Типовые нечеткие логические операции

Нечеткие логические операции могут быть введены различными способами. Рассмотрим типовые нечеткие логические операции, используемые в прикладных задачах управления.

Поскольку значения истинности нечетких предикатов описываются нечеткими множествами, то для введения операций нечеткой логики будем использовать операции нечетких множеств.

Определение: нечеткая конъюнкция (Fuzzy conjunction или fuzzy AND).

Значение истинности нечеткой конъюнкции определяется следующим образом:

= ,

где - значения истинности нечетких предикатов A, B соответственно.

Определение: нечеткая дизъюнкция: (Fuzzy disjunction или fuzzy OR). Значение истинности нечеткой конъюнкции определяется следующим образом:

= ,

где - значения истинности нечетких предикатов A, B соответственно.

Определение:нечеткое отрицание (Fuzzy negation). Значение истинности нечеткого отрицания определяется следующим образом:

= ,

где - значение истинности нечеткого предиката A.

Нечеткая импликация или нечеткое правило

Нечеткая импликация или нечеткое правило (Fuzzy implication или a fuzzy rule) представляет собой следующее выражение:

ЕСЛИ есть , ТО есть ,

где A и B - лингвистические переменные, определенные нечеткими множествами на универсумах C и U соответственно. В символьной форме запись имеет следующий вид: .

Часть «ЕСЛИ» (х есть A) называется антецедентом (the antecedent) или посылкой. Часть «ТО» ( есть ) называется следствием (consequence) или заключением.

Определение: Нечеткая импликация (Fuzzy implication).Значение истинности нечеткой импликации определяется следующим образом:

= ,

где есть операция нечеткой конъюнкции (fuzzy AND operation) и - значения истинности нечетких предикатов соответственно.

Интерпретация нечеткой импликации, данная в этом определении, называется импликацией Мамдани (Mamdani implication).

На рис. 2.9 показаны различные интерпретации нечеткой импликации R.

(а)

(б)

Рис. 2.9.(а, б) Две интерпретации нечеткой импликации

Первая интерпретация (рис. 2.9 (а)) представляет импликацию Мамдани: . Вторая интерпретация (рис. 2.9,б) представляет так называемую материальную импликацию, или Булеву импликацию и означает следующее:

Мы будем использовать первую интерпретацию. При этом нечеткое множество R может быть описано как

= A B = ,

где * есть оператор нечеткой конъюнкции ( fuzzy AND operator), т.е.

= .

Примечание. Как принято в литературе по нечетким множествам, знаки интеграла « » и деления «/» в приведенной выше формуле используется только для указания непрерывной совокупности точек .

Примечание. Заметим, что в литературе предложено много определений нечетких логических операций. В общем случае, эти операции называются -нормы и -конормы. Популярной альтернативой введенному выше определению нечеткой импликации являются следующие ниже:

Импликация Лукашевича (Lukasiewicz’s implication):

= ;

Импликация Ларсена (Larsen implication):

= ;

Импликация Заде (Zadeh implication):

= .

Популярной альтернативой введенным выше определениям нечеткой конъюнкции и дизъюнкции являются следующие:

.

Процесс нечеткого вывода

Прежде, чем рассмотреть процесс нечеткого вывода, обсудим модель процесс рассуждений (reasoning process) в общем виде, который проиллюстрирован на рис. 2.10.

Примечание. Представленные на рис. 2.10 английские термины имеют следующий перевод:

Current data – текущие входные данные;

Reasoning scheme – схема рассуждения;

KB (Knowledge Base) – БЗ; A set of Rules- множество правил;

New Facts – новые факты.

Рис. 2.10. Общая схема процесса рассуждений

В общем случае, процесс рассуждений, или вывод (inference), состоит из двух этапов:

1. сопоставление (matching) входных данных (A1,A2,…) с левыми частями правил, содержащихся в БЗ, и

2. вывод (Inferring) выходных данных (фактов) (B1, B2,…) с использованием законов вывода.

Рассмотрим вначале классический вывод.

Классические схемы вывода

Обратимся к классической пропозициональной логике (classical propositional logic) или логике высказываний. Наиболее популярными законами вывода в логике высказываний являются так называемые законы «модус поненс» (modus ponens) и «модус толленс» (modus tollens), приведенные ниже.

Modus ponens правило вывода: ,

которое означает следующее: если имеется правило и истинное входное данное Y и Y =A, тогда мы можем вывести, что B тоже истинно.

Другими словами, зная, что высказывания и истинны, можно сказать, что высказывание также истинно (верно).

Modus tollens правило вывода: ,

которое означает следующее: если имеется правило и истинное входное данное Y = (не ), тогда мы можем сказать, что высказывание также верно, то есть высказывание ложно.

Другие законы вывода также используются в логике высказываний, например, следующие:

Закон силлогизма (Law of syllogism): ;

Закон противоположностей (Law of contra positive): ;

Закон двойного отрицания (Law of double negation): .

Перепишем теперь традиционный закон вывода modus ponens следующим образом:

Посылка 1 (входной факт): есть

Правило: ЕСЛИ есть , ТО есть

Заключение: есть

Отметим главные особенности классической схемы вывода:

· мы делаем точное сопоставление (exact matching) входных данных (фактов) с левыми частями правил (импликаций);

· мы имеем дело с двузначными величинами истинности (истинно/ложно) входных и выходных данных.

Нечеткий вывод

Процесс нечеткого вывода показан на рис. 2.11.

Мы сопоставляем нечеткие входные данные с левыми частями нечетких правил (нечеткой импликации) и нечеткий выход получаем с применением нечеткого закона вывода.

