I. Исходные символы языка

1. Предметные переменные х, у, z, а также х с числовыми индексами:

(бесконечное счетное множество).

2. Предметные константы (аналоги собственных имен ес­тественного языка): (также бесконечноесчетное множество).

3. Знаки свойств и отношений различных местностей — предикатные символы, или предикаторы:

P¹, Q ¹, R¹, S¹, ...;

Р², Q², R², S² , ...;

…………………..

Pⁿ,Qⁿ,Rⁿ,Sⁿ

и возможно эти символы с нижними индексами:

P¹₁ , P¹₂, P¹₃, …

P²₁ , P²₂, P²₃, … и т.д.

(верхние индексы указывают на местность предикатора, ни­жние индексы используются для расширения множества предикаторов той или иной местности; количество предикат­ных символов той или иной местности вводится в зависимо­сти от предназначения языка. Однако, поскольку речь идет о языке логики предикатов, должен быть введен,покрайней мере один предикатный символ).

4. Знаки предметных функций различных местностей (предметные функторы):

f¹₁ , f¹₂, …

f²₁ ,f²₂ , …

………….

fⁿ₁ , fⁿ₂, …

(число функциональных символов той или иной местности зависит также от предназначения языка, возможно отсут­ствие символов этого рода вообще).

5. Логические константы: ⊃,&,",∃,∨, соответствен­но — импликация, конъюнкция, квантор общности, квантор существования, дизъюнкция и отрицание. (Зачастую вво­дят лишь некоторые из этих символов. Из кванторов доста­точны только ∀ или ∃, из остальных, называемых логически­ми связками, достаточно : ⊃ и , или ∨ и , или & и . Другие константы, как, впрочем, и другие знаки, могут вво­диться по определению.)

6. Технические знаки: (- левая скобка, )-правая скобка, ,- запятая.

Предметные константы, предикаторы, предметные функ­торы и предметные переменные называют дескриптивными терминами языка, при этом три первых категории (в отличие от предметных переменных) суть — дескриптивные постоян­ные данного языка.

II. Термы. Выражения этого типа являются аналогами имен естественного языка.

Определение: а) любая предметная переменная и предметная константа есть терм; б) если есть тер­мы и f¸ⁿ есть n-местный предметный функтор, то f¸ⁿ (есть терм; в) ничто, кроме указанного в пунктах а) и б), не есть терм.

III. формулы. В числе этих выражений имеются аналоги повествовательных предложений естественного языка, а так­же высказывательные формы — предикаты, представляющие собой особую семантическую категорию, которая не выделяется, — по крайней мере, явным образом — в естественном языке.

Определение: а) если термы и P¸ⁿ n-мест­ный предикатор, то P¸ⁿ () есть формула (атомарная);

б) если А и В — формулы, то (А⊃В), (А&В), (AvB), A — формулы; в) если х есть предметная переменная и А — фор­мула, то ∀ x A и ∃ x A — формулы; г) ничто, кроме указанно­го в пунктах а) — в), не есть формула.

Договоримся в дальнейшем опускать, когда это удобно, внешние скобки в отдельно взятых формулах; например, вместо (А & В) писать просто

А &В.

Использованные в определениях терма и формулы сим­волы и f¸ⁿ, P¸ⁿ, A, B, x (и в дальнейшем возможно x₁, x ₂ и т. д.) — знаки метаязыка называемые также син­таксическими переменными, возможными зна­чениями которых являются выражения соответствующей ка­тегории описываемого (объектного) языка.

Формулы А и В, встречающиеся в пунктах б) и в), назы­ваются подформулами указанных здесь формул.

Введенные понятия исходного символа, терма и формулы языка являются эффективными (иначе: рекурсивными). По­следнее означает, что имеется точный способ, с помощью которого всегда можно определить, относится ли некоторый символ к числу исходных символов языка, а для каждой последовательности исходных символов можем определить, представляет ли она терм или формулу. Для термов и формул такой способ заключен в их индуктивных определениях. Так, в каждой формуле, содержащей логические константы (знаки логических операций), имеется главная, или, что то же, последняя, в построении формулы операции. Выделив ее, мы выделяем тем самым собственные подформулы этой формулы. В последних снова выделяем главную операцию и так далее, пока не дойдем до какой-либо атомарной форму­лы. Если в процессе такого анализа исходного выражения в какой-либо части его, не являющейся атомарной формулой, нельзя выделить знак главной операции, то эта часть не яв­ляется формулой, а следовательно, таковой не является все выражение. Возможность распознавания атомарных формул среди последовательностей символов является очевидной. (При констатации эффективности введенных понятий подразумевается так называемая абстракция отождествления согласно которой все различные случаи употребления некото­рого символа, например а, рассматриваются как различные экземпляры, одного и того же символа, и предполагается, что мы умеем узнавать символ, несмотря на некоторые, всегда имеющиеся различия в его написаниях.)