AÛb)&(bÛg)Þ(aÛg) - закон транзитивности эквиваленций

Доказательство.Докажем, например, что формула 5 – закон логики. Если А и В – переменные высказывания, то, составив таблицу истинности, легко убедиться, что формула (АÞВ)Þ(`АÞ`В) является тавтологией. Подставляя в неё одновременно вместо А и В соответственно произвольные формулы a и b, получаем формулу (aÞb)Þ(`b Þ`a), которая есть тавтология по предыдущей теореме.

Аналогично доказывается, что и все остальные формулы являются тавтологиями. В основу каждой математической теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории. Все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом и называются теоремами теории. Чаще всего теоремы формулируются в виде импликации aÞb,при этом aназывается условием (или посылкой) теоремы, а b - заключением теоремы. Рассмотрим импликации:

a Þ b- прямая теорема;

b Þ a -обратная теорема;

` a Þ`b- противоположная теорема;

`b Þ`a -противоположная обратной теорема.

Строго говоря, пока не установлено истинна или нет какая-то из этих импликаций, нельзя говорить о том, что она является теоремой, так как теорема – истинное утверждениепо определению.

Теорема. Прямая теорема верна тогда и только тогда, когда верна теорема, противоположная обратной. Обратная теорема верна тогда и только тогда, когда верна противоположная теорема.

Доказательство.1). Пусть теорема a Þ bистинна. Тогда по закону контрапозиции и по теореме 3, теорема` a Þ`bтоже истинна. Обратно, если истинна теорема`b Þ`a ,то по тому же закону и по теореме 3 истинна теорема Ø(Øa)ÞØ(Øb), которая равносильна a Þ bпо теореме 2 ( 7) и 7)`) и замечанию к теореме 2.

2). Доказательство второго утверждения осуществляется аналогично.

Примеры.1. Прямая теорема: (n делится на 6)Þ(n делится на 3) - верна.

2. Обратная теорема: (n делится на 3) Þ (n делится на 6) - неверна.

3. Противоположная теорема: ( n не делится на 6) Þ (n не делится на 3) - неверна.

4. Теорема, противоположная обратной: (n не делится на 3) Þ : ( n не делится на 6) – верна.

Этот пример показывает, в частности, что из справедливости прямой теоремы не вытекает, вообще говоря, справедливость обратной.

5. Теорема Пифагора: «Если треугольник – прямоугольный, то квалрат одной из его сторон равен сумме квадратов двух других сторон» - верна.

6. Теорема, обратная к теореме Пифагора: «Если квадрат какой-нибудь стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон, то этот треугольник – прямоугольный» - верна.

При доказательстве серии обратных теорем бывает полезна теорема Гаубера:

Теорема(Гаубера). Пусть верны теоремы

a₁Þb₁; a₂Þb₂; … ; a_nÞb_n;

Условия которых a1, a2, …, an исчерпывают все возможные случаи (истинна дизъюнкция a1Úa2Ú … Úan), а заключения b1, b2, … , bn попарно несовместны (ложна каждая конъюнкция bi&bj). Тогда верны обратные теоремы