⊃ С 5. А⋀ß отр.антицид.1,4 2. А ⋀ С – доп. 6. А ⋁ В- отр.кон.5 3. А 7. А – введ.отриц.3 4. С -уд.коньюн.2 8. В- уд.дизьюнк. 9. (А ⋀ С) ⊃ В введ.импл.2,8. |
Правило импортации.
| А ⊃ (В ⊃ С) (А ⋀ В) ⊃ С | 1. А ⊃ (В ⊃ С) 5. В ⊃ С –уд.имплик.1,3 2. А ⋀ В – доп. 6. С – уд.имплик.4,5 3. А 7. (А ⋀ В) ⊃ С – введ. 4. В - удал.коньюнк имплик.2,6. |
Правило экспортации:
| (А ⋀ В) ⊃ С А ⊃ (В ⊃ С) | 1. (А ⋀ В) ⊃ С 5. С – уд.импл.4,5 2. А – допущ. 6. В ⊃ С – введ.импл.3,5 3. В – допущ. 7. А ⊃ (В ⊃ С) – введ. 4. А ⋀ В – введ.конъюн.4,5 имплик.2,6. |
Простая конструктивная диллема:
| А ⊃ С В ⊃ С А ⋁ В С | 1. А ⊃ С 5. Ā – модус толен.1,4 2. В ⊃ С 6. ß- модус толен.2,4 3. А ⋁ В -+ посыл. 7. В – уд.дизъюн.3,5 4. Č – допол. 8. С – свед.к абс.6,7 |
Сложная конструктивная дилемма:
| А ⊃ В С ⊃ D А ⋁ С B ⋁ D | 1.А ⊃ В 7. А ⊃(B ⋁ D) – введ.импл.4,6 2.С ⊃ D 8. С – допущ. 3.А ⋁ С 9. D – уд.импл.2,8 4.А – доп 10. B ⋁ D – введ.дизъюн.9 5.В – уд.импл.1,4 11. С ⊃(B ⋁ D) – введ.импл.8,10 6. B ⋁ D – введ.диз.5 12. B ⋁ D – прост.констр.дилем. |
Простая деструктивная дилемма:
| А ⊃ В А ⊃ D В⋁D А | 1.А ⊃ В 4. В ⊃ А 2.А ⊃ D 5. D ⊃ А - контр.поз.2,3 3. В⋁D 6. А – прост.констр.дил.3,4,5 |
Сложная деструктивная дилемма:
| А ⊃ В С ⊃ D В⋁D А⋁С | 1.А ⊃ В 4. В ⊃ А 2.С ⊃ D 5. D ⊃ С пр.констр.дил.2,3 3.В⋁D 6. А⋁С – сл.конст.дил.3,4,5 |
Импликация через конъюнкцию
| А ⊃ В А⋀В | 1. А ⊃ В 4. ß- уд.кон.2 2. А ⋀ ß- доп. 5. В – уд.импл.1,3 3. А – уд.кон.2 6. А⋀В - свед.к абсур.4,5 |
Вопросы для самоконтроля:
1. В чем различие между суждениями, вопросами и нормами?
2. Каков состав и каковы виды атрибутивных суждений?
3. Каковы виды суждений об отношениях?
4. Каковы виды сложных суждений?
5. Как производится отрицание атрибутивных суждений и суждений об отношениях?
6. Как отрицаются сложные суждения?
7. Каковы основные виды отношений между суждениями?
8. Отношения между какими суждениями выражаются посредством логического квадрата?
9. Как выражаются на языке логики предикатов атрибутивные суждения и суждения об отношениях?
10. Какие вопросы являются некорректными? Назовите виды некорректности вопросов.
11. Как соотносятся понятия “обязательно”, “разрешено” и “запрещено”.
Задания для самостоятельной работы:
I. Являются ли суждениями следующие предложения?
1. Урал находится от нас далеко.
2. По дорожке чистой, гладкой
Я прошел, не наследил...
