Логическая структура высказываний

Суждением, или высказыванием, называется ло­гическая форма теоретического познания, представ­ляющая собой истинное или ложное утверждение о принадлежности изучаемому предмету некоторого свойства либо об отношении изучаемого предмета к соотносимым с ним предметам. В современной ло­гике обычно используется термин «высказывание» в качестве синонима для термина «суждение». Вы­сказывания о свойствах предмета называют атрибу­тивными суждениями. Например: «Это утверждение доказуемо». Высказывания об отношениях между предметами называют реляционными. Например: «Курск расположен севернее Ростова-на-Дону».

В классической логике высказываний различают простые и сложные высказывания. Простыми счи­тают высказывания, которые в своей структуре бо­лее элементарных высказываний не содержат. При­мером простых высказываний могут служить: «Сегодня теплый день», «3 —простое число», «Хули­ганство есть преступное нарушение общественной безопасности». Сложное высказывание состоит из простых высказываний, объединенных логической связкой. Например: «В огороде бузина, а в Киеве дядька», «Либо ты гений, либо ты смертен». Слож­ное высказывание может быть образовано из про­стого с помощью логического оператора. Например, из простого высказывания «Данная задача разре­шима» с помощью оператора отрицания можно по­лучить сложное высказывание «Данная задача неразрешима».

Сложные высказывания делятся на отрицатель­ные («Он не пошел сегодня на занятия»), соедини­тельные («А и Б сидели на трубе»), разделительные («Вечером я почитаю или посмотрю ТВ») и услов­ные («Если я посещу все занятия, то успешно сдам экзамен по логике»).

Имеются существенные неудобства в использова­нии разговорного, естественного языка для логических целей. Во-первых, с логической точки зрения он из­лишне перегружен информацией. Это иллюстрирует­ся на примере простейших рассуждений по следующей схеме: «Если А, то В. Известно, что А. Значит, В». Ка­кие бы информативно значимые высказывания не подставлялись на места А и В, интуитивно ясно, что результирующее рассуждение окажется логически кор­ректным. Поэтому в языке логической теории исполь­зуются переменные для обозначения высказываний естественного языка. Другое неудобство заключается в метафоричности, многозначности выражений обыч­ного разговорного языка. Конечно, сочность, гибкость, выразительность русского языка снискали ему славу на поприще мировых литературных стандартов, но

когда речь заходит о логическом анализе, все его дос­тоинства превращаются в недостатки. Так, высказыва­ние «А и Б сидели на трубе» равносильно высказыва­нию «Б и А сидели на трубе». Но если подобным обра­зом обратить части соединительного высказывания «Таня получила двойку и расплакалась», получим ре­зультат, отличающийся от первоначального по смыс­лу. Ясно, что в первом и во втором случаях значения соединительного союза «и» различны. Или другой при­мер: союз «или» в высказывании «Я сейчас сверну направо или пойду прямо» явно отличается по смыслу от его же употребления в высказывании «Вечером я почитаю или схожу в гости». В первом случае воз­можно выполнить лишь одну часть альтернативы, во втором — можно и обе. Сказанное позволяет сделать вывод, что необходим искусственный язык, специаль­но предназначенный для целей логического анализа. Формальный язык логики высказываний вклю­чает символы, принадлежащие к следующим ка­тегориям:

1. Переменные для высказываний: А, В, С,...

2. Логические операторы или связки : - от­рицание, ^ — конъюнкция, v — дизъюнкция, v — строгая дизъюнкция, -> — импликация, <-> — эк-виваленция.

3. Логические константы : 1 — «истинно», 0 — «ложно».

4. Технические символы : ( — левая скобка, ) — правая скобка.

Логические операторы и связки имеют следую­щие аналоги в естественном языке: отрицание — «не», «неправда, что...»; конъюнкция — «и», «но», «да», «а» ; дизъюнкция — «или», «либо»; строгая дизъюнкция — «или... или...», «либо... либо»; импликация — «влечет», «если... то...», «так как»; эквиваленция — «если и только если», «тогда и толь­ко тогда», «необходимое и достаточное условие». Следует помнить, что указанные выражения есте­ственного языка являются лишь аналогами для ло­гических связок и не отображают их точное логи­ческое значение. Это понятно, так как они сами в естественном языке используются многозначно. Указание аналогов все же помогает понять интуи­тивный смысл логических операторов и связок, ис­пользуемых в языке логики высказываний.

Понятие формулы языка логики высказывания определяется следующим образом.

1. Все простые высказывания являются форму­лами.

2. Если А — формула, то А — формула.

3. Если А —формула и В —формула, то (Ал В), (Av В), (AVB), (А->В), (А<-»В) — также формулы.

4. Формулами логики высказываний являются те и только те, которые построены в соответствии с пун­ктами 1-3.

Строгое определение понятия формулы языка позволяет ответить на вопрос, что является правиль­но построенным выражением в языке логики выс­казываний, а что им не является. Например, следу­ющие выражения являются правильно построен­ными формулами: ((АлВ)уС), ((-А->В)л(-пВ<->С)), (-п(-1Ал-,В)лС).

Следующие выражения не являются формулами языка логики высказываний:

(А-,В)^ (л A v -.В^ (-»(-пА л B)c)l

В примерах правильно построенных формул для упрощения записи можно снять общие скобки, так как это не изменяет логическую структуру формулы.

