Метод минимизации ФАЛ по Квайну 1 страница
Определение: Тупиковой ДНФ называется дизъюнкция простых импликант, ни одну из которых из выражения функции исключить нельзя.
Этот метод минимизации ФАЛ заключается в следующем:
1. Находят Сок. ДНФ.
2. Находят все возможные тупиковые ДНФ.
3. Из найденных ТДНФ выбирают минимальную.
Иногда в Сок. ДНФ содержатся лишние импликанты. Как уже видели в сокращенной ДНФ:
f(Х1, Х2, Х3)= Х1Х3 
Х2Х3 Х1Х2
импликанта Х2Х3 может быть исключена. Ни одной операции склеивания и поглощения к этой форме применить нельзя, т.к. это Сок. ДНФ, т.е. дизъюнкция простых импликант. Можно применить операцию развертывания по Х1:
f= Х1Х3 Х2Х3 (Х1 Х1) Х1Х2 = Х1Х3 Х1Х2 Х3 Х1Х2 Х3 Х1Х2
Т.к. Х1Х3 покрывает Х1Х2Х3
и Х1Х2 покрывает Х1Х2Х3, то f= Х1Х3 Х1Х2
ТЕОРЕМА:
Всякая минимальная ДНФ является тупиковой. Обратное утверждение не справедливо. Доказательство очевидно.
Из этой теоремы вытекает важное следствие: Для того чтобы найти минимальную ДНФ, нужно найти все тупиковые формы и среди них взять минимальную.
Существует несколько различных способов отыскания тупиковых форм.
| В данной лекции представлены способы минимизации на основе метода проб, метода Квайна-Мак-Класки, на основе минимизирующих диаграмм для функции 2-х, 3-х, 4-х переменных (диаграммы Вейча). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим произвольную ДНФ. Если в ней выбросить любое произведение, то оставшееся выражение будет принимать нулевое значение на тех наборах, что и исходная форма, т.к. x1  1 x2 2 ... xi i = 0 только тогда все члены x1 1 x2 2 ... xi i = 0. Однако, если отброшенное произведение (импликанта) обращалось в единицу, и функция принимала единичное значение на этом единственном наборе, то оставшееся выражение может уже не принять единичное значение на данном наборе. Это означает, что импликанта не была лишней. Если же с помощью проверки установить, что оставшееся выражение обращается в единицу, импликанта – лишняя, и ее можно отбросить. Пример 1: Пусть дана f(x1x2x3) = x1x2 x1x3 x2x3 1. Отбросим член x1x2: fl = x1x3 x2x3 x1x2 = 1 => x1 = 0, x2 = 0 fl = 0*x3 1*x3 = x3 Т.к. x3 1 то x1x2 исключить нельзя 2. Отбросим член x1x3: fll = x1x2 x2x3 x1x3 = 1 => x1 = 1, x3 = 1 fll = 0*x2 x2 * 1 1 => x1x3 исключить нельзя. 3. Отбросим член x2x3: flll = x1x2 x1x3; x2x3 = 1 => x2 = 0, x3 = 1 flll = x1 x1 *1 = 1 => x2x3- член лишний. Если проверка показывает, что несколько импликант одновременно являются лишними, то исключить их одновременно из выражения ДНФ нельзя. Это можно выполнять лишь поочередно. Пример 2: f(x1x2x3x4) = x1x3x4 x2x3x4 x1x2x4 x1x2x3 x2x3x4 1. испытаем 1 член: x1x3x4 = 1; x1 = 0; x3 = 1; x4 = 1 f(x1x2x3x4) = x2 0 0 0=x2 Т.е. член x1x3x4 исключить нельзя. 2. испытаем 2 член: x2x3x4 = 1; x2 = 0; x3 = x4 = 1 f(x1x2x3x4) = x1 x1 0 0 = 1 Т.е. член x2x3x4 лишний. 3. испытаем 3 член: x1x2x4 ; x1 = 1; x2 = 0 x4 = 1 f(x1x2x3x4) = 0 x3 x3 0 = 1 Т.е. член x1x2x4 лишний. 4. испытаем 4 член: x1x2x3 ; x1 = 1; x2 = x3 = 0 f(x1x2x3x4) = 0 0 x4 x4 = 1, Т.е. член x1x2x3 лишний. 5. испытаем 5 член: x2x3x4 ; x2 = x3 = x4 = 0 f(x1x2x3x4) = 0 0 0 x1 = x1, Т.е. член x2x3x4 лишний. Исключим одновременно члены 2, 3, 4 f = x1x3x4 x2x3x4 Проверим значения f одновременно на тех наборах, на которых обращаются в единицу все отброшенные члены. x2x3x4; x1x2x4; x1x2x3; => x1x3x4 x2x3x4 x1x2x3
