Основные характеристики прибора и точность измерений

3.1.1. Основные определения и формулы

Количественную определенность какого-либо свойства объекта позволяет установить измерительный эксперимент. При этом требуется получить результат с желаемой точностью. Точность – качество, отражающее близость к нулю погрешности измерения, а потому выражаемое количественно величиной максимально возможных погрешностей. Общая погрешность обусловлена множеством различных причин и может быть представлена суммой отдельных составляющих, которые по причине возникновения делятся на инструментальные, методические и субъективные. Субъективные погрешности непредсказуемы и предварительному расчету не подлежат. Все рассчитываемые погрешности выражают через а) абсолютную, б) относительную и в) приведенную погрешности:

а) абсолютная D_п – разность между показаниями прибора Хп и действительным значением измеряемой величины Xд (Xд определяется экспериментально, например, с помощью образцового прибора):

D_п = Х_п – X_д; (3.1)

б) относительная d – отношение абсолютной погрешности к действительному значению Xд :

d = ( D_п / X_д )* 100%;(3.2)

Во многих практических случаях допустимо абсолютную погрешность относить к показанию прибора Xп:

d = ( D_п / X_п )* 100%;(3.3)

в) приведенная g – отношение абсолютной погрешности к нормируемому значению шкалы X_N:

g = ( D_п / X_N)* 100%.(3.4)

Для приборов с равномерной или степенной шкалой X_N обычно принимается равным конечному значению рабочей части шкалы, т.е. верхнему пределу измерения, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы.

Приведенная погрешность не является непосредственным показателем точности измерений, проводимых с помощью данного прибора (См. пример 3.1), однако позволяет оценить точность самого средства измерения, а потому отображается на его класс точности (К » g).

По классу точности показывающих приборов можно определить их наибольшую абсолютную погрешность Dп, которую может иметь прибор в любой точке шкалы (без учета знака). Так, например, при использовании вольтметра со шкалой 0-50 В (Uн = 50 В) класса точности Кv = 1,0 на любой отметке его шкалы основная абсолютная погрешность DUv не превышает значения

DUv £ ±Kv*Uн /100% = ± 1,0*50/100% = ± 0,5 В.

Зная абсолютную погрешность прибора, всегда можно определить его относительную погрешность, если известны его показания. Пусть с помощью описанного выше вольтметра получен результат измерения Uv = 40В. Тогда относительная погрешность измерения будет равна

d = ± ( DUv / Uv )* 100% = ± (0,5/40)*100 = 1,25 %.

Причем, чем ближе к началу шкалы будет результат измерения, тем больше становится относительная погрешность. Так при Uv = 10 В

d = ± (0,5 / 10)* 100% = ± 0 5%.

Класс точности относится к группе метрологических характеристик (метрологическими называют характеристики оказывающие влияние на точность измерений). Также к этой группе относятся:

– чувствительность S – производная от положения указателя по измеряемой величине X:

S = da / dX = F(X). (3.5)

Для приборов с равномерной шкалой чувствительность постоянна, ее размерность зависит от характера измеряемой величины ( SI - дел/А, SV -дел/В и т.д.).

– постоянная прибора С – величина, обратная чувствительности

C = 1/S. (3.6)

На практике часто вместо постоянной прибора используют термин цена деления, т.е. значение измеряемой величины, приходящееся на одно деление шкалы, например:

С_I = I_н / a_max [А]; С_V = U_н / a_max [В],

где С_I, С_V - цена деления, соответственно амперметра и вольтметра; U_н, I_н – номинальные (конечные) значения шкалы амперметра и вольтметра; a_max – максимальное отклонение стрелки прибора.

– номинальная мощность, потребляемая прибором, определяется по следующим соотношениям:

P_н = U_н *I_н =I_н² R_п =U_н² /R_п. (3.7)

Причем по известным P_н и U_н (или I_н) можно вычислить еще один из параметров приборов – их входное сопротивление;

– диапазон измерений – область значений измеряемой величины, для которой нормированы допускаемые погрешности прибора;

– порог чувствительности, вариация показаний и некоторые другие.

Поскольку при подключении прибора от источника сигнала потребляется некоторая мощность, это приводит к нарушению режима работы источника сигнала и вызывает погрешность метода измерения (методическую погрешность d'). См. пример 3.4.

При выполнении многих процессов измерений физических величин возникает необходимость применения косвенных методов измерения, при которых результаты, полученные прямыми измерениями, являются исходными для дальнейших вычислений. Так как результаты прямых видов измерений всегда содержат погрешности, то и конечный результат тоже характеризуется определенной погрешностью. При косвенных видах измерений определяемое значение может зависеть как от одного так и от нескольких измеряемых значений. Для расчета абсолютных среднеквадратичных и относительных погрешностей косвенных измерений в таблице 3.1 приведены формулы для наиболее распространенных в практике функциональных зависимостей. Следует иметь в виду, что вычисление значения функции X–Y по измеренным значениям X и Y не всегда допустимо, так как может привести к большим относительным погрешностям, если эта разность мала.