Таким образом, каждому сложному высказыва­нию в естественном языке соответствует определен­ная логическая структура, выраженная формулой языка логики высказываний. Так, высказывание «Если я сдам экзамен по логике, то мир перевернется, или если мир перевернется, то я сдам экзамен по ло­гике» имеет следующую структурную формулу: (А -> b)v (в -» а); высказывание, которое мы отнесем к типу утверждений «женской логики», «Он обяза­тельно полюбит меня, но навряд ли это произойдет, если он узнает о всех моих похождениях» можно выразить следующей формулой: aa-i(b~»a); ло­гическая структура высказывания «Я сдам экзамен по логике, если и только если не буду пропускать занятия и научусь решать задачи» имеет следующую форму: А <-> (-iB л С).

Анализ логической структуры выражений языка является необходимым предварительным этапом логического исследования.

Упражнения

3.1. Определите, какие из приведенных выра­жений представляют собой правильно по­строенные формулы языка логики выска­зываний.

(А -> В -> С); (В -> (С v d)); А -> (в -> (с -> d));

-пА v -(В л С); (((А -> В) -» C)D v e);

-i(-i(-r-i(-iA v -,В) -> -{-НС л D))); -.(А);

((((А л -пВЬ)С л -i)C <-> d); (A v (В v (-JB v (С v -iD)))).

3.2. Из следующих символов языка логики выс­казываний составьте правильно построенные формулы.

А, В, С, D, л , л , v , (, (, ), ); А, А, В, -i, -i, -», <н>, (,);

а, в, с, -i, -i, -i, v» ->» О С )>); а, в, с, -,, Л, v, (,);

А, А, А, В, В, -i, -i, -i, -i, V, v, -», 4-М, (, (,),),).

3.3. Пусть переменная А означает высказывание «Я сдам экзамен по логике», В — «Декан доволен мной», С — «Мама накормит меня прекрасным ужином», D — «На меня обра­тят внимание девушки», Е — «Любимая фут­больная команда выиграла матч». Переведи­те на естественный язык следующие форму­лы языка логики высказываний.

А -> (В л -i(-,C л -.D)); (В <-» а) л ((-,Е v -iC) -» (-.А л -Л)));

с -> (в -> (е -+ (а л в)));

(в <-» (av-id)) л ((-.d v -^е) -^ (-а л -пс)).

3.4. Следующие логические структуры перевес-дите на естественный язык, подобрав подхо­дящие по смыслу высказывания для встре­чающихся в формулах переменных.

А -> ^(-пВ v -тС); А л (ЧВ -> (С ^ d)); (-пА л -,В) <-> (-,С -> -iD); -,(А -> (-,В v -.С)); А -» (В -» (С -> d)); -i(-,A -> -.(В v

3.5. Самостоятельно придумайте задачу, аналогич­ную упражнению 3.3.

3.2. Логические условия истинности высказываний

Классическая логика опирается на принцип дву­значности: относительно любого высказывания мож­но утверждать, что либо оно истинно, либо оно ложно; третьего не дано. Высказывание считается истинным, если содержащаяся в нем информация соответствует действительному состоянию дел в наблюдаемой ре­альности; в противном случае оно ложно.

Классическое предположение двузначной истин­ностной оценки высказывания является очень силь­ной идеализацией, которая встречает опроверже­ния в логической практике. Спросим, в каком смыс­ле высказывание «Если 2 + 2 = 4, то Москва — столица России» может быть истинным или лож­ным? Оно скорее является бессмысленным. Другой пример — знаменитая теорема Ферма, которая фор­мулируется утверждением: «Не существует корней для уравнения х" + yn= zn, при п>2>>. Для степени 2 такие корни найти легко: З2 + 42 = 52. Однако оказалось неразрешимой задачей математики — доказать утверждение теоремы Ферма и опроверг­нуть его, подобрав подходящие степени и корни. Поэтому данное высказывание нельзя считать ни истинным, ни ложным; оно имеет неопределенное истинностное значение. Наконец, в первом разде­ле уже разбиралась проблема истинностной оцен­ки высказывания «Я лгу», лежащего в основе «Па­радокса лжеца». Очевидно, подобные высказыва­ния, которые, конечно, не являются бессмысленными, вообще не имеют истинностной интерпретации. Ло­гические теории, в которых не выполняется принцип двузначной истинности высказывании, назы­вают неклассическими логиками.

Если принять классическую точку зрения, то есть считать, что любое простое высказывание либо ис­тинно, либо ложно, возникает следующий вопрос: как зависит истинность или ложность сложного выска­зывания от значений истинности составляющих его простых высказываний? Отвечая на поставленный вопрос, следует прежде всего подчеркнуть, что в ло­гике не решается задача: является ли данное утвер­ждение истинным или ложным. Это функция кон­кретной науки или практики, к которой относится рас­сматриваемое утверждение. Скажем, определение истинности высказывания «Ни один материальный объект не перемещается со скоростью, превышающей скорость света» — прерогатива физики, но не логики.

Областью логического интереса является множе­ство всех логически возможных ситуаций, в кото­рых высказывание может быть истинным или лож­ным, а также логические условия определения ис­тинности сложного высказывания в каждой из возможных ситуаций, если истинность составляющих его простых высказываний определена. Поясним сказанное на примере. Пусть сложная формула Г включает две переменные для простых высказыва­ний, то есть А и В. Мы не знаем, являются ли выска­зывания, обозначенные через А и В, истинными или ложными. Однако важно в данном случае, что каж­дое принимает одно из истинностных значений: «ис­тинно» или «ложно». Тогда для определения логи­ческих условий истинности сложной формулы Г имеются только четыре логически возможные ситу­ации: когда А и В — истинны; когда А — истинно, а В — ложно; когда А — ложно, а В — истинно;

когда А и В ложны. Других возможных ситуаций нет.