x1x2x4 x1x2x3 x2x3x4 Проверим, не являются ли в этом выражении лишними те члены, которые оказались лишними в исходном выражении, т.е.: x1x2x4 и x1x2x3. 1. проверим x1x2x4: x1 = 1; x2 = 0; x4 = 1 f(x1x2x3x4) = 0 x3 0 = x3 т.е. член x1x2x4 не лишний 2. проверим x1x2x3: x1 = 1; x2 = x3 = 0 f (x1x2x3x4) = 0 x4 x4 = 1, т.е. член x1x2x3 лишний, Поэтому f(x1x2x3x4) = x1x3x4 x1x2x4 x2x3x4 - тупиковая форма. Проверяя затем, начав с исключения третьего члена, получим другую тупиковую форму. Затем выберем из них минимальную. Недостаток метода заключается в том, что при большом числе членов он становится громоздким, поскольку связан с перебором различных вариантов. Машинная реализация данного метода вследствие этого сложна. При автоматизации поиска минимальных форм метод практически не используется. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Метод Квайна – Мак – Класки Основное неудобство метода Квайна состоит в том, что при поиске простых импликант необходимо производить попарные сравнения вначале всех конститутент единицы, затем полученных в результате склеивания произведений. С целью упрощения этой процедуры Мак – Класки предложил алгоритм, существо которого сводится к следующему: 1. вводится понятие цифрового эквивалента для каждого произведения по следующему правилу: некоторому произведению ставится в соответствие цифровой эквивалент с использованием цифр 0 и 1 и – (прочерк). Переменной, входящей в произведение в прямом виде ставится в соответсвие единица (1), в инверсном – нуль (0), отсутствие переменной обозначается прочерком; 2. в любом произведении переменные располагаются только в одном порядке, а именно – по возрастанию индексов; 3. склейке подлежат только те произведения, в которых прочерки расположены соответственно, количество нулей (или единиц) отличается на единицу и они расположены так же соответственно. Пример: Произведению x1x2x4 для функции, зависящей от пяти переменных нужно поставить в соответствие следующий цифровой набор: x1x2x4: 11-0- Приведем графическое изображение процесса поиска простых импликант для функции, представленной в следующей СДНФ: f(x1x2x3x4) = x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 запишем выражение функции в виде дизъюнкции цифровых эквивалентов: f(x1x2x3x4) = 1101 1010 0101 1000 При графическом способе отыскания простых импликант вначале все цифровые наборы разбивают на группы и располагают эти группы в следующем порядке: вначале идет группа цифровых эквивалентов, содержащих только нули (такой набор может быть один), затем следует группа с наборами, содержащими по одной единице, затем по две и т.д. Сравнением наборов соседних групп устанавливается возможность склейки, делается необходимая пометка и пишется результат склейки. Процесс продолжается до тех пор, пока возможны склейки. Все несклеенные наборы, а также конечные результаты склейки дают простые импликанты. Расшифровка полученных цифровых эквивалентов - очевидна. Для нашего примера это выглядит так:
Итак, простые импликанты: 10-0 и -101, т.е. f(x1x2x3x4) = x1x2x4 Метод импликантных матриц Для поиска минимальной формы функции пользуются методом импликантных матриц. Существо метода заключается в следующем: составляется импликантная матрица, колонки которой именуются конституентами единицы, а строки – простыми импликантами. Затем находится минимальное покрытие всех конституент единицы простейшими импликантами. При этом ищется такая минимальная совокупность простых импликант, которые совместно покрывают все конституенты единицы исходной функции. Факт покрытия отмечается в клетке матрицы символом * (звездочка) в случае, когда импликанта покрывает соответствующую конституенту (является ее собственной частью). Из всех простых импликант выбираются вначале только такие, которые только одни покрывают конституенты единицы (в колонке матрицы только один символ покрытия), затем производится перебор. Пример:
