Векторно-матричные операции

ЛЕКЦИЯ 2

Элементы программирования в среде MATLAB

Векторно-матричные операции.

Все данные в системе MATLAB интерпретируются как массивы.
Массив – это упорядоченный набор однотипных данных (действительных и комплексных чисел, переменных, арифметических выражений). Каждый массив имеет имя. Массивы бывают одномерными, двумерными и многомерными. Доступ к конкретному элементу массива осуществляется путем указания его индекса (номера элемента в массиве).

Вектор в MATLAB – это одномерный массив, матрица – двумерный массив. По умолчанию программа предполагает, что каждая заданная переменная это вектор или матрица. Так, например, запись v=1 означает вектор, состоящий из единственного элемента = 1.

Способы задания векторов и матриц:

1.если значения элементов векторов являются арифметической прогрессией, такой вектор можно задать в виде:

имя = xn : dx : xk

где имя – имя, которое присваивается массиву; xn, xk – соответственно значения первого и последнего элементов массива, dx – шаг для формирования следующего элемента массива. Если параметр dx отсутствует, тогда шаг = 1 и вектор задается так:

имя = xn : xk

2.Поэлементный ввод. Для определения вектор-строки записывается имя массива, знак присваивания “=”, затем в квадратных скобках через пробел или запятую значения элементов массива, например, v=[1 2 3 4 5] или v=[1,2,3,4,5].

Элементы вектора-столбца вводятся через точку с запятой, например, v=[1;2;3;4;5].

Приобращении к элементу векторауказывается имя массива и порядковый номер элемента в круглых скобках, например v(1).

Ввод элементов матрицы осуществляется в квадратных скобках, при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой, а сами строки разделяются между собой точкой с запятой, например A=[1 2; 3 4]. Второй вариант задания той же матрицы

A=[1 2

3 4]

Обращение к элементу матрицы имеет вид: A(m,n), где m – номер строки элемента, n – номер столбца.

3. Путем объединения нескольких векторов. Результатом выполнения следующего фрагмента программы

>> a=[1 2 3];

>> b=[4 5 6];

>> c=[a b];

будет вектор с, содержащий элементы:

1 2 3 4 5 6

Результатом выполнения фрагмента программы

>> a=[1 2];

>> b=[3 4];

>> с=[a; b]

станет матрица с, имеющая вид

1 2

3 4

Формирование матриц и векторов определенного вида:

1. zeros(m,n) – прямоугольная матрица с нулевыми элементами, где m – число строк, n – число столбцов.

1. zeros(m) – квадратная матрица с нулевыми элементами.
2. ones(m,n) – прямоугольная матрица, состоящая из единиц;
3. ones(m) – квадратная матрица, состоящая из единиц;
4. eye(m,n) – прямоугольная матрица с 1 по главной диагонали, остальные элементы = 0.
5. eye(m) – квадратная матрица из 1, расположенных по главной диагонали.
6. diag(A) – извлечение главной диагонали матрицы A.
7. diag(A,m) – извлечение любой диагонали матрицы A, m – номер извлекаемой диагонали (диагонали отсчитываются вверх и вниз от главной диагонали, у которой по умолчанию номер = 0).

Операции над векторами делятся на 2 типа:

1. Поэлементное преобразование (возможно только над векторами одинакового размера и типа). Признак поэлементной операции – точка перед знаком операции. В случае сложения или вычитания знак поэлементной операции ставить не нужно. Примеры: c=a.*b или d=k+p.

2. Векторные операции (сложение и вычитание векторов, транспонирование векторов, умножение на число, умножение вектора на вектор, скалярное и векторное произведение векторов). Примеры: b=x-y или z=x'.

Для транспонирования применяется знак апостроф (’).

Умножение вектора на число выполняется с помощью обычного оператора умножения «*», причем умножать вектор на число можно и справа и слева.

Операции над матрицами:

1. поэлементные операции (поэлементное умножение и деление матриц одинакового размера, поэлементное возведение в степень). Знаки, обозначающие соответствующие поэлементные операции эквиваленты векторным поэлементным операциям.
2. матричные операции (сложение и вычитание матриц одинаковых размеров, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу; возведение матрицы в целую степень, транспонирование матрицы, участие в матричной операции обращенной матрицы). Перечисленные операции выполняются в MATLAB с помощью обычных арифметических операторов.

Некоторые функции для работы с векторами и матрицами.

· size(A) – определяется размер массива;

· length(a) – определяется количество элементов вектора;

· sort(a) – сортировка элементов вектора по возрастанию, где а – вектор. Если аргумент - матрица, тогда в результате функция упорядочивает каждый столбец матрицы отдельно;

· max(a) и min(a) – соответственно определение максимального (минимального) элемента вектора. Если аргумент этой функции – матрица, то результат – вектор-строка состоящая из максимальных (минимальных) элементов в соответствующих столбцах матрицы;

· dot(a,b) – скалярное произведение векторов a и b. Другой способ – матричное умножение транспонированного вектора a (строки) на вектор b (столбец). Пример: a’*b;

· eig(A) – возвращает вектор собственных значений матрицы А; [T,J]=eig(A) дает матрицу T, столбцы которой – собственные вектора матрицы A, и диагональную матрицу Jс собственными значениями матрицы A;

· inv(A) возвращает обратную матрицу к матрице A.

Пример 1.1. Вычислить скалярное произведение ,

где ; ;

; ; .

Найдем скалярное произведение 2 способами. Первый способ предполагает написание М-файла. Текст М-файла приведен ниже.

A=[1 2 3;1 2 1;3 2 0]; B=[4 1 2; 0 4 3;1 1 1]; p=[.1;1.7;-1.5]; q=[-1.6;0.8;1.1]; r=[-0.7;1.3;0.2]; s=(A*p)'* B*(q+r)

Второй способ предполагает использование режима командной строки:

>> A=[1 2 3;1 2 1;3 2 0];

>> B=[4 1 2; 0 4 3;1 1 1];

>> p=[.1; 1.7; -1.5];

>> q=[-1.6; 0.8; 1.1];

>> r=[-0.7; 1.3; 0.2];

>> s=dot(A*p,B*(q+r))

Получаемый результат:

s =

33.1700

Пример 1.3. Решить систему линейных алгебраических уравнений

Текст соответствующего M-файла:

A=[2 -7 10 7 1 4 1 -1 1] b=[-13; 11; 0] x=A\b

Следует обратить внимание на то, что операция «деления» вектора b справа налево на матрицу А вызывает обращение матрицы А и умножение матрицы, обратной матрице А, на вектор b.

Получаемый результат:

A =

2 -7 10

7 1 4

1 -1 1

b =

-13

x =

-1

Пример 1.2. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы

Текст соответствующего M-файла:

A=[2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 2] [T,J]=eig(A)

Получаемый результат:

A =

2 -1 0

-1 2 -1

0 -1 2

T =

0.5000 -0.7071 -0.5000

0.7071 0.0000 0.7071

0.5000 0.7071 -0.5000

J =

0.5858 0 0

0 2.0000 0

0 0 3.4142