Кто ж катался здесь украдкой?
Кто здесь падал и ходил?
(С.Есенин)
3. Без экспериментов невозможен научно-технический прогресс.
4. Современный физический или биологический эксперимент часто дает столько информации, что обработать ее без ЭВМ практически невозможно.
5. Он сегодня не явился на работу.
6. Какой студент не мечтает получить на экзамене хорошую оценку?
7. Необходимо активнее внедрять информатику и вычислительную технику в учебный процесс.
8. Спать! Выключи свет!
9. Что день грядущий мне готовит?
10. Куда там сейчас ехать? Разве отсюда выберешься? (К.Паустовский).
11. У лесного оврага в тени под дубками цветут ландыши и земляника.
12. Евгений ждет: вот едет Ленский
На тройке чалых лошадей,
Давай обедать поскорей!
«Ну, что соседки?
Что Татьяна?
Что Ольга резвая твоя?»
(А.С.Пушкин)
II. Определите вид, термины суждения и их распределенность в следующих рассуждениях:
1.Некоторые подлежащие выражаются местоимениями в именительном падеже.
2. Некоторые школьники не изучают второй иностранный язык.
3. Гранит широко используют в строительстве.
4. Ни один дельфин не является рыбой.
5. Стендаль — автор романа «Красное и черное».
V. Зная распределенность терминов в простом атрибутивном ассерторическом суждении, постройте правильно мысль:
5.1. Шоссе (S+), дорога с твердым покрытием (P-);
5.2. Русский ученый (S-), лауреат Нобелевской премии(P-);
5.3. Пантера(S+), травоядное животное (P+);
5.4. Глава Правительства(S+), руководитель высшего органа исполнительной государственной власти(P+);
5.5. Писатель(S-), драматург(P+).
IV. Определите вид и логическую форму следующих сложных суждений
и запишите их структуру формулой.
1. «Детская душа в одинаковой мере чувствительная и к родному слову, и к красоте природы, и к музыкальной мелодии. Если в раннем детстве донести до сердца красоту музыкального произведения, если в звуках ребенок почувствует многогранные оттенки человеческих чувств, он поднимается на такую ступеньку культуры, которая не может быть достигнута никакими другими средствами» (В.А.Сухомлинский).
2. Чем больше крови протекает через сосудистую систему за единицу времени, тем обильнее снабжение органов кислородом и питательными веществами, тем больше продуктов жизнедеятельности оттекает от тканей.
3. Если человек любит цветы, он всегда будет к ним бережно относиться: будет поливать их, подвязывать стебли, обрывать сухие листья.
4. «Если наши дети — это наша старость, то правильное воспитание —это наша счастливая старость, плохое воспитание — наше горе, это наши слезы, это наша вина перед другими людьми» (А.С.Макаренко).
V. Определите вид модальности в следующих суждениях:
1. Доказано, что S= п• R2 где S - площадь круга, а R — его радиус.
2. Внедрение вычислительной техники невозможно без обучения людей, которые будут ее использовать.
3. Необходимо, чтобы космос был мирным.
4. Возможно, завтра будет хорошая погода, и мы пойдем на экскурсию в лес.
5. Дети дают нам возможность оставить свой след на земле — в их памяти, в их деятельности, в традиции и знаниях, которые мы им передаем.
VI. Являются ли законами логики следующие формулы:
6.1.((p → q) ^ q) → q.
6.2. ( p V q V r ) = p ^ q ^ r.
6.3. (( p → q) ^ ( p → r) ^ ( q V r )) → p
6.4. ((p → q) ^ ( r → s) ^ ( p V r)) → ( q Vs).
VII. Средствами таблично построенной логики высказываний установите, является ли правильным следующее рассуждение.
7.1. Установлено, что преступление могли совершить Смит, Джонс или Браун. Известно, что Джонс никогда не совершает преступления без Брауна. Следовательно, если Браун не совершал преступления, то его совершил Смит.
