Понятие делителя числа, числа простые и составные. Числа взаимно простые. Признаки делимости на числа 2, 3, 5, 9. Примеры.

Делителем целого числа a называется целое число b, на которое a делится нацело.

Целое число b называется делителем целого числа a, если существует такое целое число q, что справедливо равенство a=b·q.

Если одно натуральное число нацело делится на другое натуральное число, то первое число называют кратным второму числу, а второе число называют делителем первого числа.

Например:

делителем числа 9 является число 3 , 9 : 3 = 3 ;

делителем числа 9 не является число 4 , 9 : 4 = 2 1/4

Oдин (1) — это делитель любого натурального числа: 2 : 1 = 2 ; 4 : 1 = 4 ; 11 : 1 = 11 и. т. д.

Например: 12 : 6 =2; двенадцать кратно шести или двенадцать — кратное числа шесть.

Наименьшим кратным натурального числа является само это число. Например: семь кратно семи, девять кратно девяти.

Просто́е число́— натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя.Другими словами, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x. К примеру, 5 — простое число, а 6 является составным числом, так как, помимо 1 и 6, также делится на 2 и на 3.

Натуральные числа, которые больше единицы и не являются простыми, называются составными. Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса: единицу (имеющую один натуральный делитель), простые числа (имеющие два натуральных делителя) и составные числа (имеющие больше двух натуральных делителей). Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Примеры:

· 14 и 25 взаимно просты — у них нет общих делителей.

· 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5).

· 6, 8, 9 взаимно просты — у них нет делителей, общих для всех трёх чисел.

Свойства взаимно простых чисел:

Числа a и b взаимно просты тогда и только тогда, когда выполняется одно из эквивалентных условий:

· наибольший общий делитель a и b равен единице;

· существуют целые х и y такие, что ax+by=1 (соотношение Безу).

· Любые два (различных) простых числа взаимно просты.

· Если a — делитель произведения bc, и a взаимно просто с b, то a — делитель c.

· Дробь является несократимой тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель взаимно просты.

Чтобы понять делится ли одно число на другое не обязательно проводить сложные вычисления или иметь при себе калькулятор. Математики придумали специальные правила, который помогут вам узнать делятся ли числа нацело друг на друга. Эти правила называются признаками делимости.

ü Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 или является нулём. Например: 52 делится на 2. Последняя цифра 2 делится на 2 нацело (2 : 2 = 1).

11 не делится на 2. Последняя цифра 1 не делится на 2.

ü Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3. Например: 153 делится на 3. Сумма всех его цифр: 1 + 5 + 3 = 9 делится на 3 (9 : 3 = 3). 11 не делится на 3. Сумма всех его цифр: 1 + 1 = 2 не делится на 3.

ü Число делится на 5, если его последняя цифра 5 или 0. Например: 155 делится на 5. Последняя цифра 5. 61 не делится на 5. Последняя цифра 1.

ü Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9. Например: 486 делится на 9. Сумма всех его цифр: 4 + 8 + 6 = 18 делится на 9 (18 : 9 = 2)

55 не делится на 9. Сумма всех его цифр: 5 + 5 = 10 не делится на 9.

16) Общие делители двух данных чисел. Наибольший общий делитель двух данных чисел: НОД (a, b). Примеры нахождения НОД (a, b).

Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делителем каждого из них. Например, числа 36, 60, имеют общие делители 2, 3 и 6.

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b — это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:

ü разложить делители чисел на простые множители;

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 6

Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.

28 = 2 · 2 · 7 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;

НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4 Ответ: НОД (28; 64) = 4

Наибольший общий делитель или НОД двух чисел — это наибольшее число, на которые исходные числа делятся без остатка. Возьмем два числа — 72 и 64. Найдем делители каждого из этих чисел:

делители числа 72 — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

делители числа 64 — 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

Как видим, общими делителями для чисел 72 и 64 являются 1, 2, 4 и 8. Самый большой из них — 8. Это и есть наибольший общий делитель чисел 72 и 64.

18) Общие кратные двух данных чисел. Наименьшее общее кратное двух данных чисел: НОК (a, b), его нахождение с помощью разложения чисел на простые множители, его нахождение по формуле. Примеры нахождения НОК (a, b).

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Кратное числу a — это число, которое само делится на число a без остатка.

Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

ü Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.

Кратное числа a обозначаем большой буквой «К».

К (a) = {...,...} Пример. Найти НОК 6 и 8.К (6) = {12, 18, 24, 30, ...} К (8) = {8, 16, 24, 32, ...} НОК (6, 8) = 24

ü Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70. В этом примере a=126, b=70. Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126, после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70), используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следовательно, НОД(126, 70)=14.

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)=126·70:14=630.