Двумерное сглаживание изображений

Довольно часто развитие вычислительной техники и информационных технологий приводит к необходимости модификации известных алгоритмов обработки изображений. Рассмотрим один из таких методов - двумерное сглаживание изображений.

Сглаживание изображений - ослабление искажений, вызванных действием шумов системы воспроизведения изображений (фотографической, телевизионной и т. п.), представляет собой практически важную задачу.

Возможность сглаживания обусловлена различием свойств изображения и шума [1]. При статистическом подходе к сглаживанию эффективность получаемого алгоритма зависит от полноты используемого статистического описания изображения и шума. Обычно шумы отличаются простой статистической структурой, и их свойства либо известны, либо могут быть получены в результате несложных измерений. Для изображений же измерение достаточно полных статистических характеристик является сложной задачей, которую можно облегчить, используя конструктивную модель изображения.

В задаче сглаживания одномерных сигналов часто используют гауссовскую модель сигналов, которая приводит к винеровскому [2] алгоритму линейного сглаживания, обеспечивающему минимальное среднеквадратическое отклонение (СКО) сглаженного сигнала от исходного. Такое сглаживание осуществляется фильтром с частотной характеристикой

(1)

где , - винеровские (энергетические) спектры сигнала и шума, - частота. Теория винеровского сглаживания может быть легко обобщена на случай -мерных сигналов, причем оптимальная частотная характеристика сглаживающего фильтра будет по-прежнему описываться выражением (1), в котором есть теперь -мерная частота.

Применение винеровского линейного сглаживания к изображению не всегда приводит к улучшению его качества, оцениваемого визуально. Это объясняется тем, что шум, как правило, имеет интенсивные составляющие мощности, вплоть до самых высоких пространственных частот, тогда как мощность изображений в основном сосредоточена на низких пространственных частотах, и величина быстро падает на высоких частотах. Поэтому в силу (1) сглаживающий фильтр подавит высокочастотные составляющие изображения, несущие важную информацию о краях и мелких деталях изображенных объектов. Сглаженное изображение станет нерезким.

Как указал Д. Габор [3], спектральное описание статистических свойств изображения оказывается недостаточным, так как оно не отражает его локально-анизотропную (но изотропную в целом) структуру.

Для описания такой структуры в статье предлагается "составная" модель фрагмента изображения. Эта модель используется для синтеза алгоритма сглаживания, дающего оценку элементов изображения с минимальным СКО.

"Составная" модель фрагмента изображения.Одноцветное неподвижное изображение может быть описано как распределение яркости , где - пара чисел - координаты точек плоскости изображения. Будем рассматривать далее только дискретизированные изображения с целочисленными координатами.

Ансамбль изображений представляет собой случайное поле. Вероятностное описание такого поля дается величиной - -мерной совместной плотностью вероятности фрагмента изображения , состоящего из элементов.

Допустим, что имеется классов фрагментов, которые отличаются характером корреляционных связей между элементами определяющими его структуру.

Одни классы образованы фрагментами с изотропной структурой (без преобладания связей в каком-либо направлении на плоскости изображения), другие - фрагментами с той или иной анизотропией. Пусть - - -мерная плотность вероятности фрагмента при условии, что фрагмент принадлежит классу ( , а - распределение вероятностей классов . Тогда

.

(2)

Выражение (2) есть разложение плотности по системе плотностей 1,…,M .Такое представление особенно полезно, когда хорошо аппроксимируется с помощью небольшого набора гауссовских распределений:

,

(3)

где - матрица, обратная ковариационной матрице , соответствующей классу , штрих обозначает транспонирование.

Результаты статистических измерений фрагментов реальных изображений показывают, что хорошее описание их может быть получено с помощью модели, имеющей всего пять классов. Четыре из них соответствуют преобладающим корреляционным связям в одном из четырех направлений, составляющих углы 0°, 45°, 90° и 135° с горизонталью (выбор направлений обусловлен наличием квадратной решетки, на которой задано изображение). Пятый класс описывает фрагменты с "изотропной" структурой. Для нескольких изображений были измерены матрицы и распределение вероятностей ,

Алгоритм сглаживания.Пусть наблюдается изображение с аддитивно наложенным на него независимым от изображения шумом с известной плотностью вероятности. Требуется найти оптимальную (в смысле минимума СКО) оценку элемента изображения по -элементному фрагменту наблюдаемого изображения , где - заданные точки, лежащие в окрестности точки .