7.2. Если человек удовлетворен работой и счастлив в семейной жизни, то у него нет причин жаловаться на судьбу. У этого человека есть причина жаловаться на судьбу. Значит, он либо удовлетворен и счастлив в семейной жизни, либо счастлив в семейной жизни, но не удовлетворен работой.
7.3. Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других. Этот человек не говорит не правду, но явно не заблуждается. Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других.
VIII. Средствами таблично построенной логики высказываний установите, в каких отношениях находятся следующие высказывания:
8.1. Договаривающиеся стороны не имеют претензий друг к другу или они договариваются о расчете.
Если они договариваются о расчете, то они заключили новый договор или имеют претензии друг к другу.
8.2. Если философ является дуалистом, то он не идеалист.
Если философ не идеалист, то он диалектик или метафизик.
8.3. Если человек совершил преступление, то он подлежит привлечению к уголовной ответственности.
Если человек совершил преступление и это доказано, то он подлежит привлечению к уголовной ответственности.
Человек совершил преступление, но он не подлежит привлечению к уголовной ответственности.
Глава V. УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ как форма мысли.
Умозаключение - это такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам вывода получаем новое суждение, называемое заключением.
Аристотель приводил такой пример умозаключения: "Все люди смертны" и "Сократ - человек" - посылки. "Сократ смертен" - заключение. Переход от посылок к заключению происходит по ПРАВИЛАМ ВЫВОДА и законам логики.
ПРАВИЛО 1: Если посылки умозаключения истинны, то истинно и
заключение.
ПРАВИЛО 2: Если умозаключение справедливо во всех случаях, то оно справедливо и в каждом частном случае. (Это правило ДЕДУКЦИИ - переход от общего к частному.)
ПРАВИЛО 3: Если умозаключение справедливо в некоторых частных случаях, то оно справедливо во всех случаях. (Это правило ИНДУКЦИИ - переход от частного к общего.)
Цепи умозаключений складываются в РАССУЖДЕНИЯ и ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, в которых заключение предшествующего умозаключения становится посылкой следующего. Условием правильности доказательства является не только истинность исходных суждений, но и истинность каждого входящего в его состав умозаключения. Доказательства должны быть построены по законам логики:
1. ЗАКОН ТОЖДЕСТВА. Всякая мысль тождественна самой себе, т.е. субъект рассуждений должен быть строго определен и неизменен до их окончания. Нарушением этого закона является подмена понятий (часто используется в адвокатской практике).
2. ЗАКОН НЕПРОТИВОРЕЧИЯ. Два противоположных суждения не могут быть одновременно истинны: по крайней мере одно из них ложно.
3. ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО. Истинно либо суждение, либо его отрицание ("третьего не дано").
4. ЗАКОН ДОСТАТОЧНЫХ ОСНОВАНИЙ. Для истинности всякой мысли должно быть достаточно оснований, т.е. умозаключение необходимо обосновать исходя из суждений, истинность которых уже доказана.
Познакомимся с некоторыми интересными видами умозаключений:
ПАРАЛОГИЗМ - умозаключение, содержащее непреднамеренную ошибку. Такой вид умозаключений часто встречается в ваших контрольных работах.
СОФИЗМ - умозаключение, содержащее преднамеренную ошибку с целью выдать ложное суждение за истинное.
Попробуем, например, доказать, что 2 х 2 = 5:
4/4 = 5/5
4(1/1) = 5(1/1)
4 = 5.
ПАРАДОКС - это умозаключение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения.
Например:
Генерал и брадобрей. Каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого солдата. Генерал приказал выделить одного специального солдата-брадобрея, у которого брились бы только те солдаты, которые себя не бреют. Кто должен брить солдата-брадобрея?