Из матрицы видно, что в минимальную форму функции обязательно войдут импликанты n (покрывает конституенту F), импликанта r (покрывает конституенту D). То же справедливо отностительно импликанты p. Что касается остальных, то нужно выбрать минимальную совокупность. Итак: f1min = n f2min = n Т.е. данная функция имеет две одинаково минимальные формы. Замечание: важным обстоятельством, усложняющим минимизацию функций, является присутствие перебора различных вариантов при поиске оптимального покрытия. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Минимизирующие диаграммы Этот метод графической минимизации был изложен Карно, который ввел в употребление специальные карты. Эти карты позволяют для функции, зависящей от небольшого числа аргументов (до пяти - шести) находить результаты всех возможных склеек. Карты впоследствии были усовершенствованы Вейчем, а сам метод иногда именуется как метод минимизации с помощью диаграмм Вейча. Рассмотрим существо способа для функций, зависящих от 2, 3 и 4-х переменных. Функции 2-х переменных  Диаграмма – матрица, столбцам и строкам которой приписывается смысл переменных, входящих в функцию в прямом или инверсном виде. В клетках матрицы ставится произведение, образованное из букв, которыми названы строки и столбцы матрицы. Обратим внимание на то, что данная матрица сразу указывает на возможную склейку произведений, входящих в выражение функции. Так склейке подлежат все произведения, расположенные в соседних по вертикали и горизонтали клетках.
xy xy  Выделим в диаграмме соседние единицы, и результат склейки дает минимальную форму функции: fmin(x,y) = x y Заметим, что результатом склейки является результат покрытия конституент единицы исходной функции простыми импликантами. В данном случае переменными, которыми названы строки и столбцы диаграммы. Функции 3-х переменных Для минимизации функций, зависящих от трех переменных, применяется следующая диаграмма:  Из диаграммы видно, что склейке подлежат все произведения, расположенные в соседних клетках, а также в клетках, расположенных на краях диаграммы. Результат склейки – есть произведения, содержащее на одну букву меньше. Видно также, что возможна и дальнейшая склейка, однако уже между произведениями, расположенными во взаимно перпендикулярном направлении. Рассмотрим, например, левую половину диаграммы:
Склеим попарно произведения, стоящие в строках:
Теперь видим, что можно произвести дальшейшую склейку, но произведений, стоящих в столбцах матрицы:
Как видно, результат склейки – произведение x2. Именно эта переменная покрывает все четыре конституенты единицы СДНФ функции. Подобное же утверждение справедливо и для конституент, расположенных в строках и столбцах диаграммы по краям таблицы. Таким образом, при поиске минимальной формы необходимо считать левый край таблицы склеенным с правым. Говорят, что для наглядности можно условно данную диаграмму представить нанесенной на поверхность цилиндра. Пример: f(x1x2x3) = x1x2x3
fmin(x1x2x3) = x3 Видим, что две единицы, соответствующие конституентам x1x2x3 и x1x2x3, покрываются произведением x1x2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функции 4-х переменных Для функций 4-х переменных применяются диаграммы следующего вида:  Все, что было сказано относительно функций 2-х, 3-х переменных справедливо и в данном случае. Но данная диаграмма обладает дополнительной особенностью: при поиске минимальной формы функции необходимо считать склееными правый край с левым и верхний с нижним. Говорят, что для удобства целесообразно считать данную диаграмму написанной на поверхность тора. Пример: f(x1,x2,x3,x4) = x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 Составим диаграмму:  fmin(x1,x2,x3,x4) = x1x4 x3x4 Заметим, что на основании свойства диаграммы четыре единицы, стоящие в угловых клетках диаграммы соответствуют конституентам, которые склеиваются между собой. Итак, дадим формализированное описание метода. Опредение. Правильной конфигурацией ранга К называется совокупность единиц (нулей), образующая прямоугольник площадью 2к. Для минимизации функции, зависящей от n аргументов, отыскиваются правильные конфигурации вначале n-1 ранга, затем n-2 ранга и т.