Рассмотрим закон вывода в нечеткой логике. Этот закон называется обобщенный «модус поненс» (generalized modus ponens):

,

что означает следующее: если мы имеем нечеткое правило и нечеткий вход ( ), то мы можем сделать выходное заключение ( ).

Перепишем эту схему вывода следующим образом:

Посылка 1 ( нечеткий вход): есть

Нечеткое правило: ЕСЛИ есть , ТО есть

Нечеткое заключение: есть

Рис. 2.11. Процесс нечеткого вывода

Таким образом, мы можем видеть две основные особенности нечеткой схемы вывода.

· мы делаем приближенное сопоставление (approximate matching) входных данных (фактов) с левыми частями правил (импликаций);

· мы имеем дело с непрерывными величинами истинности (continuous-valued truth values) входных и выходных данных.

Сформулируем теперь основную проблему нечеткого логического вывода: если мы знаем функции принадлежности входных данных и функции принадлежности левых и правых частей нечеткого правила , то как определить функцию принадлежности заключения ?

Нечеткий вывод, основанный на правиле max-min композиции

Итак, опишем следующую проблему.

Пусть - нечеткое множество в X и R - нечеткое бинарное отношение в X Y : .

Рассмотрим следующий нечеткий вывод:

Посылка 1 ( нечеткий вход): есть

Нечеткое правило: ЕСЛИ есть , ТО есть

Нечеткое заключение: есть

Поставим следующую задачу: построить нечеткое множество в Y.

Рассмотрим метод ее решения.

Нечеткое правило может быть рассмотрено как нечеткое бинарное отношение в двумерном пространстве с некоторой функцией принадлежности , где . Следовательно, R есть двумерное нечеткое множество с двумерной функцией принадлежности .

Для построения множества сделаем следующие шаги:

1. построить цилиндрическое расширение (cylindrical extension) с основой . Обозначим его как . Это означает, что мы расширили домен в X на X Y.

2. найти пересечение с множеством R, т.е. найти .

3. сделать проекцию пересечения на ось Y. Эта проекция и будет результирующее нечеткое множество в Y.

Запишем эти шаги формально.

Пусть , , и есть функции принадлежности , , и соответственно.

= по определению цилиндрического расширения.

Но из определению пересечения нечетких множеств имеем

.

Далее, проецируя на ось Y, мы имеем (по определению проекции):

= = . (2.1)

Формула (2.1) называется max-min композицией (max-min composition). Обозначим эту композицию символом “ ” и представим ее в символьной форме как:

. (2.2)

Если мы выберем в качестве операции нечеткого пересечения операцию умножения (функций принадлежности), то мы будем иметь правило max-product композиции:

= . (2.3)

Формулы (2.1) и (2.3) являются наиболее часто применяемыми в нечетком выводе.

Пример: Нечеткий вывод с единственным нечетким правилом, в котором всего один антецедент. Рассмотрим простейший случай, когда мы имеем в БЗ всего одно правило:

Нечеткое правило: ЕСЛИ есть , ТО есть

Правило содержит в левой части только один антецедент «ЕСЛИ есть ».

Перепишем формулу (2.2) с учетом интерпретации для нечеткой импликации в виде:

= .

Тогда

= = =

= . (2.4)

Будем называть - степень активации правила.

Примечание. В литературе этот параметр называется a firing strength of a rule, дословный перевод – «мощность зажигания правила». Будем называть его также силой активации правила.

Пример: Нечеткий вывод с единственным нечетким правилом, в котором два антецедента. Рассмотрим нечеткое правило с двумя антецедентами:

“ЕСЛИ И ТО .”

Данное нечеткое правило представляет тернарное нечеткое отношение R, которое может быть определено следующими функциями принадлежности

(2.5)

Результирующее нечеткое множество может быть представлено как:

= (2.6)

Используя (2.5) и расширение (2.2) на случай (2.6), мы можем вычислить как:

=

(2.7)

Механизм вычисления формулы (2.7) показан графически на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Простая графическая интерпретация схемы нечеткого вывода на основе max-min композиции

Опишем вычисления в формуле (2.7), представленных на рис. 2.12. Находим и (степени активации правила) следующим образом: есть максимум пересечения нечетких множеств A и , есть максимум пересечения нечетких множеств B and . Затем берем значение как минимум из величин и . Результирующее нечеткое множество строится посредством «усечения» функции принадлежности C на величину .

Примечание. Рассмотрим другой тип нечеткого правила:

“ЕСЛИ ИЛИ ТО .”

Тогда степень активации правила w вычисляется как максимум из величин w₁ и w₁.

Пример: Нечеткий вывод с множеством нечетких правил, в которых много антецедентов. В этом случае схема нечеткого вывода выглядит следующим образом:

Посылка 1 (вход): , and ,

Правило 1: ЕСЛИ И ТО

Правило 2: ЕСЛИ И ТО

Заключение (выход):

Рис. 2.13. Графическая интерпретация схемы нечеткого вывода на множестве правил

Будем строить нечеткое множество следующим образом:

= (2.8)

Так как оператор max-min композиции обладает дистрибутивным свойством относительно операции « », перепишем (2.8) следующим образом:

­ = =

, (2.9)

где and - результирующие нечеткие множества для правил 1 и 2.

Итак, конечный результат вывода строится как сумма (т.е. мах) нечетких множеств и .

Механизм вычисления формулы (2.9) показан графически на рис. 2.13.

Этот метод нечеткого вывода называется также как минимаксный (min-max) метод нечеткого вывода.