Высказывания могут быть простыми и сложными.
Простые – которые не содержат в себе высказываний. Простые высказывания называются часто элементарными или атомарными. Сложные – молекулярными.
Основные законы (равносильные преобразования):
Закон идемпотентности А ∩ А = А ; А ∪ А = А
Коммутативный А ∩ В = В ∩ А ; А ∪ В = В ∪ А
Ассоциативный (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) = А ∩ В ∩ С ;
(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С) = А ∪ В ∪ С
Дистрибутивный А ∩ (В ∪ С) = (А ∩ В) ∪ (А ∩ С) ;
А ∪ (В ∩ С) = (А ∪ В) ∩ (А ∪ С)
Закон поглощения А ∩ (А ∪ В) = А
А ∪ (А ∩ В) = А
Закон де Моргана Ø(А ∩ В) = ØА ∪ ØВ
Ø(А ∪ В) = ØА ∩ ØВ
Закон двойного дополнения (отрицания) ØØА = А
Универсум и пустое множество А ∩ U = А
А ∪ U = U
А ∩ Æ = Æ
А ∪ Æ = А
ØU = Æ
ØÆ = U
Законы по отношению к операциям пересечения и объединения подчинены принципу двойственности:
Если в любом верном тождестве все знаки пересечения заменить знаками объединения, а все знаки объединения – знаками пересечения, знак универсума – знаком пустого множества и наоборот, то получим снова верное тождество.
Операции над высказываниями:
Конъюнкция Дизъюнкциия Строгая (сильная) дизъюнкция
Импликация Эквиваленция (двойная импликация)
Символ Лукасевича
Отрицание Операция Шеффера (стрелка Пирса)
Импликация – единственная несимметричная операция. Для нее справедливо следующее правило:
Импликация истинна всякий раз, когда ее антецедент ложен (независимо от значения консеквента), либо когда консеквент истинен (независимо от значения антецедента)
Антецедент – от лат. antecedent – предшествующий
Консеквент – от лат. consequens – последующий
Удобно использовать универсальную таблицу истинности значений
| А | В | Т | АÚВ | В→А | А | А→В | В | А↔В | АÙВ | А/В | АύВ | ØВ | Ø(А→В) | ØА | Ø(В→А) | А↓В | ^ |
| и | и | и | и | и | и | и | и | и | и | л | л | л | л | л | л | л | л |
| и | л | и | и | и | и | л | л | л | л | и | и | и | и | л | л | л | л |
| л | и | и | и | л | л | и | и | л | л | и | и | л | л | и | и | л | л |
| л | л | и | л | и | л | и | л | и | л | и | л | и | л | и | л | и | л |
Полученные формулы в логике высказываний можно решать алгебраически, т.е. не отвлекаясь на конкретное содержание того или иного высказывания. Существует несколько методов решения формул (высказываний):
- Метод таблиц истинности (истинностных таблиц)
- Метод приведения к абсурду
- Метод аналитических таблиц (таблицы Бетта)
Метод таблиц истинности наиболее нагляден и прост, однако не всегда удобен, т.к. обладает эффективностью лишь при n £ 5 (число возможных вариантов истинности аргументов высказывания есть 2n). При большем значении n таблица получается весьма громоздкой и неудобной. Поэтому формулы, содержащие большее количество аргументов решаются только аналитически, с помощью других методов.
Метод приведения к абсурду.
Рассмотрим пример:
Пусть дана формула А→(В→А)
Допустим, что она – тавтология, (т.е. ложна)
Поскольку формула представляет собой импликацию, то получаем, что антецедент имеет значение «и», а консеквент – значение «л».
При этом внутренняя формула (консеквент исходной) также ложна, а ее консеквентом (а значит, имеющим значение лжи) является аргумент А, который в исходной формуле имеет значение «и».
Получается абсурд: один и тот же аргумент («А») в одном и том же высказывании имеет разные значения в одно и то же время: Аи и Ал.
Такого по законам логики быть не может, поэтому наше предположение (“допустим, что она ложна”) неверно.
Метод приведения к абсурду эффективен лишь в импликативных высказываниях, для проверки гипотез на противоречивость. При этом консеквент импликации называется претендентом на следование
Другими словами, претендент на следование имеет право занимать свое место лишь тогда, когда формула является тождественно истинной. Если же найдется хотя бы один набор аргументов, при котором формула имеет значение лжи, претендент на следование стоит незаконно.