Подвергнем анализу наши интуиции, связываю­щие истинностную оценку сложных формул с опера­тором отрицания, связками конъюнкции, дизъюнк­ции, строгой дизъюнкции, импликации, эквивален-ции и истинностную оценку соответствующих им аналогов в естественном языке. Очевидно, что с точ­ки зрения таких интуиции и принятого принципа двузначности отрицание высказывания ложно, если высказывание истинно, и наоборот. Учитывая логи­ческую практику оперирования союзом «и», можно сформулировать следующий истинностный принцип: конъюнкция высказываний истинна лишь в одном случае, если составляющие ее конъюнкторы истин­ны. Оперирование разделительными суждениями с нестрогим употреблением союза «или» позволяет ввести принцип: дизъюнкция высказываний ложна лишь в одном случае, если составляющие ее дизъ-юнкторы ложны, то есть дизъюнкция истинна, когда выполняется хотя бы одна из сторон альтернативы. Естественно, что употребление союза «или» в стро­гом смысле предполагает принцип: строгая дизъюн­кция высказываний ложна, если ее дизъюнкторы оба истинны либо они ложны. Природа условных суж­дений со связкой «если... то...» такова, что они лож­ны лишь в одном случае, если их условная часть (антецедент) выполняется, а обусловленная часть (кон-секвент) проваливается. То есть импликация ложна лишь в случае, если антецедент истинен, а консеквент ложен. Наконец, интуитивно ясно, что эквиваленция истинна, если составляющие ее высказывания при­нимают одинаковые истинностные значения, и лож­на, если они принимают различные значения.

В соответствии с изложенными интуициями мож­но построить истинностные таблицы, полно отража­ющие значения логических связок в каждой логи­чески возможной ситуации. Пусть 1 — логическая константа «истинно», а О — «ложно». Тогда истин­ностные таблицы для логических связок и операто­ра отрицания имеют следующий вид:

АлВ AvB AvB А -» В А <-» В

100 001 000

110 011 000

110 011 000

100 011 010

100 001 010

Каждая строка построенных таблиц означает логи­чески возможную ситуацию, в которой на основании истинностных значений простых высказываний опре­деляется истинностное значение сложной формулы.

Используя истинностные таблицы, можно опре­делить логические условия истинности сложных формул, содержащих более чем одну логическую связку. Например, условия истинности для выска­зывания «Если я сдам экзамен по логике, то мир перевернется, или если мир перевернется, то я сдам экзамен по логике», имеющего логическую структу­ру (A—>B)v (В—> А), поэтапно определяются следую­щим образом:

а в (а-»в) (в-»а) (a->b)v(b-> а)

Таким образом, данное высказывание является истинным в каждой логически возможной ситуации.

Полученный результат представляется не соответ­ствующим нашим интуициям. В чем здесь дело? Противоинтуитивный характер истинности рассмат­риваемого высказывания является следствием до­пущения принципа двузначности. Логическая струк­тура высказывания сама по себе несет лишь инфор­мацию о том, что любые два высказывания находятся в такой логической связи, что либо первое влечет второе, либо второе влечет первое. Такой принцип приемлем только тогда, когда высказывания, состав­ляющие условное суждение, то есть антецедент и консеквент импликации связаны по смыслу. Так как простые высказывания, входящие в рассматриваемое сложное, не имеют смыслового соприкосновения, воз­никает парадоксальный результат.

Другой пример. Условия истинности высказыва­ния «Он обязательно полюбит меня, но навряд ли это произойдет, если он узнает о всех моих похождени­ях», имеющего структуру (АЛ —iB)v (В—» А), поэтап­но определяются следующим образом:

А В В -» А -,(В -> а) АЛ-1 v (в -> а)

Данное высказывание оказывается ложным в каж­дой логически возможной ситуации. В чем здесь дело? Мы отнесли это высказывание к числу принципов «женской» логики (в шутку, конечно). Действитель­но, девушки — народ самоуверенный, поэтому «Он обязательно полюбит меня» является характерным принципом их образа мышления. Но девушки и — народ осторожный, поэтому фраза «Неправда, что если

он узнает о всех моих похождениях, то обязательно полюбит меня» для них столь же значима в качестве принципа, что и первая. Но видно, что первое утверж­дение противоречит второму: то, что утверждалось в первом, во втором высказывании отрицается и обуслов­ливается. Поэтому результирующее высказывание оказалось ложным в любой логически возможной ситуации. Очевидно, прав был древний мудрец, когда сказал: «Выслушай женщину и сделай все наоборот»!

Для сложной формулы, включающей две перемен­ные, имеются ровно четыре логически возможные ситуации. Сколько их для формулы, содержащей п переменных? Число m логически возможных ситуа­ций для формулы с числом п переменных опре­деляется равенством m = 2". Так, для формулы с тре­мя переменными логически возможных ситуаций ровно 8, для формулы с 4 переменными их 16, и т. д. Распределение истинностных значений, входящих в формулу переменных, комбинаторно осуществляется следующей операцией. Пусть формула содержит 4 раз­личные переменные, то есть число строк истинностной таблицы, соответствующее числу логически возможных для формулы ситуаций, равно 16. В строках под пер­вой переменной подряд записываем 8 значений «1» и далее 8 значений «О»; для второй переменной череду­ется последовательность 4-х значений «1» и 4-х значе­ний «О»; для третьей переменной чередуется последо­вательность 2-х значений «1» и 2-х значений «О»; для последней, четвертой переменной значения «1» и «О» чередуются через одно. Таким образом, получаем пол­ное распределение возможных истинностных значений для множества логически возможных ситуаций.

Рассмотрим пример. Высказывание «Я сдам экза­мен по логике, если и только если не буду пропускать

занятия и научусь решать задачи» с логической структурой А <-»(-! В Л С), содержащей три различ­ные переменные, имеет следующие условия истин­ности:

в

пВЛС) А <-» (-,ВЛС)

Высказывание истинно в четырех ситуациях и в четырех оно ложно.