Таблица 1

Функция	Погрешности
абсолютная	относительная * 100%
AX AX+B X+Y+Z X-Y X*Y Xn X/Y	±A(DC) ± А(DХ) ± [(DX)2 +(DY)2 +(DZ)2]1/2 ± [(DX)2 +(DY)2]1/2 ± [X2(DY)2 + Y2(DX)2]1/2 ± nXn-1DX ± [(X2DY2 + Y2DX2)/Y4 ]1/2	±(DC) * 100% / Х ± А(DХ) * 100% /(AX+B) ± [(DX)2 +(DY)2 +(DZ)2]1/2* 100% / (X+Y+Z) ± [(DX)2 +(DY)2]1/2* 100% / (X-Y) ± [(DY / Y) 2 + (DX / X) 2]1/2* 100% ± n(DX/Х)* 100% ± [ (DY /Y) 2 + (DX /X) 2)]1/2* 100%/

3.1.2. Примеры решения задач

Пример 3.1. Имеются два вольтметра: один – класса точности 1.0 с пределом измерения 30 В, а второй – класса точности 2.5 с пределом измерения 10 В. Определить, у какого прибора меньше предел допускаемой основной относительной погрешности и какой прибор обеспечит более высокую точность измерения напряжения U=8 В.

Решение.

1) Согласно (3.4) предельные значения абсолютной основной погрешности приборов:

DUп1 = ± 01,0*30/100 = ± 0,3В 4 DUп2 = ± 2,5*10/100 = ± 0,25В.

2) Наибольшие относительные погрешности измерения приборов:

dп1 = 7+ 00,3*100/8 = ± 3,75 % dп2 = ± 0,25*100/8 = ± 3,125 %.

Следовательно, для данного измерения лучше применить второй прибор класса точности 2,5 с пределом измерения 10В.

Пример 3.2. Определить ток полного отклонения и собственное (входное) сопротивление вольтметра с верхним пределом измерения Uн=150 В, если при постоянном напряжении U=150 В потребляемая прибором мощность равна 3 Вт.

Решение.

1) Согласно (3.7) Iн =Pн/Uн = 3/150 = 0,02A;

2) Входное сопротивление: Rвх =Rv =Uн / Iн =150 / 0,02 = 7,5 кОм.

Пример 3.3. Определить относительную методическую погрешность d измерения тока амперметром, внутреннее сопротивление которого Ra если он включен в цепь последовательно с источником ЭДС Е, имеющим сопротивление Rист и сопротивлением R (рис. 1).

Решение.

1)Относительная погрешность измерения:d=(Ix-Iд)*100%/Iд.

2) Действительное значение тока в цепи до включения амперметра:

Iд= E/(Rист+R).

3) Измеренное значение тока в цепи: Iх= E/(Rист+R+Rа).

4) Относительная методическая погрешность измерения:

d= -Rа*100/(Rист+R+Rа) = -100*Rа/(Rвх+Rа) = -100/(1+ Rвх/Rа),

где Rвх=R+Rист - входное сопротивление цепи со стороны прибора.

Рис. 1 Рис. 2

Пример 3.4. Определить относительную методическую погрешность d измерения напряжения вольтметром с внутренним сопротивлением Rv, включенного по схеме показанной на рис. 2, где R2 - сопротивление всех резисторов, последовательно соединенных с R1 и образующих вместе с ним и источником питания замкнутую электрическую цепь.

Решение.

1) Действительное значение напряжения Uд на резисторе R1 до включения вольтметра Uд = E*R1/(R1+R2).

2) Измеренное значение напряжения (показания вольтметра)

Ux=Uv=[E*R1*Rv/(R1+Rv)]/[R2+R1*Rv/(R1+Rv)]=E*R1*Rv/[R2(R1+Rv)+R1Rv)

3) Относительная методическая погрешность измерения напряжения

d=[(Ux-Uд)/Uд]*100% = -(R1/Rv)*100% /(1+R1/Rv+R1/R2)

Из последнего выражения следует, что погрешность измерения тем меньше, чем больше сопротивление вольтметра.

Пример 3.5. Для измерения тока I=8мA в схеме рис.1 используются два миллиамперметра с номинальным током Iн1=Iн2=10мА, классом точности Кп = 2,5, внутренними сопротивлениями RмА1=50 Ом, RмА=25 Ом. Нужно выбрать прибор, обеспечивающий наименьшую общую относительную погрешность измерения тока, если Е=2В, Rист=2 Ом, R=450 ОМ.

Решение.

1) Относительная приборная погрешность измерения

dп1 = dп2 = ±100*DI/I = ±kп*Iн/I = ±2,5*10/8 = ±3,125%

2) Относительная методическая погрешность(Rист<R)

d’1 = - 100/(1+R/RмА1) = -100 / (1+450/50) = -10%

d’2 = - 100/(1+R/RмА2) = -100 / (1+450/25) = -5,3%

3) Общая погрешность измерения

d_общ1 = -(d’1+ dп1) = -13,1%

d_общ2 = -(d’2+ dп2) = -8,4%

Следовательно, выбираем второй прибор.

Пример 3.6. Определить абсолютную и относительную погрешности измерения общего тока в цепи (R1 || R2), если миллиамперметр класса точности Кп=1,5 с номинальным током Iн=50 мА при поочередном включении последовательно с R1 и R2 показал соответственно I1=30 мА и I2=25 мА.

Решение.

1) Общий ток схемы I_общ=I1+I2, что соответствует функции X+Y+Z при Z=0 (Табл.3.1).

2) Максимальная приборная абсолютная погрешность измерения токов I1,I2:

DI1 = DI2 = ±kп*Iн/100 ±1,5*50/100 = ±0,75 мА

3) Абсолютная погрешность DI= ± [(DX)² +(DY)²]^1/2 = ± [0,75² +0,75 ²]^1/2 = ±1,06 мА

4) Относительная погрешность измерения общего тока

d= ± [(DX)² +(DY)²]^1/2 / (X+Y)= ±1,06*100/(30+25) = ±1,92%

Следовательно общий ток потребления I_общ=55 мА измерен с относительной погрешностью ±1,92%.