В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию .

Пример. Пусть опыт состоит в однократном бросании игральной кости, а событие В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – выпадение нечетного числа. Всего исходов 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6), из них 3 благоприятствуют событию В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru (1,3,5). Таким образом, В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Пример. Вернемся к нашему опыту бросания двух монет. Вычислим вероятности событий, составляющих множество исходов: В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – «выпало два герба», В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – «выпали две цифры», В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – «выпал один герб и одна цифра». Если каждое из первых двух событий соответствует одному исходу: одновременное выпадение либо гербов, либо цифр у монет, условно названных первой и второй, то событию В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru благоприятствуют следующие исходы: «герб на первой монете и цифра на второй» и «цифра на первой монете и герб на второй». Таким образом, если сосчитать равновероятные исходы с учетом номера монет, то их 4: ЦЦ, ГГ, ГЦ, ЦГ. Следовательно, В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Большую роль в решении задач об опытах с равновероятными исходами играют комбинаторные функции.

Пример. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров, из них 12 белых и 8 черных. Наудачу вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба они белые?

Определим число возможных исходов выбора двух шаров из 20. Это В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Благоприятных исходов В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Таким образом, вероятность выбора двух белых шаров равна В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Часто для вычисления вероятностей пользуются теоремой сложения, согласно которой В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . В частности, если события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru и В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru несовместны, В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Следствием теоремы сложения является формула В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Пример. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку – с вероятностью 0,2, в восьмерку – с вероятностью 0,6. Какова вероятность при одном выстреле выбить не менее восьми очков?

Интересующее нас событие является объединением попарно не пересекающихся событий : «выбито 8 очков», «выбито 9 очков» и «выбито 10 очков». Следовательно, в соответствии с теоремой сложения для вычисления требуемой вероятности следует сложить вероятности всех этих событий и получить 0,85.

Пример. В ящике лежат 8 белых и 12 красных одинаковых на ощупь шаров. Какова вероятность, вынимая наугад 3 шара, вынуть хотя бы один белый?

В данном случае можно сосчитать вероятности вынуть 3 белых, 2 белых и один красный и 1 белый и 2 красных шара, а затем сложить полученные величины. Однако рациональнее сосчитать вероятность противоположного события – вероятность вынуть три красных шара. Итак, В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Следовательно, В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Пусть два события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru и В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru независимы, то есть, от того, произойдет или нет одно из них, не зависит наступление второго. Для независимых событий определяют вероятность пересечения событий как В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Пример. Два самолета сбрасывают по бомбе на вражеский объект. Объект считается уничтоженным, если в него попали две бомбы. Какова вероятность уничтожить объект, если вероятность попадания первого самолета 0,8, а второго – 0,75?

Очевидно, что если летчик не отслеживает попадание в цель товарища и не укрепляет (или ослабляет) тем самым свой моральный дух, попадание бомб из разных самолетов в цель – взаимно независимые события. Поэтому вероятность одновременного попадания в цель равна В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Пример. В условиях предыдущего примера следует подсчитать вероятность попадания в цель хотя бы одного летчика.

Благоприятными для наступления интересующего нас события являются следующие исходы: «попали оба», «первый попал, второй не попал», «первый не попал, второй попал». Вероятность первого из исходов 0,6, вероятность второго В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , вероятность третьего В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Поэтому вероятность попадания хотя бы одного летчика равна В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . В соответствии со следствием из теоремы сложения тот же результат мы получим, подсчитав вероятность противоположного события «в цель не попали оба летчика» ( В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru ) и вычтя полученный результат из единицы.

В ряде случаев возникает вопрос: что можно сказать о вероятности события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , если известно, что произошло событие В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru ? Вероятность при этом обозначается В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru и читается «вероятность В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru при условии В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru ». Если события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru и В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru несовместны, то В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , то есть В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – невозможное событие при наступлении события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Если, наоборот, В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , то В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , то есть, при В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru событие В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru при условии В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – достоверное событие. Для случаев, когда при условии В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru событие В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru может как наступить, так и не наступить, вводят понятие условной вероятности,вычисляемой по формуле: В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Рассмотренные нами случай несовместных событий и случай В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru согласуются с данной формулой.

В случае равновероятных исходов опыта формула условной вероятности имеет вид , где – число исходов, благоприятных для события , и из них благоприятствуют событию В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Пример. Найти вероятность того, что при бросании игрального кубика выпало число 3, если известно, что выпавшее число нечетное.

Число исходов, благоприятных для выпадения нечетного числа, равно 3 (1, 3, 5). Из этих исходов только один благоприятен выпадению числа 3. Следовательно, искомая вероятность равна В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Проверим, чему равна условная вероятность В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , если события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru и В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru независимы. Согласно определению вероятности пересечения независимых событий

В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Этот результат, несомненно, соответствует интуитивному представлению о том, что если события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru и В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru независимы, то на вероятность наступления события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru никак не влияет, произошло событие В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru или не произошло.

Условная вероятность используется для вычисления вероятности наступления события при известных вероятностях исходов опыта и условных вероятностях наступления события при каждом исходе. Справедлива следующая теорема.

Пусть В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – множество исходов некоторого опыта (то есть В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , и В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru ). Тогда В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Последняя формула называется формулой полной вероятности.

Пример. По самолету производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле 0,5, при втором 0,6, при третьем 0,8. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух попаданиях с вероятностью 0,6, при трех самолет будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолет будет сбит?