Высказывание называется логически истинным или общезначимым, если оно истинно в каждой ло­гически возможной ситуации. Представленный выше первый пример дает понимание логически ис­тинного высказывания с точки зрения классичес­кой логики.

Высказывание называется логически ложным или противоречием, если оно ложно в каждой логи­чески возможной ситуации. Второй пример иллюст­рирует противоречивое высказывание.

Высказывание называется случайным, если в раз­личных логически возможных ситуациях оно может быть как истинным, так и ложным. Третий пример иллюстрирует случайное высказывание.

Логически истинные формулы классической ло­гики высказываний образуют множество ее логи­ческих законов. Следует помнить, что понятие за­кона относительно и соотносится с вполне опреде­ленной теорией. Это означает, что законы одной

теории не обязательно являются законами другой. Скажем, утверждение «Не существует объектов, имеющих скорость, превышавшую скорость све­та» является законом физики. С логической точ­ки зрения это утверждение случайное, то есть мо­жет быть как истинным, так и ложным. Прове­дем такой мысленный эксперимент. Допустим, мы щелкаем ножницами со скоростью, равной полу­световой, что физически возможно. Длина лезвий ножниц, конечно, больше чем половина расстояния между их кольцами. Поэтому точка пересечения лезвий в процессе щелканья будет передвигаться снизу вверх со скоростью, превышающей скорость света. То, что является физическим законом, та­ким образом, не является логическим законом, так как объекты исследования у этих наук различны. Физически возможная ситуация не совпадает ни по объектам, ни по оценкам с логически возмож­ной ситуацией.

Аналогичное происходит и с законами логики. Каждый из них «работает» в рамках и относитель­но определенной теории и не обязательно является законом другой логической теории. Например, ло­гические законы исключенного третьего «Нечто утверждается либо отвергается; третьего не дано» и непротиворечивости «Нельзя нечто утверждать и отвергать одновременно», имеющие, соответствен­но, логические структуры (Av —iA) и —i(AA —iA), являются логически истинными высказываниями классической логики, а поэтому ее законами. (Про­верьте это, построив для данных высказываний таб­лицы истинности.) Однако они могут не выполнять­ся в неклассических логиках, которые игнорируют принцип двузначности истинностной интерпретации

высказываний. Закон — понятие, соотносимое с те­орией.

Теоретическая логика — удивительная наука в том смысле, что она не только разрабатывает соб­ственные понятия, методы и средства анализа, но и изучает вопросы оптимизации процесса логичес­ких исследований. Допустим, следует выяснить, является ли формула, содержащая пять различных переменных, логическим законом классической логики или нет. Метод истинностных таблиц по­зволяет установить это, построив истинностную таблицу, содержащую 32 логически возможные ситуации. Решение задачи достаточно громоздко. Имеется ли более эффективный метод, позволяю­щий различать логические законы классической логики от случайных и противоречивых высказы­ваний? Имеется! Будем размышлять от противно­го: допустим, что представленное для анализа вы­сказывание не является логическим законом, то есть логически истинным высказыванием. Если при таком допущении можно построить хотя бы одну строку по правилам истинности, в которой рассматриваемое высказывание ложно, то, конечно, оно не является логически истинным, а следова­тельно, и законом классической логики. Если при построении этой логически возможной ситуации мы приходим к противоречию, заключающемуся в том, что одна и та же переменная принимает оба значения: «истинно» и «ложно», то допущение не­верно, значит, рассматриваемое высказывание не может быть ложным, то есть оно истинно в каждой логически возможной ситуации. По определению это означает его логическую истинность.

Задача. Является ли высказывание «Если нечто влечет утверждение и его отрицание, то вер­но его отрицание» логическим законом?

Решение. Данное высказывание имеет логическую структуру следующего вида:

((А -> В) Л ( А -» -, В)) -» -, А.

Рассуждаем от противного: допустим, что данное высказывание ложно, по крайней мере, в одной из ло­гически возможных ситуаций. Тогда распределение истинностных значений составляющих его подфор­мул и переменных можно поэтапно определить сле­дующим образом.

о [(а ->в)л(а -> -,в)-, -» а] 1 [(а -» в)л(а -> -пв)], о [-,а]	По допущению По таблице [-»]
1[(А 1[В]	->B)j, l[(A-*^B)], 1[А] . 1И»1	По таблицам [Л] По таблице [-»]	|„[-
1[В]	. о[в]	По таблице [-i] .

Сокращенная запись анализа логических условий истинности рассматриваемого высказывания имеет следующий вид:

((а -» в)л(а -> -л)) -> -,А Высказывание — закон логики, 11111110 001 т-к- противное невозможно.

Пример. Является ли высказывание, имеющее логическую структуру

(-.A v В) -» (-i(BA-.C)-> -.(АЛ-iC)), логичес­ким законом?

Решение. Методом рассуждения от противного (методом сведения к противоречию).

О [(- \ v b) -» (-,(ВА-,С) -» -п(АЛ-,С))] Допущение
1 [(-,А v В)], О [-.(ВАС) <- -(АЛ-,С)] [-»];
l[(-AvB)], IHBA-.CJI, оНАА-нС)] [-»];
l[(-nAvB)], 1 КВЛ-Л)], 1 кал-с)] ;
l[(-nAvB)]f lh(BA^C)], l[A], 1[-,C]
l[B], 0[(BA-,C)], Ihc]

i[b], о[в]

Сокращенная запись решения: (-,a v в) -> (-,(вл-,с) ^ -,(ал-,с))

0111 О 10 01000 1110

Аналогичным образом метод сокращенных истинностных таблиц может быть использован для определения логически ложных, то есть противо­речивых формул языка логики высказываний. От­личие состоит лишь в допущении. Если при определении логической истинности формулы предполагается от противного, что она ложна по допущению, то при определении логической лож­ности формулы, естественно, допускается ее истин­ность и демонстрируется противоречивость дан­ного допущения.