Выражаясь языком логики, это означает, что данный претендент на следование не выводится с необходимостью из данных посылок.
Метод аналитических таблиц
Во многом аналогичен предыдущему методу.
Так же предназначен для проверки выводимости претендента на следование из имеющейся гипотезы. Однако предполагает наличие определенных правил:
1. Всякая формула начинается с литеры
литера Т – истинность формулы
литера F – ложность формулы
2. Всякая формула раскладывается в соответствии со следующими условиями:
для отрицания
(дополнения):
для конъюнкции:
для дизъюнкции:
для импликации:
для эквиваленции
(тождества):
для строгой дизъюнкции:
для операции Шеффера:
для операции Пирса:
[примечание: в качестве аргумента может стоять любая формула]
Решение ведется по следующему алгоритму:
Всегда начинаем с литеры F – попытка опровергнуть формулу
Если в каком-то столбце встречается один аргумент с разными литерами, то такой столбец считается замкнутым
Если все столбцы в таблице замкнуты, таблица называется замкнутой
Если таблица замкнута, то формула – тавтология
Пример:
Пусть дана формула ((А → В) Ù (В → С)) → (А → С)
Решение:
– столбцы замкнуты. Таблица получилась замкнутой, формула – тавтология.
План семинарских занятий по теме: Основные законы (принципы) правильного мышления. Понятие о логическом законе
1. Понятие о логическом законе.
2. Закон тождества
3. Закон непротиворечия
4. Закон исключенного третьего
5. Закон достаточного основания.
ТЕСТ.
1. Сохранит ли тождество суждение, если выделенное в данном суждении понятие заменить понятием, заключенным в скобки?
Любое государство, проводящее миролюбивую политику, заслуживает уважения (страна).
1) да; 2) нет.
2. Опираясь на закон (не) противоречия, установите, могут ли быть одновременно истинным оба суждения?
Все студенты 1-ой группы подготовились к зачету по логике.
Некоторые студенты 1-ой группы к зачету по логике не подготовились.
1) да.2) нет;
3. Определите, нарушено ли здесь требование закона достаточного основания?
Все студенты изучают экономику, Семенов изучает экономику, значит он студент.
1) да; 2) нет.
4. Опираясь на закон исключенного третьего, установите, возможна ли истинность третьего суждения?
Некоторые студенты 1 курса сдали зачет по логике.
Ни один студент 1 курса зачет по логике досрочно не сдавал.
1) нет; 2) да.
5. Какой формально – логический закон можно записать следующим образом: « А есть А»
1) закон исключенного третьего; 2) закон (не) противоречия; 3) закон тождества; 4) закон достаточного основания.
6. Какой формально-логический закон можно записать следующим образом? «А не может в одно и то же время быть В и не-В»
1) закон достаточного основания.2) закон тождества; 3) закон исключенного третьего; 4) закон (не) противоречия;
7. Какой формально-логический закон можно записать следующим образом? « Либо А есть В, либо А есть не – В».
1) закон тождества; 2) закон достаточного основания; 3) закон исключенного третьего; 4) закон (не) противоречия.
8. Определите, какой формально-логический закон нарушен в приведенном отрывке?
« Один из ученых пожаловался известному врачу, что он болеет артритом».
- А ваша мать болела артритом? – спросил врач.
- Нет.
- А отец?
- Тоже не болел.
- Нет у вас артрита, - заявил врач и, распростившись с пациентом, ушел без дальнейших объяснений».
1) закон тождества; 2) закон достаточного основания; 3) закон (не) противоречия; 4) закон исключительного третьего.
9. Определите, какой формально-логический закон нарушен в приведенном отрывке?
«Учитель: надеюсь, Том, я не увижу, что ты списываешь с чужой тетради. Том: Я тоже на это надеюсь».
1) закон тождества; 2) закон (не) противоречия; 3) закон исключенного третьего; 4) закон достаточного основания.
10. Какой формально-логический закон нарушен в приведенном отрывке?
« Однажды падишах спросил Бирбала:
- Скажи мне, Бирбрал, сколько останется, если из двенадцати отнять четыре?
- Ничего не останется, - ответил Бирбал.
- Как это ничего? – удивился падишах.
- А так, - ответил Бирбал, - если из двенадцати месяцев вычесть четыре времени года, что же останется? Ничего!»
1) закон тождества; 2) закон (не) противоречия; 3) закон исключенного третьего; 4) закон достаточного основания.