Событием В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru является событие «самолет сбит». Множество исходов при трех выстрелах – это события: В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – «попадания при всех трех выстрелах», В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – «два попадания и один промах», В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – «одно попадание и два промаха», В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – «три промаха». Имеем В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Теперь нужно подсчитать В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Используя независимость попаданий, получим В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Событие В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – это объединение трех несовместных событий: «попадание при первых двух выстрелах и промах при третьем», «попадание при первом и третьем выстрелах и промах при втором» и «промах при первом выстреле и попадание при двух следующих». Поэтому В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Аналогично считается вероятность третьего исхода: В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Очевидно, что в силу независимости промахов В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . В результате применения формулы полной вероятности получим В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Представим, что нас интересует не столько событие, происшедшее в результате опыта, а то, при каком исходе из множества всех исходов это событие произошло. Назовем при этом множество исходов множеством гипотез.

Пример.Одинаковыедетали производятся в трех цехах. В первом цехе 50% всех деталей, во втором цехе 30% и в третьем цехе 20%. Вероятность выпуска бракованной детали в 1-м цехе 0,02 во втором и третьем по 0,01 (видимо, там стоят более современные, чем в первом цехе, станки). К работникам ОТК попала бракованная деталь. Следует узнать вероятность того, что бракованная деталь из третьего цеха.

Итак, событием в данном опыте является событие В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru – «появление бракованной детали». Гипотезами здесь являются исходы «деталь произведена в 1-м цехе», «деталь произведена во 2-м цехе» и «деталь произведена в 3-м цехе». Обозначим эти гипотезы В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , соответственно. Очевидна вероятность исходов-гипотез по объему поступающей из цехов продукции: В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Известны также вероятности события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru при каждой из гипотез: В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Как же подсчитать В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru ? Ответ на этот вопрос дает теорема Байеса.

В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Применяя теорему Байеса, решим поставленную в примере задачу: подсчитаем вероятность того, что бракованная деталь из третьего цеха. В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Многие задачи теории вероятностей сводятся к тому, что опыт проводится В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru раз независимым образом, причем наступление события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru в одном опыте не влияет на наступление того же события в другом опыте. Если вероятность наступления события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru в одном опыте равна В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , то чему равна вероятность наступлений этого события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru раз при В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru проведенных опытах ( В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru )? .Так как при проведении В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru опытов событие произойдет В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru раз и не произойдет В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru раз, то если мы зафиксируем, в каких опытах событие В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru произойдет, а в каких нет, из-за независимости наступления или отсутствия события мы должны получить В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Но поскольку мы не знаем, в каких опытах событие произойдет, а в каких нет, мы должны просуммировать вероятности несовместных событий, отличающихся номерами опытов, в которых событие происходит. Число различных вариантов групп В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru опытов с В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru происшедшими событиями равно В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Поэтому ответ на поставленный вопрос дает формула Бернулли: В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Пример. Какова вероятность того, что при десяти бросаниях игральной кости два раза выпадет 6? Здесь В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru , В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru . Следовательно, вероятность интересующего нас события В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

Заметим, что в соответствии с формулой бинома Ньютона сумма вероятностей наступления событий 0, 1, 2, …, В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru раз при проведении В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru опытов равна 1.

Задания.

1. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара. 1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый. 2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.

2. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Найти вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.

3. Дано 6 карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что: а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки; б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются 6 карточек.

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков не превосходит 7; б) на обеих костях выпадает одинаковое число очков; в) произведение выпавших очков делится на 4; г) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков.

5. Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того, что случайно набирая цифры, можно угадать нужный код?

6. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 6 цифр. Определить вероятность того, все 6 цифр различны.

7. Имеется 6 изделий: 4 из них первого сорта и 2 второго. Наудачу взяли 3 изделия. Найти вероятность того, что среди них только одно первого сорта.

8. Среди 12 студентов 7 отличников. Из группы отобрано наудачу 5 человек. Какова вероятность того, что среди них 3 отличника.

9. Среди 20 изделий 3 дефектных. Случайно из них отобрано 4 изделия. Найти вероятность того, что а) все отобранные годны; б) число годных и дефектных одинаково.

10. Каждый из двух стрелков делает по одному выстрелу в мишень. Пусть событие А – первый стрелок попал в цель, событие В – второй стрелок попал в цель. Что означают события: а) А + В; б) А В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru В; в) В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru .

11. Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы выбирается один цветок. Пусть события А – вынута красная роза, В – вынута желтая роза, С – вынута белая роза. Что означают события: а) В + С ; б) А + В; в) А В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru С; г) В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru ; д) А+В+С ; е) А В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число , где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию . - student2.ru В + С?

12. Три студента независимо друг от друга решают задачу. Пусть событие А₁- первый студент решил задачу, событие А₂ – второй студент решил задачу, А₃ – третий студент решил задачу. Выразить через события А_i (i=1,2,3) следующие события: 1) А – все студенты решили задачу; 2) В – задачу решил только первый студент; 3) С – задачу решил хотя бы один студент; 4) D – задачу решил только один студент; 5) Е – с задачей не справился ни один студент; 6) F – задачу решило не более двух студентов.

13. Только один из 9 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что придется опробовать 5 ключей для открывания замка?

14. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз?

Случайные величины.

Случайной величиной называют функцию, заданную на множестве исходов конкретного опыта.

Наши рекомендации

За единицу количества информации принято элементарное количество информации о событии, которое заключается в выполнении одного из двух равновероятных исходов.

Логарифмом числа а по основанию b называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов

Классическое определение вероятности события. В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ωсодержит конечное число элементарных исходов

Дисперсией случайной величины называется неотрицательное число . Число называется средним квадратичным отклонением.

Бросают пять одинаковых игральных костей. Найти возможное число исходов

Элементар.исход-соб-тия, кот явл-ся несовм. и единственно возм-ми. Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы А на число k.

Где N – общее число опытов, М – число появлений события А.

← Предыдущая страница | Следующая страница →