Пример. Является ли высказывание, имеющее логическую структуру

-т(АЛ-|С)Л-1(-т(--1С —> -iB)v -i(AA-iC)), логически лож­ным?

Решение. Методом сведения к противоречию.

1 [-1(АЛ-,в)Л-,(-1(-1С -> -,В) v -,(АЛ-,С))]	Допущение
1 нал^в)],	1[н(-4пС-»-л)	v -п(АЛ-пС))]	W;
о кал-.в)],	0 [-,(-,€ -» -,В) v	чал^с)]	Н;
о [-,(ал-,в)],	0[4пС-*-,В)],	о каа-л)]	М;
оНлл^в)],	1 [_,(_,С -> -,В)],	1 [(ал-.с)]	Н;
о нал^в)],	1 [-,С -» -в],	1[А], 1М	[л];
0 [-пВ], 1 [-,]	в]		W.W;
1[в], о[в]

Сокращенная запись решения:

1 10 0 1 Ito 10 1 10 001110

Рассуждение показало, что сделанное допущение влечет противоречие. Следовательно, допущение не­верно, то есть данное высказывание не может быть истинным ни в одной из возможных ситуаций, т.е. оно ложно в каждой ситуации. Значит, оно логичес­ки ложно.

Упражнения

3.6. Используя метод полных истинностных таб­лиц, определите, являются ли следующие фор­мулы логически истинными, логически лож­ными или случайными?

A-»-iA; A <->-nA; (-iAvB)«-»-i(AA-iB); -iA -> ^-.ВЛС;

-•[A v В) <-» (-iAA-iB); -iA v -.(ВЛ-.А);

-if-iAA-iB) -> (-.B v А); (А.ЛВ) <-» (-тА v -.fi); (4 -» -i-iBJ/HbB v C)-> hC -> -iA$; hA v -iB)MC -> -i0B <-> ^A));

-•(-•И-Л v C)v -,(АЛ-.С))-> -г-|(4ЛВ|.

3.7. Используя метод сокращенных истинностных таблиц, докажите, что следующие формулы представляют законы классической логики высказываний.

-> ^A)v h(BA-.C)-> hhC v D)v А v b)v (hC -^ -iB)-> hh(CA-iD>V-ihA v d))| hC -> -iB)v -ih(CA-iD)\-ih A v d))) -»

3.8. Используя метод сокращенных истинностных таблиц, докажите, что следующие формулы представляют противоречивые высказывани­ями классической логики.

(а -» -пвКНЬв v c)-> he -> -iA));

3.9. На замечание стороны обвинения «Если подсудимый виновен, то он имел сообщника» адвокат возразил: «Это неверно!». Судья тут же отреагировал на реплику адвоката: «Если считать, что возражение адвоката истинно, то подсудимый виновен». Объясните вывод, высказанный судьей, построив для возраже­ния адвоката полную таблицу истинности.

3.10. «Кто разбил стекло?» — спросил учитель, войдя в класс. «Алферов, Васильев, Сорокин, встаньте! Опять кто-то из вас отличился?» Ребята встали. Им не хотелось лгать, но и всей правды они не знали, поэтому ответили уклончиво. Алферов: «Васильев стекло не разбивал, да и Сорокин тоже». Васильев: «Если Алферов не виноват, то и я стекло не разбивал». Сорокин: «Неправда, что если Алферов не разбивал стекла, то виноват Ва­сильев». Разбил ли стекло кто-либо из на­званных ребят, если каждый из них сказал правду? Поясните решение задачи, построив полную таблицу истинности для ответов ре­бят. Кто разбил стекло, если правду сказали лишь двое из ребят, а третий солгал? Сколь­ко в этом случае вариантов ответа?

3.11. Боб, Джон и Стив подозреваются в преступ­лении, которое мог совершить лишь один из них. На следствии Боб показал, что ни он, ни Джон не виновны; Джон утверждал, что виновен Стив, а Боб не виновен; Стив же утверждал, что он не виновен, а виновен Боб. Один из них сказал полную правду; дру­гой — полуправду (в одной части ответа солгал, а в другой сказал правду); третий — ложь. Кто же совершил преступление? Про­комментируйте решение задачи на таблице истинности.

3.12. Увидев сразу две двери вместо одной, пер-воклашка засомневался. «Скажите, пожа­луйста, — обратился он к проходившему

мимо старшекласснику, — где здесь мужской туалет, слева или справа?» «Выбирай лю­бой» , — рассмеялся тот в ответ. Малыш знал, что в школе ребята разыгрывают друг друга и вполне могут соврать. Пришлось обращать­ся с тем же вопросом к другому. «Не знаю, по крайней мере, один из них женский», — ответил второй старшеклассник. Сомнения еще больше усилились. «А мне один сказал — выбирай любой!? Скажите, если бы я спросил у него относительно правдивости ваших слов, что бы он мне ответил?» «Конечно, подтвер­дил бы, что я говорю правду». «Ну, теперь ясно, мне сюда», — решил малыш. Куда? (Реше­ние задачи предполагает, что солгавший еди­ножды лжет всегда, а сказавший правду отве­чает всегда правдиво.)

