Математическое описание измерительных

Сигналов

В метрологии измерительные сигналы описываются математическими моделями вида Y = f(X, А, В, С,...), где Y — основной информативный параметр сигнала; X — независимый аргумент сигнала;

А,В,С — параметры сигнала. В зависимости от рода независимого аргумента сигналы описываются временными (X = t) и частотными (X = о)) математическими моделями. Вид модели выбирается в зависимости от конкретных условий решаемой задачи.

Во временной области применяют известные математические функции f(t, А, В, С,...), наиболее точно описывающие изменение сигнала, в которых один из параметров А, В, С и т.д. зависит от измеряемой величины. Временная форма представления сигнала позволяет легко определить такие важные характеристики, как энергия, мощность и длительность сигнала.

Наряду с временным описанием сигналов широко используется их спектральное (частотное) представление. В процессе передачи и обработки сигналов оно играет особую роль, поскольку определяет параметры используемой аппаратуры. Частотное представление основывается на преобразовании Фурье сигнала Y(t):

где А₀ — постоянная составляющая; А_n, j_п— амплитуда и фаза n-й гармоники. Множество значений А_n(w) и j_n(w) образуют соответственно амплитудный и фазовый спектры, которые характеризуют свойства сигнала Y(t) в частотной области. Такой спектр называют линейчатым, или дискретным. Различные формы представления спектра периодического сигнала могут быть также найдены с помощью выражений (10.1) — (10.3). Характерный вид амплитудного и фазового спектров для некоего периодического сигнала приведен на рис. 10.3.

Рис. 10.3. Амплитудный (а) и фазовый (б) дискретные спектры

При постепенном увеличении периода сигнала (в пределе до бесконечности) разности соседних частотных составляющих спектра становятся ничтожно малыми и дискретный спектр превращается в непрерывный.

Для описания непрерывного спекра непериодического сигнала Y(t) используют спектральную функцию S(w), модуль спектральной функции |S(w)|, часто называемый спектром, и аргумент спектральной функции argS(w).

Спектральную функцию можно определить с помощью интеграла Фурье:

Здесь Re[S(w)] и Im[S(w)]— действительная и мнимая части спектральной функции:

Модуль и аргумент спектральной функции определяются соответственно по формулам:

Спектральная функция S(w) является комплексной величиной, содержащей информацию о спектре и амплитуд, и фаз, поэтому часто ее называют комплексным спектром. Модуль функции S(w) является спектром амплитуд, но он выражает но непосредственно амплитуду, а ее спектральную плотность.

Спектральное представление сигнала позволяет оценить его частотный диапазон, т.е. граничные частоты, между которыми заключены все или основные, имеющие наибольшие амплитуды гармонические составляющие сигнала. Частотный диапазон является важной характеристикой сигнала, определяющей необходимую полосу пропускания средства измерения для передачи сигналов с требуемой точностью.