В логике исследуются умозаключения, осуществляемые на основе или с использованием особенностей логических форм посылок и заключений. Умозаключение содержит в своем составе суждения (а, следовательно, и понятия), но не сводится к ним, а предполагает еще их определенную связь. Благодаря этому и образуется особая форма с ее специфическими функциями. Формально - логический анализ этой формы означает ответ на следующие основные вопросы: в чем сущность умозаключенийи какова их роль и структура; что представляют собой их основные типы; в каких взаимоотношениях между собой они находятся; наконец какие логические операции с ними возможны. Значение подобного анализа определяется тем, что именно в умозаключениях (и основанных на них доказательствах) сокрыта "тайна" принудительной силы речей, которая поражала людей еще в древности и с постижения которой началась логика как наука. Именно умозаключения обеспечивают то, что мы называем в настоящее время силой логики. Вот почему нередко логику именуют наукой о выводном знании. И в этом есть значительная доля истины. Ведь анализ понятий и суждений, хотя и важен сам по себе, но в полной мере раскрывает все свое значение лишь в связи с их логическими функциями по отношению к умозаключениям (а значит, и доказательствам). Мы рассмотрим умозаключениев двух соотношениях: 1) как форму отражения действительности, и 2) как форму мышления, так или иначе воплощенную в языке.
Чтобы уяснить происхождение и сущность умозаключениянеобходимо сопоставить два рода знаний, которыми мы располагаем и пользуемся в процессе своей жизнедеятельности, - непосредственные и опосредственные. Непосредственные знания - это те, которые получены нами с помощью органов чувств: зрения, слуха, обоняния и т. д. Таковы, например, знания выраженные суждениями типа «трава зеленная», «снег бел», «небо голубое», «цветок пахнет», «птицы поют». Они составляют значительную часть всех наших знаний в процессе отражения объективного мира сознанием человека и служат их базой. Однако далеко не обо всем на свете мы можем судить непосредственно. Например, никто никогда не наблюдал, что в районе Москвы некогда бушевало море. А знание об этом есть. Оно получено из других знаний. Дело в том, что в Подмосковье обнаружены большие залежи белого камня. Он образовался из скелетов бесчисленных мелких морских организмов, которые могли накапливаться лишь на дне моря. Так был сделан вывод о том, что примерно 250 - 300 млн. лет назад Русскую равнину, на которой расположена и Московская область, заливало море. Подобные знания, которые получены не прямо, непосредственно, а опосредственно, т. е. путем выведения из других знаний, называются опосредственными (или выводными). Логической формой их приобретения и служит умозаключение.В самом общем виде, под ним разумеется форма мышления, посредством которой из известного знания выводится новое знание. Существование такой формы в нашем мышлении, как и понятия и суждения, обусловлено самой объективной действительностью. Если в основе понятия лежит предметный характер действительности, а в основе суждения - связь (отношение) предметов, то объективную основу умозаключениясоставляет более сложная взаимная связь предметов, их взаимные отношения. Так если один класс предметов (А) входит целиком в другой (В), но не исчерпывает его объема, то означает необходимую обратную связь: более широкий класс предметов (В) включает в себя менее широкий (А) как свою часть, но не сводится к нему. Это видно из схемы: В А А В. Например: "Все ученые - умные люди", это означает: "Некоторые умные люди - ученые". Или более сложный случай взаимосвязи предметов мысли: если один класс предметов (А) входит в другой (В), а этот, в свою очередь, входит в третий (С), то отсюда следует, что первый (А) входит в третий (С). На схеме: В С В С А А Пример: "М. Ломоносов - ученый, а все ученые - умные люди, то М. Ломоносов - умный человек". Такова объективная возможность умозаключений - это структурный слепок с самой действительности, но в идеальной форме, в форме структуры мысли. А их объективная необходимость, как и понятий и суждений, тоже связана со всей практикой человечества. Удовлетворение одних потребностей людей и возникновение на этой основе других требует прогресса общественного производства, а он, в свою очередь, немыслим без прогресса знаний. Необходимым связующим звеном в осуществлении этого прогресса и выступают как одна из форм перехода от известных знаний к новым.