3.13. «Вы меня совершенно запутали! Кто из вас лжет? Кто говорит правду?» — воскликнул раздосадованно следователь на очной став­ке, обращаясь к двум допрашиваемым. «Я говорю правду», — хором отреагировали оба. «Хорошо, — сказал следователь. — Тогда я поставлю вопрос несколько по-дру­гому. Что бы мне ответил ваш оппонент, если бы я попросил его оценить правдивость ва­ших слов?» Выслушав ответы обоих, следо­ватель удовлетворенно улыбнулся. Теперь он знал, с кем имеет дело. (Как и в предше-" ствующей задаче, солгавший лжет всегда, сказавший правду всегда правдив.) Как сле­дователь определил, кто из них лжец?

Глава 3. Суждение

3.14. Теперь первоклашке надо было найти спорт­зал. «Скажите, пожалуйста, — обратился он к двум уже знакомым ему старшекласс­никам, — на каком этаже находится спорт­зал, на первом или на втором?» «На пер­вом», — ответил один. «На втором», — от­ветил другой. Итак, розыгрыши в школе продолжались. Но малыша это уже не сму­щало: ясно, что один из них лжец, а другой говорит правду. Он задал вопрос одному из старшеклассников и по ответу безошибочно определил дорогу в спортзал. Какой вопрос задал малыш?

Задачи на комбинаторику логически возможных ситуаций

3.15. В спортлагере как всегда царила неразбери­ха. Воспитатель самой отчаянной, тринадца­той группы, под опекой у которого находи­лись 20 озорников, очень боялся упустить их из виду. Чтобы успешно следить за поряд­ком, он распределил ребят в палатках по пе­риметру квадрата, так, что на каждой стороне периметра жили 7 ребят. Теперь не надо было пересчитывать всех, достаточно было считать ребят по сторонам квадрата, образующего ла­герь группы. Свою палатку воспитатель рас­положил в центре. Лагерь разбит по схеме: К ребятам пришли четверо гос­тей из соседнего лагеря и зано­чевали у них, расположившись по палаткам таким образом, что, как и прежде, на каждой стороне пе­риметра их находилось по 7. На вечернем

обходе воспитатель не заметил эту шутку, что, конечно, развеселило всех. Тогда на следующую ночь четверо из них вместе с четырьмя гостями отправились ночевать в соседний лагерь. Оставшиеся опять распо­ложились так, что их оказалось по 7 чело­век на каждой стороне периметра лагеря. Незадачливый воспитатель снова остался в дураках. Как все это удалось озорникам?

3.16. Футбольный турнир между тремя команда­ми проходил в два круга. Положение ко­манд отражено в следующей таблице.

	Игр	Выиг­рышей	Ничьих	Пора­жений	Соот. мячей	Очки
Спартак					2—0
Динамо					1—2
Торпедо					2—3

Определите результаты каждой прошедшей встречи.

3.17. Может быть, кто-то еще не знает старую рус­скую задачку про крестьянина, козу, капус­ту и волка? Крестьянину надо было перевез­ти на другой берег реки козу, капусту и вол­ка. Но в лодку он мог взять что-то одно: либо козу, либо капусту, либо волка. Козу оставлять наедине с капустой так же опас­но, как и волка с козой. Каким образом крестьянин вышел из затруднения?

3.18. Три молодые пары решили провести вос­кресный день на природе. По пути им надо

было перебраться через речку на другой бе­рег. Лодка, конечно, была, но вмещала толь­ко двух человек. Здесь и возникла пробле­ма. Ни одна из девушек не хотела, оказав­шись без поддержки своего избранника, находиться в окружении других юношей. Все же выход был найден. Немного поду­мав, разумная половина компании нашла комбинацию переправы на другой берег, выполнив при этом неожиданный каприз своей прекрасной половины. Где же выход?

3.3. Логические отношения между высказываниями

В практике интеллектуального общения и позна­ния важную роль играет умение контролировать суж­дения не только сами по себе, но и в их взаимосвязи между собой, знание методов и средств анализа отно­шений, объединяющих суждения в единую логичес­кую структуру. Действительно, на каком основании в процессе логической критики я могу утверждать, скажем, что суждения моего оппонента равносильны в логическом смысле тем, которые были высказаны мной раньше? Или наоборот, на каких логических принципах покоится уверенность, что данное сужде­ние противоречит ранее сказанному? Наконец, какие логические принципы лежат в основе критерия от­бора в единую систему одних суждений и отбрасыва­ния других, как несовместимых с данной системой? Подобные вопросы требуют детального обсуждения и строгих определений логических отношений, которые

связывают суждения, различающиеся друг с другом по логической структуре и условиям истинности. Их анализу посвящен этот раздел.

Пример-шутка. Старушка — божий одуванчик как-то переходила через дорогу и, споткнувшись, совершенно случайно наступила на проезжавший мимо автомобиль. Тот перевернулся, что очень рас­строило его владельца. Конечно, сразу набежала толпа зевак, принявшихся активно обсуждать происшедшее. Кто-то жалел старушку, кто-то шо­фера, а кто-то автомобиль. В общем, к приезду ав­тоинспектора страсти накалились и свидетелей было достаточно. По традиционному «русскому воп­росу» «Кто виноват?» мнения разделились. Пре­красная половина отстаивала интересы старушки, а разумная — ясно, стала защищать шофера и его пострадавшую машину. Первый удар приняла на себя бабушка в валенках, категорично и достаточ­но хитро заявив альтернативу: «Старушка не ви­новата или виноват шофер». На что ей, естествен­но, возразил молодой человек из толпы: «Конечно, виновата старуха; это она наступила на автомобиль, а не автомобиль на нее. А шофер не виноват. Он ни слухом, ни духом; ехал себе — вдруг бац!». В разговор вмешалась интеллигентного вида дама в очках с металлической оправой. Она уже смогла выразить свою мысль в форме условного сужде­ния: «Извините, но мне представляется, что если шофер не виноват, то старушка тем более не вино­вата никоим образом». «Хм! И совсем наоборот, — ворвался в беседу старикан с авоськой, в которой позвякивали пустые молочные бутылки. — Если