д. Далее определяется накрытие найденных правильных конфигураций совместной проекцией соответствующих строк и столбцов, которая выделяет данную правильную конфигурацию.  Рис. 4.1. Определение правильных конфигураций C– правильная конфигурация A,B,D– проекции конфигурации А*В– результат склеек Свойства диаграмм Вейча С помощью диаграмм Вейча можно находить: 1. минимальную форму по СКНФ 2. минимальную форму по ДНФ и КНФ функции 3. все одинаково минимальные формы 4. минимальную форму неполностью определенных функций. Пусть f(x1x2x3) задана не в виде СДНФ, а в ДНФ: f(x1x2x3) = x1x2 x1x2x3 x1x2 Заполним соответствующую диаграмму:  Так как x1x2 = x1x2 (x3 x3) = x1x2x3 x1x2x3, то в соответствующие клетки диаграммы поставлены единицы. Поэтому: fmin(x1,x2,x3) = x2x3 x1x2 x1x2 Преимущество метода: простота и наглядность для небольшого числа аргументов. Недостатки: неприменяемость метода для большого числа аргументов (> 6) вследствие сложности диаграмм и потери наглядности. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| В лекции представлена минимизация неполностью определенных функций, дан синтез функций в базисах штрих Шеффера и стрелка Пирса, даны подходы к минимизации конъюнктивных форм. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Очень часто, если не в большинстве случаев, работа конкретного устройства описывается с помощью неполностью определенной функции, так как некоторые комбинации входных сигналов не подаются или являются запрещенными. Определение. Неполностью определенной функцией является такая переключательная функция, значения которой на некоторых наборах аргументов могут быть произвольными (т.е. равными "0" или "1"). Определение. Пусть функция f(x1,x2,...xn) не определена на "р" наборах аргументов. Тогда полностью определенную функцию (x1,x2,...xn) будем считать эквивалентной к f(x1,x2,...xn), если ее значения на тех наборах, на которых f(x1,x2,...xn) определена, совпадают. Очевидно, существует 2р различных функций, эквивалентных f(x1,x2,...xn). Задача минимизации f(x1,x2,...xn) состоит в выборе такой эквивалентной (x1,x2,...xn), которая имеет простейшую форму. Введем две вспомогательные эквивалентные функции 0(x1,x2,...xn), 1(x1,x2,...xn), которые принимают на запрещенных наборах аргументов значения 0 и 1 соответственно. ТЕОРЕМА. МДНФ неполностью определенной f(x1,x2,...xn) совпадает с дизъюнкцией самых коротких импликант 1(x1,x2,...xn), которые совместно накрывают все конституенты единицы 0(x1,x2,...xn), и ни одна из которых не является лишней. Пример: Пусть задана f(x1,x2,...xn) в виде следующей таблицы:
Тогда
а
Найдем простые импликанты
Простые импликанты
Построим импликантную матрицу.
Выполним оптимальное покрытие конституент единицы f1min(x1x2 x3 x4) = 11- - f2min(x1x2 x3 x4) = 11- - Минимизация с помощью диаграмм Вейча неполностью определенных функций в наглядной и удобной форме позволяет отыскать минимальные формы. Пример: Рассмотрим функцию f(x1x2 x3 x4) и найдем ее минимальную форму. Заполнить диаграмму Вейча по следующим правилам: в клетки диаграммы поставим единицы, которые соответствуют конституентам единицы, нули – для отсутствующих конституент и символ неопределенности – "*" (звездочка) – в остальные.
