Глава 2. Понятие об алгебре высказываний

"> У.- .... |

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математичес­кой логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логи­ческих высказываний и способы установления их истинности с по­мощью алгебраических методов.

Таким образом, объектами изучения алгебры высказываний являют­ся высказывания.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествователь­ное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Обозначать высказывания будем прописными буквами. Например:

Х= Число 12345 кратно 3.

Р = Чтобы подключиться к Интернету с домашнего компьютера, необходим модем и соответствующее программное обеспечение.

Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить «А — истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А = 0» и говорить «А ложно».

Примеры высказываний и предложений, не являющихся высказываниями:

1) А = Солнце светит для всех = 1 — истинное высказывание.

2)В = Все ученики любят информатику = О — ложное высказывание.

3) С ~ Некоторые из учеников любят информатику =1 — истинное высказывание.

4) Д = А ты любишь информатику? — не высказывание, так как не является повествовательным предложением.

5)Е = Посмотри в окно — не высказывание, так как является побуди­тельным предложением.

6)Ж = (х ■ х < 0) = 0 — ложное высказывание, так как какое бы х мы ни взяли, произведение х ■ х будет неотрицательным.

7)3 = 2 • х - 5 > 0 — не высказывание, так как для одних значений х это выражение будет истинным we то же время для других значений х—ложным.

8)И = Крокодилы летают очень низко — высказывание.

Последний пример показывает, что истинность или ложность высказыва­ния не обязательно должна определяться здравым смыслом. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, может волновать зоологов, но никак не логи­ков, так как им этот потрясающий факт безразличен. Логика как наука интере­суется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью выска­зываний, которая не зависит от знаний, жизненного опыта человека и его субъек­тивного отношения к тому, о чем говорится в высказывании, а устанавливается с помощью некоторых специально разработанных объективных методов.

В алгебре логики над высказываниями можно производить различ­ные операции (подобно тому как в алгебре чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над действительными числами). Мы далее рассмотрим только некоторые, наиболее важные из них.,

Ш ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгеб­раических методов.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Обозначать высказывания будем прописными буквами. Если высказы­вание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить «А истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А = 0» и говорить «А ложно».

^Эк ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Приведите примеры истинных высказываний, ложных высказываний, предложений, не являющихся высказываниями.

2. Определите, какие из нижеприведенных фраз являются высказыва­ниями с точки зрения алгебры логики. Определите значение высказыва­ния (истина или ложь):

а.) Число 8456 является совершенным. б) Без труда не выловишь и рыбку из пруда. к. в) Как хорошо быть генералом! л ■:. г) Революция может быть мирной и немирной.

д) Зрение бывает нормальное, или у человека имеется дальнозоркость
илиблизорукость.

е) Познай самого себя.

ж) Не может быть, что ни один человек не дышит жабрами.
. ■ з) Талант всегда пробьет себе дорогу.

и) Некоторые животные мыслят.
к) Информатика, в частности, изучает алгоритмы.
л) Всякая истина является конкретной. \

, м) Это утверждение ложно. \ < •-,

Глава 3. Логические операции * •: л»»

"Ф" ОБЪЯСНЕНИЕ МАТЕРИАЛА

Логическая операция — способ построения сложного высказыва­ния из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истин­ности исходных высказываний.

,. к 1,