ваша старуха ни в чем не виновата, то шофер со­всем не виноват!» Итог разговора подвела еще одна бабуся, внезапно выскочившая на авансцену и нео­жиданно для всех вцепившаяся в рукава старика с авоськой и автоинспектора. «Я тебе так скажу, милок: ничего не видела, ничего не знаю. Но ста­рика своего, — вот он — знаю хорошо. Сорок пять лет с ним живу, и не было ни разу, чтобы он мне не соврал. Сказал, что бутылки пошел сдавать, а вон где крутится. Нет у меня к нему доверия и ты не верь ему: все-то он врет!»

Инспектор несколько растерялся. Свести воеди­но полученную информацию просто невозможно. Кому верить? И решил инспектор довериться инфор­мации, полученной от последней бабки: ведь она знает своего мужика, всю жизнь прожили. Если права старушка, ни на полушку не веря мужу, то кто все же виноват?

Если через А обозначить высказывание «Старуш­ка виновата», а через В — «Шофер виноват», то ло­гическая структура утверждений, высказанных каж­дым из пяти свидетелей, и условия их истинности могут быть без словесной шелухи записаны следую­щим образом:

А	В	f^AvB)	(а л -,в)	(_,в -> -,а)	(_,А- -» -гВ)	-4-.А -> -,r)

Решение задачи. Если права старушка, которая не верит мужу, то речь идет о свидетеле 5. Его

утверждение истинно лишь в одной логически воз­можной ситуации, соответствующей третьей стро­ке таблицы истинности. Для данной строки табли­цы переменная В — истинна, а А — ложна. Зна­чит, при данном допущении виноват шофер, а старушка не виновата. Опять победила прекрасная половина!

Более серьезны для логического анализа наблюде­ния, связанные с отношениями по условиям истинно­сти между информациями, полученными от разных свидетелей. Так, условия истинности утверждений первого и второго свидетеля разнятся таким обра­зом, что всегда, когда утверждение первого истинно, утверждение второго — ложно, и наоборот, когда утверждение первого ложно, утверждение второго истинно. Утверждения первого и третьего свидете­ля различны по логической структуре, но принима­ют одинаковые истинностные значения в каждой логически возможной ситуации. Информация пер­вого свидетеля совпадает с информацией четверто­го в первой и четвертой ситуациях: в обеих они истинны. Во второй и третьей ситуации они отли­чаются друг друга по истинностным значениям. Наконец, информации второго и пятого свидетеля совпадают по значению «ложно» в первой и после­дней ситуациях и различаются в остальных.

Введем определения логических отношений меж­ду высказываниями языка классической логики. Два высказывания называются логически эквивалент­ными, если и только если они принимают одинако­вые истинностные значения в каждой логически воз­можной ситуации.

Два высказывания называются логически про­тиворечивыми, если и только если в каждой логически возможной ситуации они принимают отлича­ющиеся друг от друга истинностные значения.

Два высказывания называются логически совмес­тимыми, если и только если они совместно истин­ны, по крайней мере, в одной из логически возмож­ных ситуаций.

Два высказывания называются логически про­тивоположными, если и только если они несовме­стимы, но не противоречивы, то есть не могут со­вместно принимать значение «истинно», однако мо­гут совместно принимать значение «ложно», по крайней мере, в одной из логически возможных ситуаций.

Таким образом, в приведенном выше примере первое и второе высказывания логически противо­речивы, первое и третье — логически эквивалентны, первое и четвертое — логически совместимы в пер­вой и четвертой логически возможных ситуациях, второе и пятое высказывания являются логически противоположными.

Логический анализ отношений, связывающий вы­сказывания с различной логической структурой, за­нимает определенное место в сфере научной прак­тики и интеллектуального общения. В практике на­учного познания важна операция, позволяющая устанавливать логическую эквивалентность рассмат­риваемых утверждений. На ее основе вводятся в тео­рию новые соотношения, определения или сокраще­ния. Например, анализируя высказывания, представ­ляющие определения тригонометрических функций через соотношения сторон прямоугольного треу­гольника, можно установить соотношения между дан­ными тригонометрическими понятиями. Так извест­но, что тангенс угла равен отношению синуса данного

угла к его косинусу. Это устанавливается на основе определений: синус угла равен отношению противоле­жащего катета к гипотенузе; косинус — прилежащего; тангенс — противолежащего к прилежащему.

Другой пример. Язык классической логики вы­сказываний содержит три основные логические связ­ки: конъюнкцию, дизъюнкции, импликацию, а так­же оператор отрицания. Но каждая логическая связка может быть выражена в языке через лю­бую другую и отрицание. Например, следующая таблица устанавливает эквивалентный перевод конъюнктивного и дизъюнктивного высказываний в импликативное:

А	В	(а л в)	н(А -+ -Л)	(a vb)	(-А -» В)

Установление логической эквивалентности струк­тур с различными логическими связками позволяет одну из них заменять на другую и делает более эко­номными выразительные средства теории.