Видно, что в клетки для конституент: x1x2x3x4, x1x2x3x4, x1x2x3x4 целесообразно "поставить" единицы вместо символов неопределенности, так как в этом случае образуется правильная конфигурация 2-го ранга, которая покрывается произведением x2x3. Аналогично и в клетку x1x2x3x4 нужно "поставить" единицу. Итак, fmin(x1x2 x3 x4) = x2x3 Замечание. Все, что было сказано относительно минимизации функции, представленной в СДНФ или ДНФ справедливо для функции, заданной в СКНФ или КНФ. В этом случае необходимо отыскивать правильные конфигурации, образованные нулями. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Синтез переключательных функций в одноэлементном базисе Операция (стрелка) Пирса f8(x1,x2)
Эту функцию можем представить, записав по "единицам": f8(x1,x2) = x1x2 = x1 или x1 На основе принципа суперпозиции: f(x1,x2,...xn) = x1 Применяя правило де Моргана: x1 или: x1 т.е. x1 Рассмотрим некоторые соотношения для операции Пирса: x x1 x1 т.е. операция Пирса не обладает свойством ассоциативности x1 x1 При этом порядок выполнения операций в формулах, где есть операции Пирса такой: 1. раскрываются скобки 2. выполняются операции инверсии 3. выполняются операции Пирса Синтез логических функций в базисе Пирса удобно производить, имея запись функции в КНФ. Допустим, что ФАЛ задана в конъюктивной форме f = Q1Q2Q3 . . . Qn Подставим член Qi в виде: Qi = (xr Возьмем двойное отрицание от обеих частей этого равенства, применив правило де Моргана Qi = (xr Применяя соотношение, полученное на основе принципа суперпозиции: Qi = (xr Или, применяя это преобразование к исходной форме, получим: f = Q1 Итак: чтобы от КНФ перейти к базису Пирса и инверсии необходимо: 1. заменить операции дизъюнкции операциями Пирса 2. заменить операции конъюнкции операциями Пирса 3. заключить в скобки все те группы букв, которые соответсвуют конъюнктивным членам. Пример: f(x1x2 x3) = (x1 Замечание. Так как в этих произведениях число букв не увеличивается, и если исходная форма функции была минимальной, то вновь полученная также будет минимальной (в действительности дело обстоит сложнее, поскольку мы рассматриваем не базис " Принципиально можно избавиться от отрицаний, применив соотношение: xi = xi | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Операция штрих Шеффера
Заметим, что эта функция дуальна по отношению к f8, поэтому все свойства являются по существу дуально вытекающими из рассмотренных. f14 (x1,x2) = x1 x1| x2 = x1 на основе принципа суперпозиции: x1 | x2 | . . . | xn = x1x2...xn Рассмотрим некоторые эквивалентности: x | x = x x1 | x2 | x3 = (x1 x2)| x3 = x1| (x2 x3) x1 | x2 | x3| x4 = (x1 x2)| (x3 x4) Сформулируем правила перехода от ДНФ функции к выражению с использованием операции "Штрих Шеффера". 1. заменить все операции дизъюнкции на операции Шеффера 2. заменить все операции конъюнкции на операции Шеффера 3. группы букв, которые соответствуют дизъюнктивным членам, заключить в скобки. Пример: f(x1x2 x3) = x1x2 x3 То же самое можно утверждать относительно минимальной формы. В заключение необходимо отметить, что в настоящее время вопросы синтеза функций в одноэлементном базисе приобретают большое значение, так как соответствующие элементы используют операцию Пирса и Шеффера. Однако в полной мере теоретически методы синтеза разработаны не столь детально, как это сделано в базисе "и", "или", "инверсия". Минимальные конъюнктивные нормальные формы Как было отмечено, для получения минимальной формы функции нужно построить как МДНФ так и МКНФ. Рассмотрим построение МКНФ. В основном методы получения МКНФ аналогичны методам получения МДНФ и поэтому сформулируем лишь правила получения МКНФ: 1. Представить ФАЛ в СКНФ. Если она задана таблицей, то произвести запись функции по нулям, как это было сформулировано ранее. Если дана СДНФ, то из нее легко получить СКНФ: f(x1x2x3) = x1x2x3 т.е. нужно функцию представить в виде конъюнкции недостающего числа дизъюктивных членов с соответсвенно расставлеными отрицаниями. 2. При задании функции в произвольной конъюктивной форме, применяя формулы развертывания: x = (x . . . . . . . . . . . ., получить СКНФ. 3. Выполнить все операции неполного склеивания: (x и поглощения: x(x 4. Применить любой из методов минимизации: испытание членов, диаграммы Вейча, метод импликантных матриц. o При выполнении метода испытания членов необходимо каждый конъюктивный член приравнять нулю. Найти значения аргументов, которые обращают его в нуль, удалить его из выражения функции и найти значение функции при найденных значениях аргументов. Если функция обратится в нуль, то конъюктивный член является лишним. По возможности отбросить одновременно несколько членов, поступить как и при минимизации функции ДНФ. o При использовании диаграмм Вейча ищутся правильные конфигурации, образованные нулями. o При применении метода импликантных матриц поступают как и в случае ДНФ, только колонкам присваивают имена конституент "0" функции, записанной в СКНФ, а горизонтальным рядам – простых импликант. Далее ищут оптимальное покрытие. Наши рекомендации |