Известно, что оптимальной оценкой элемента является апостериорное условное среднее значение

,

(4)

где

.

(5)

В этих выражениях обозначает ; и есть условная плотность наблюдаемого фрагмента при заданном фрагменте . Используя (2), перепишем (5) в следующем виде:

,

(6)

где

(7)

и

.

(8)

Подставив (6) в (4), получим:

,

(9)

где

.

(10)

Величина есть условная оценка при заданном классе фрагмента. Оценка есть взвешенная сумма условных оценок. Вес каждой условной оценки есть апостериорная вероятность (8) класса при данном фрагменте .

Пусть шум имеет гауссовское распределение с известной ковариационной матрицей N. Тогда

.

(11)

Подставив (11) и (3) в (7), получим затем из (10) известную формулу Винера [2]

,

(12)

где - элемент матрицы .

В этом случае апостериорная вероятность состояния (8) переходит в

.

(13)

Как показывает выражение (12), условная оценка может быть найдена с помощью линейного фильтра. При замене , т.е. при сдвиге наблюдаемого фрагмента на выходе фильтра, получим оценку .

Для реализации алгоритма (9) нужно построить линейных фильтров и устройств для вычисления . Выходит, что каждого фильтра надо умножить на соответствующую величину и сложить все произведения.

Алгоритм (9) может быть интерпретирован следующим образом. Для каждого класса фрагментов применяется специфический режим сглаживания, осуществляемый соответствующим линейным фильтром. Если, например, при некотором матрица описывает только горизонтальные корреляционные связи, то оценка должна получаться сглаживанием только в горизонтальном направлении.

Реализация алгоритма.На основе теоретического материала было проведено компьютерное моделирование предложенного в [1] алгоритма.

Рис. 1.
Рис. 2.	Рис. 3.

Для моделирования зашумленного изображения на оригинал накладывался белый гауссовский шум [4]. Наблюдаемый фрагмент содержал 5x5 элементов, причем оцениваемый элемент находился в центре фрагмента. Предполагалось, что имеется пять классов фрагментов, и использовались пять матриц , одна из которых соответствовала "изотропным" корреляционным связям и четыре были анизотропными. Эти матрицы соответствовали связям только вдоль одной из четырех прямых, проходящих через центр (вертикальной, горизонтальной и составляющей угол + 45° с горизонталью). Таким образом, имелось пять режимов сглаживания: по всему фрагменту из 25 элементов и по отрезкам прямых, содержащих по пять элементов. Пять оценок, получаемых в результате пяти процедур сглаживания, суммировались с весами, равными вычисленным апостериорным вероятностям. На рис. 1 показан оригинал с наложенным на него шумом, среднеквадратическая величина которого составляла 5% от диапазона яркостей изображения. На рис. 2 приведено изображение, полученное в результате сглаживания с зашумленного изображения в соответствии с алгоритмом (9). На рис. 3 показан результат винеровского сглаживания. Сравнение рис. 2 и 3 показывает, что описанный выше алгоритм (9) приводит к меньшей нерезкости изображения, чем алгоритм Винера, и, следовательно, использованная модель более адекватна структуре изображения, чем гауссовская.

Литература

1. Лебедев Д.С., Миркин Л.И. Двумерное сглаживание с использованием "составной" модели фрагмента. Сб. "Иконика. Цифровая голография. Обработка изображений". М., "Наука", 1975.
2. W. Wiener.The Interpolation, Extrapolation and Smoothing of Stationary Time Series. N.Y., 1949.
3. D.Gabor. The Smoothing and Filtering of Two-Dimensional Images. - "Progress in Biocybernetics", v. 2. Amsterdam, 1965.
4. D.Gabor. The Smoothing and Filtering of Two-Dimensional Images. - "Progress in Biocybernetics", v. 2. Amsterdam, 1965.
5. R.E.Graham. Snow Removal - A noise -Stripping Process for picture Signals. - IRE Transaction on Information Theiry, 1962. V.IT - IT-8, № 2.
6. Г. Г. Вайнштейн. Пространственная фильтрация изображений средствами аналоговой вычислительной техники.- В сб. "Иконика. Пространственная фильтрация изображений. Фотографические системы". М., "Наука", 1970.

Фильтрация изображений: Обобщенная линейная фильтрация

При проектировании фильтров или, в более общем случае, систем для обработки сигналов, линейные системы играют существенную роль. Когда производится проектирование линейной части системы обработки сигналов, в большинстве случаев можно обосновать принятые решения и вести проектирование с помощью формальных расчетных процедур. С другой стороны, при расчете нелинейной части чаще всего приходится руководствоваться интуицией и эмпирическими суждениями.