Принципиальное значение в научной практике имеет операция, позволяющая устанавливать непро­тиворечивость системы рассматриваемых теоретичес­ких утверждений. Для точных наук противоречи­вость такой системы утверждений влечет тривиаль­ную полноту доказательств, то есть в противоречивой теории можно доказать все, что угодно. (Проверьте на логическую истинность следующий принцип: «Если некоторое высказывание утверждается и от­рицается одновременно, то оно влечет любое другое высказывание».) Кроме того, наличие противоречия

в утверждениях говорит о том, что исходные утверж­дения, аксиомы или постулаты теории выбраны не­верно и нуждаются в дополнительном содержатель­ном анализе. (Проверьте на логическую истинность следующий принцип: «Если некоторое высказывание влечет утверждение и его отрицание, то оно должно быть отброшено».)

Анализ логических отношений между высказы­ваниями занимает значительное место в интеллек­туальной практике юриста. Так как основная цель правового исследования — реконструкция и оценка событий, отстоящих в прошлое, то построение обо­снованной версии относительно реконструируемого события требует достаточно полной и логически со­гласованной в своих частях информации. Сам про­цесс выдвижения версии и ее проверки представля­ет собой в логическом отношении операции по уста­новлению совместимости полученной в результате правового исследования разрозненной информации, а также ее непротиворечивости относительно уже имеющейся и предварительно проверенной инфор­мации или наличных доказательств.

Роль логических отношений между высказыва­ниями, контролируемых в практике интеллектуаль­ного общения, можно проиллюстрировать на следу­ющем примере-шутке, который тем не менее взят из практики автора этой книги. Как-то я торопил­ся на занятия по логике и перебежал дорогу на крас­ный свет светофора. Как назло, автоинспектор ока­зался рядом и мне пришлось «выкручиваться». «Я, конечно, нарушил правила уличного движения и должен извиниться, а поэтому могу не платить штраф», — решил я схитрить. «Вы совершенно не правы, — невозмутимо возразил автоинспектор, —

нарушивший правила дорожного движения не обя­зан извиняться, так как должен заплатить штраф». Штраф заплатить пришлось, но всю остальную до­рогу меня не покидало ощущение, что в логическом отношении с утверждениями автоинспектора не все в порядке.

И действительно, пусть А — «X нарушил прави­ла дорожного движения», В — «X должен извинить­ся», С — «X должен заплатить штраф». Тогда мое утверждение (1), его отрицание автоинспектором (2) и утверждение самого автоинспектора (3) можно про­интерпретировать в следующей таблице истинности:

А	в	с	((а а в) -> -.с)	-,((а л в) -> -,с)	(а -> (с -» -,в))

Итак, высказывание (1) логически эквивалентно высказыванию (3), то есть эквивалентными оказались мое утверждение и утверждение автоинспектора. Так что, если я и ошибался в трактовке нарушения и наказания, то не более чем сам автоинспектор. Но когда тот заявил, что я не прав, он заявил тем са­мым и о собственной неправоте: высказывания (1) и (2) так же противоречивы, как (2) и (3).

Проблемы анализа логической структуры, усло­вий истинности высказываний и логических отно­шений между ними взаимосвязаны. Анализ первой

проблемы является предварительным этапом для решения второй, а анализ второй проблемы обуслов­ливает решение третьей.

Упражнения

3.19. Определите логические отношения между следующими высказываниями, построив для каждого из них полную таблицу ис­тинности.

1. (а л в), -i(-ia v -пв), ьа л -.в), (a v в), (-,а -> в).

2. (А -> -i(B л -.С)), (-i(B -> С)л A), (-.A v ЬС -> -.В )).

3. (-п A v -.(В л -.С)), (-1 А -> -fiB v С)), (-.(В -> -,С)л а),

(а л -.(-iC -* -,в)), ((в л -|С)л -ia), (в л (-с л -.а)). 4. (а л -^в) v hc-.d), (-^в -> -. а)л -

3.20. Наши знакомые по школе озорники Алфе­ров, Васильев и Сорокин опять отличились. «Кто из вас принес в класс мышь?» «Принес я или Васильев с Сорокиным», — флегма­тично ответил Алферов. «Если это сделал не Алферов, то неправда, что ее принес я или Сорокин», — возразил Васильев. А Сорокин заявил: «Если мышь принес в класс Алфе­ров или ее не приносил Васильев, то я тем более к этому никакого отношения не имею». Кто все же принес мышь в класс, если все трое солгали? (Пусть А — «Алферов принес мышь», В — «Васильев это сделал» и С — «Виновен Сорокин».) Тогда утверждения озорников соответственно имеют логические структуры:

Алферов:	Васильев:	Сорокин:
(a v (в л с)),	(^А -> -n(B v С)),	((av-,b)->-,c).

Постройте для формул таблицы истинности и ре­шите задачу.

3.21. Даны следующие три логические структу­ры:

(а л -,(в л -iC|, (-.(-iB -> -id) v -.a), (-iC л (-.в v -.a)).

Подобрав подходящие примеры перевода формул на естественный язык, постройте задачу, аналогич­ную предшествующей. Условие остается прежним: все трое солгал ц. Представьте решение задачи.

3.22. Три подружки — Аня, Вера и Соня — написа­ли контрольную работу по математике и пос­ле проверки оказалось, что кто-то что-то у кого-то «позаимствовал». Случай стал предметом обсуждения на классном собрании. Каждая из подруг высказала свою точку зрения. Аня: «Если списывала не Вера, то и не я тоже; но Соня также ни в чем не виновата». Вера: «Тог­да выходит так, что если Соня не списывала, то Аня также не списывала и виноватой остаюсь я». Соня: «Если поверить, что Аня не списы­вала контрольную работу, то все же неправда, что виновность в этом Веры автоматически влечет и мою вину». Кто же списал конт­рольную работу, если поверить всем трем де­вочкам? Решите задачу, предварительно пред­ставив утверждения подружек в виде формул и построив для них таблицы истинности.

ГЛАВА 4

Рассуждение