Прямая и обратная задача отраженной волны для двухслойной среды с наклонной границей раздела

1. Прямая задача. Прямая задача сейсморазведки методом отраженных волн (МОВ) сводится к получению уравнения годографа над разрезом с известными мощностями слоев и скоростями распространения волн. Простейшим является двухслойный разрез с однородным изотропным верхним слоем и скачком акустической жесткости на наклонной границе с подстилающим полупространством.

Пусть под однородной покрывающей средой со скоростью распространения упругих волн расположена вторая среда со скоростью , а угол разделяющей их плоской границы равен (рис. 4.3). Если на границе раздела сред выполняется условие , то образуется однократная отраженная волна с углом отражения \gamma, равным углу падения . Требуется найти уравнение годографа, т.е. установить теоретическую зависимость времени прихода волны от расстояния , скорости распространения волны в перекрывающем слое , эхо-глубины (глубины по нормали к отражающей границе) залегания отражающего контакта Н и его угла наклона .

Рис. 4.3. К выводу уравнения годографа отраженной волны над двухслойным разрезом

Время прихода отраженной волны в точку профиля наблюдения равно . Пусть О^{*} - мнимый пункт взрыва, или точка, расположенная на перпендикуляре к границе так, что . Так как треугольники и равны, а и , то отрезки и лежат на одной линии и

Из прямоугольного треугольника имеем

Итак,

Это и есть уравнение линейного годографа однократно отраженной волны.

Можно показать, что полученное уравнение является уравнением гиперболы. В самом деле, из уравнения годографа можно получить

Это гипербола, действительная ось которой параллельна оси и смещена на по оси .

Из уравнения годографа можно найти его характерные точки:

Легко показать, что при годограф отраженной волны асимптотически приближается к годографу прямой волны.

Если в уравнении годографа для точек профиля, расположенных от пункта возбуждения по восстанию пласта, при выражении стоит знак "минус", то, как легко показать, для точек по падению пласта должен стоять знак "плюс".

Таким образом, решение прямой задачи метода отраженных волн для двухслойного однородного разреза приводит к следующему уравнению годографа:

(4.6)

2. Обратная задача. Обратная задача метода отраженных волн (МОВ) для модели наклонного контакта двух сред сводится к определению скорости в перекрывающем слое (в методе МОВ эту скорость для слоистой среды называют эффективной ) и геометрических параметров разреза ( ). Обратная задача решается различными способами на основе анализа уравнения годографа (4.6).

Рассмотрим простейшие из них.

А. Определение эффективных скоростей в перекрывающей толще по годографам отраженных волн способами постоянной разности и встречных годографов. Способ постоянной разности при обработке одиночных годографов. Взяв две точки годографа, удаленные на расстояние m, запишем, используя (4.6), для них уравнения:

Вычтя из второго уравнения первое и обозначив , получим:

Отсюда, положив , можно найти как угловой коэффициент прямой в новой системе координат и . В самом деле, продифференцировав это уравнение, получим . Учтя, что для прямой линии , легко получить формулу для расчета:

(4.7)

При практическом применении полученной формулы поступают следующим образом. На годографе выбирается несколько пар точек ( и и и ), расположенных на постоянном расстоянии m друг от друга. Для каждой пары времен находится функция , соответствующая значению , и строится график функции от (рис. 4.4). Взяв приращение для какого-то , легко рассчитать по формуле (4.7).

а	б
Рис. 4.4. Определение эффективной скорости по данным МОВ способом постоянной разности (а) и встречных годографов (б)

Способ двух встречных годографов. Если есть два встречных годографа (рис. 4.4, б), то уравнения годографов для одной точки профиля имеют вид

Вычтя из второго уравнения первое и учтя, что , получим

Введя обозначения и заменив все члены правой части, не содержащие , на , можно записать:

Последнее уравнение является уравнением прямой в системе координат .

Отсюда:

(4.8)

Практическое применение этой формулы сводится к построению прямой линии в координатах ( ) и определению по угловому коэффициенту этой линии .

Б. Способы построения отражающих границ. Получив , можно определить глубину залегания отражающей границы и ее наклон, т.е. построить отражающую границу.

Наиболее простыми способами построения отражающих границ являются различные графические варианты: способ , способ засечек, способ эллипсов и др.

Способ . Поскольку , где - время на пункте взрыва, которое можно определить по годографу (оно равно времени при ), то глубина залегания равна .

Имея несколько ПВ (несколько годографов), можно построить отражающую границу как касательную к окружностям с радиусами , проведенными из соответствующих ПВ (рис. 4.5, а).

а	б	в
Рис. 4.5. Построение отражающей границы способами: а - ; б - засечек; в - эллипсов

Способ засечек. На профиле наблюдений выбирают 3 - 5 точек и из них проводят засечки радиусами . Засечки, пересекаясь примерно в одной точке, дают местоположение мнимого пункта взрыва , а отражающая граница располагается в середине и перпендикулярно (рис. 4.5, б).

Способ эллипсов. В случае неплоских границ раздела для построения отражающей границы применяется способ эллипсов. Известно, что эллипс - это кривая, каждая точка которой расположена на постоянной сумме расстояний до двух его фокусов. Приняв и за фокусы эллипса с постоянным расстоянием , легко видеть, что отражающая площадка лежит на эллипсе (рис. 4.5, в). Построить указанный эллипс можно следующим образом. Берется нить длиной (величина выбирается в том же масштабе, в котором строится разрез). Ее концы закрепляются кнопкой в точках и . Натягивая нить карандашом, легко прочертить эллипс. Построив аналогичные эллипсы для ряда годографов, можно построить отражающую границу, которой является огибающая всех эллипсов.

Приведенный пример решения прямой и обратной задачи МОВ над двухслойным разрезом можно перенести и на многослойный разрез, если заменить слой с на многослойную толщу с некоторой средней или эффективной скоростью и той же мощностью . Для этого в формулах 4.5 - 4.7 следует заменить на (см. 12.2).