Функция плотности вероятности двумерного случайного вектора
Рассмотрим систему двух случайных величин Х, Y. На плоскости X0Y выделим прямоугольник со сторонами Dx и Dy, примыкающий к точке с координатами (х,y) (рис.60). Вероятность попадания в этот прямоугольник равна:
P[x£X<(x+Dx), y£Y<(y+Dy)] = F(x+Dx, y+Dy)-F(x+Dx,y)-F(x,y+Dy)+F(x,y).
Рис.59 Рис.60
Разделим эту вероятность на площадь прямоугольника и перейдем к пределу при Dx®0 и Dy®0;
Если F(x,y) непрерывна и дифференцируема, то правая часть представляет собой вторую смешанную частную производную функции F(x,y) по x и по y:
Функция f(x,y) называется плотностью распределения (плотностью вероятности) системы случайных величин.
Для системы случайных величин элемент вероятности f(x,y) dxdy- вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами dx, dy, примыкающий к точке (x,y). Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью f(x,y) и опирающегося на элементарный прямоугольник dxdy. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область D равна интегралу элементов вероятности по всей области D.
Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный абсциссами Х1, Х2 и ординатами Y1, Y2 равна
Рассмотрим основные свойства плотности вероятности.
1. Плотность вероятности системы случайных величин - функция неотрицательная
f(x,y)³0.
Это ясно из того, что плотность вероятности есть предел отношения двух неотрицательных величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника.
2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности системы двух случайных величин равен единице:
3. Одномерные плотности вероятности по двумерной плотности можно определить с помощью следующих формул:
Зависимые и независимые случайные величины. При изучении системы случайных величин часто возникает необходимость выяснить характер взаимной зависимости этих величин.
Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла случайная величина Х. Зависимость величин всегда взаимная. Если величина Yне зависит от Х, то и величина Хне зависит от Y. Зависимость между случайными величинами можно охарактеризовать с помощью условных законов распределения.
Условным законом распределения величины Y, входящей в систему XY называется ее закон распределения при условии, что другая величина Xприняла определенное значение. Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью вероятности. Условная функция распределения случайной величины y обозначается F(y/x). Условная плотность вероятности - f(y/x).
Для независимых случайных величин f(x,y)=f(x)×f(y).