Понятие обобщенной суперпозиции дает возможность, по крайней мере в некоторых случаях, применить к классу задач нелинейной фильтрации формальный метод, который является расширением формального подхода, лежащего в основе линейной фильтрации [2].

Задача линейной фильтрации как это констатируется, связана с применением линейной системы для извлечения сигнала из суммы сигнала и шума. С точки зрения векторного пространства задачей линейной фильтрации можно считать определение такого линейного преобразования в векторном пространстве, которое сводит длину или норму вектора ошибки к минимуму. Норма для данного векторного пространства определяет используемый критерий ошибки. Во многих случаях, когда сигнал суммируется с шумом, линейная система не является лучшей системой. Рассмотрим, например, квантованный сигнал с уровнями квантования 1, 2, 3,..., и допустим, что к нему добавились шумы с пиковыми значениями ±0,25. Ясно, что сигнал может быть точно восстановлен с помощью квантизатора, хотя его нельзя формально обосновать как оптимальный нелинейный фильтр. В менее очевидных случаях могут существовать одновременно формальные обоснования как для "лучшего" линейного фильтра, так и для «лучшего» нелинейного фильтра из некоторого класса, но при этом не всегда может быть проведено полное и точное сравнение этих фильтров, хотя бы из-за того, что они часто используют различную информацию о входных сигналах.

Обобщение понятия линейной фильтрации может производиться при фильтрации сигнала и шума, которые комбинируются неаддитивно, лишь при условии, что правило их комбинирования удовлетворяет алгебраическим постулатам векторного сложения. Например, если нужно восстановить сигнал s(t) после такого воздействия шума n(t), что принятым сигналом является s(t)On(t), то необходимо связать s(t) и n(t) с векторами в векторном пространстве, а операцию О с векторным сложением. Тогда класс линейных преобразований в этом векторном пространстве окажется связанным с классом гомоморфных систем, для которых операция О является входной и выходной операцией. Таким образом, при обобщении проблемы линейной фильтрации получают задачу гомоморфной фильтрации. Здесь класс фильтров, из которого должен быть выбран оптимальный, будет классом таких гомоморфных систем, входные и выходные операции которых производятся по правилу, согласно которому объединены выделяемые сигналы.

Если x₁ и х₂ обозначают два сигнала, которые объединяются с помощью операции О, то каноническая форма для класса гомоморфных фильтров, которые можно было бы использовать для восстановления x₁ или х₂, имеет вид, приведенный на рис. 1.

Рис. 1. Каноническая форма класса гомоморфных фильтров, используемых для разделения сигналов, объединенных с помощью операции О.

Система и обратная ей являются характеристическими для этого класса, и, следовательно, при выборе системы из класса необходимо определить только линейную систему . Кроме того, мы видим что, поскольку система гомоморфна с входной операцией O и выходной операцией +, то входным сигналом линейной системы является . Так как выходной сигнал линейного фильтра затем преобразуется с помощью обращения и так как сигнал должен быть восстановлен из комбинации , то требуемым выходным сигналом линейной системы является . Следовательно, задача сводится к линейной фильтрации, и может полностью применяться формальный аппарат.

Следует подчеркнуть, что подход к нелинейной фильтрации, основанный на обобщенной суперпозиции, является лишь одним из многих возможных подходов. Основное его ценное качество состоит в том, что так же, как и при линейной фильтрации просуммированных сигналов, он удобен с точки зрения анализа и фактически сводится к проблеме линейной фильтрации. Хотя на практике при решении большинства задач линейной фильтрации для оптимального выбора фильтра обычно не выполняются формальные расчеты, критерием ошибки, получившим самое широкое распространение, является среднеквадратическая ошибка (или интегральная квадратическая ошибка для апериодических сигналов). При рассмотрении критерия ошибки для гомоморфных фильтров естественно было бы выбрать такой тип критерия, который позволяет выбирать линейный фильтр на основе среднеквадратической ошибки. Этот выбор может быть обоснован формально, но в любом случае естественно считать, что система оптимизируется, если оптимизируется линейный фильтр.

К двум типам задач, где оказалась полезной идея гомоморфной фильтрации, относятся фильтрация перемноженных сигналов и фильтрация свернутых сигналов.