Суждения и умозаключения. Математические док-ва и их виды.

1. Три основные формы мышления.

Прочное усвоение математических знаний невозможно без целенаправленного развития мышления. Поэтому развитие мышления – одна из задач современного школьного обучения. Структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют формами мышления. Принято считать, что в мышлении можно выделить 3 основные формы: понятие, суждение и умозаключение.

Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки объектов, относящихся к данному понятию. Например, «Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны» (определение понятия «медиана треугольника»).

Суждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, о связи между ними и их свойствами или отношениях между ними. Например, «В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой» (теорема).

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений получается новое суждение. Например, доказательство любой теоремы, например теоремы о медиане равнобедренного треугольника, представляет собой цепочку умозаключений.

2. Суждения, виды суждений как формы мышления.

В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определённым образом связываются между собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. Мыслить – значить высказывать суждения. С помощью суждения мысль получает своё дальнейшее развитие. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями. Если суждения правильно отображают объективно существующие зависимости между вещами, то такие суждения называют истинными. В противном случае суждения будут ложными. Например, суждение «Всякий ромб является параллелограммом» – истинно; но суждение «Всякий параллелограмм является ромбом» – ложно.

Итак, характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении. Причём в речи суждение должно быть повествовательным предложением. Например, «Треугольник АВС – равнобедренный» – суждение, а предложение «Будет ли треугольник АВС равнобедренным?» не является суждением.

Каждая наука по существу представляет собой определённую систему суждений об объектах, являющихся предметом её изучения. Каждое из суждений оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах данной науки. Математика также представляет собой определённую систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов (например, ^ есть символ перпендикулярности и др.).

Основные виды математических суждений таковы:

1.Аксиома (от греч. «axioma»– «авторитетное предложение», «самоочевидная истина») – это предложение, принимаемое без доказательства. Определённое число аксиом образует систему отправных исходных положений некоторой научной теории. Эти же аксиомы лежат в основе доказательств других положений (теорем) этой теории. В границах построенной теории каждая из аксиом принимается без доказательства. Таково, например, известное положение евклидовой геометрии «Через две точки плоскости проходит единственная прямая». Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории.

Нужно добавить, что к системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются следующие требования:

I. независимость (каждая аксиома не является следствием других аксиом);

II. непротиворечивость (следствием аксиомы А не может быть одновременно два высказывания типа В и );

III. полнота (аксиом должно быть достаточно для построения самой теории).

2. Постулат (от лат. «postulatum» – требование) – это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями. Нередко постулаты являются частью определения некоторого понятия или некоторой системы понятий. Однако с точки зрения логики, термины «постулат» и «аксиома» понятия равнозначные.

Например, 5-ый постулат Евклида является также аксиомой: «Если две прямые пересекаются третьей так, что по какую-либо сторону от неё сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются».

3. Теорема (от греч. «theorema» – рассматриваю, обдумываю) – это математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения). В теореме должно быть ясно указано:

– при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы);

– что об этом объекте утверждается (заключение теоремы).

Например, такая теорема: «В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам». Условие теоремы: данный четырехугольник – параллелограмм, диагонали его пересекаются. Заключение теоремы: точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам. Данная теорема записана в категорической форме.

Чтобы легче выделить условие и заключение теоремы, полезно переформулировать её в условной форме, применяя логический союз «если..., то...». Так, например, теорему о диагоналях параллелограмма можно сформулировать по-другому, не меняя ее смысла: «Если данный четырехугольник – параллелограмм и диагонали его пересекаются, то в точке пересечения они делятся пополам».

Таким образом, доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение.

Разъяснение понятий «аксиома», «теорема», «доказательство» проводится в начале курса геометрии (в 7-ом классе). А.В. Погорелов предлагает следующий вариант:

«Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, которое доказывается, называется теоремой. Основные свойства простейших фигур называются аксиомами и являются отправными в доказательствах других свойств. При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы доказанные ранее». Таким образом, в средней школе ограничиваются интуитивным описанием этих понятий.

3. Умозаключение как форма мышления.

Суждения образуются в мышлении двумя основными способами:

1. Непосредственно (с помощью суждения выражается результат восприятия). Например, суждение «эта фигура – окружность».

2. Опосредованно (суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением). Например, «множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура – окружность».

В процессе такой мыслительной деятельности обычно осуществляется переход от одного или нескольких связанных между собой суждений к новому суждению, в котором содержится новое знание об объекте изучения. Этот переход и является умозаключением, которое представляет собой высшую форму мышления.

Итак, умозаключением называется процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений. Например:

«Диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника» (первое суждение).

«Сумма внутренних углов треугольника равна 180°» (второе суждение).

«Сумма внутренних углов параллелограмма равна 360°» (новое суждение-вывод).

Умозаключение отличается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что оно представляет собой логическую операцию над отдельными мыслями. Не всякое сочетание суждений между собой представляет собой умозаключение: между суждениями должна существовать определенная логическая связь. Например, из суждений «сумма внутренних углов треугольника равна 180» и « » нельзя сделать вывод.

4. Математические предложения.

Умение правильно строить различные математические предложения имеет большое значение в системе математических знаний. Каждая математическая теория представляет собой множество предложений. Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками:

1. Предложение должно быть записано (или сформулировано) на языке данной теории, состоять из математических и логических терминов или символов и не содержать никаких других терминов или символов;

2. Предложение должно быть истинно, т.е. являться или исходным истинным предложением (аксиомой) данной теории, или его истинность устанавливается доказательством с помощью уже известных истинных предложений.

Например, предложение «Сумма углов всякого треугольника равна 180°» является геометрическим предложением, принадлежит теории евклидовой геометрии, потому что:

1. Оно записано на языке геометрии (хотя одновременно на русском языке), т. е. состоит из геометрических терминов («сумма углов», «треугольник», «180°») и логических терминов («всякого», «равна»).

2. Оно истинно, т.к. доказывается в рамках евклидовой геометрии, т. е. на основе ее аксиом или других уже доказанных предложений этой теории.

Такое предложение как «Прямая имеет вид туго натянутой нити» широко используется в школьных учебниках, однако оно не является математическим и не принадлежит никакой геометрической теории. Однако в процессе обучения нужно подчёркивать, что в доказательстве геометрических теорем мы имеем право пользоваться только геометрическими предложениями.

5. Математические доказательства, их виды. Примеры доказательств.

Говоря «математическое доказательство» имеется в виду доказательство математических предложений. Доказательством называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предыдущих предложений этой последовательности по правилам логического вывода (Рогановский Н.М.). Правило вывода – это правило, по которому из истинных суждений образуются новые истинные суждения.

С помощью доказательства устанавливаются логические связи между теоремами. Каждое доказательство можно представить в виде конечной последовательности предложений. Различают два основных вида доказательств:

I. Прямые доказательства – каждое такое доказательство представляет собой цепочку умозаключений линейного типа: (разбиение на шаги условно, каждый шаг – истинная импликация), т.е. по свойству транзитивности .

II. Косвенные доказательства– это все остальные. Наиболее распространены в школе следующие:

а) Метод «от противного».

Предполагают, что заключение теоремы неверно. Затем выводят следствия из этого предположения до тех пор, пока не получится противоречие с известным предложением. На этом основании заключают, что предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы. Итак, схема рассуждений такова: Пусть дана некоторая теорема .

1. Пусть истина не («предположим обратное к »).

2. (каждый шаг аргументирован).

3. Получили противоречие:

– с условием теоремы;

– с ранее доказанным утверждением;

– с аксиомой;

– со здравым смыслом (с логикой).

4. Вывод («взгляд назад»): предположение неверно, а верно то, что требуется доказать.

Методом «от противного» следует доказывать в случае:

– единственности;

– если заключение теоремы содержит отрицание (нет, не может, не пересекает и др.);

– случай перебора (из нескольких условий исключаем неверные);

– когда имеем задачи типа «Можно ли…?» (метод проб, ошибок).

Например, дана теорема: «Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один».

Дано: , .

Доказать: I. $ .

II. – единственная.

Доказательство:

I. Строим с помощью циркуля и линейки (т.к. существование объекта доказывается его построением).

II. Методом «от противного».

1. Предположим, что $ .

2. Получаем треугольник АВС.

3. В треугольнике АВС ° – противоречие теореме о сумме углов треугольника.

4. Вывод: предположение неверно, следовательно – единственная, ч.т.д.