Двоичная система счисления

Системой счисления называют совокупность символов (цифр) и приемов записи чисел. В зависимости от способа записи (изображения) чисел системы счисле­ния делятся на непозиционные (например, римская си­стема счисления) и позиционные. В современных ЭВМ используются только позиционные системы счисления. В позиционной системе счисления значение цифры в числе определяется ее местом (позицией).

Позиционные системы счисления имеют наименования, совпадающие с количеством используемых в них цифр. В повседневной жизни мы пользуемся десятичной систе­мой счисления, в которой для записи чисел используются десять цифр от 0 до 9. Любое положительное число А в десятичной системе можно записать в виде ряда

где 10 — основание системы; а_n, a_n-1, ..., a₁, a₀, a_-1, ..., a_-т — коэффициенты, принимающие одно из значений от 0 до 9; п и т — любые целые цисла. Например, число 2078,5 может быть представлено в виде

Места, занимаемые цифрами числа, называются раз­рядами. В десятичной системе счисления единица каждого разряда «весит» в 10 раз больше единицы соседнего справа разряда.

При цифровой обработке информации широко исполь­зуется двоичная система счисления, в которой для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Любое по­ложительное число В в двоичной системе записывается в виде

где 2 — основание системы; b_n, b_n-1, ..., b₁, b₀, b_-1, ..., b_-т — коэффициенты, принимающие значения 0 или 1; пит — любые целые числа.

При записи чисел в двоичной системе счисления (как и в десятичной) знаки «плюс» между разрядами и осно­вания системы с их степенными показателями опускаются, и двоичная запись числа В приобретает вид .

Целая часть числа отделяется от дробной точкой.

Числа 0 и 1 записываются в двоичной и десятичной системах одинаково. Начиная с числа 2 запись чисел в двоичной системе отличается от их записи в десятичной системе. Например, число 2 в двоичной системе записы­вается в виде

а число 3 — в виде

и т. д. Из этого примера также видно, что в двоичной систе­ме единица каждого разряда (старшего) «весит» в два раза больше единицы соседнего с ним справа (младшего) разряда. Поэтому для записи некоторого числа в двоичной системе счисления необходимо иметь большее число раз­рядов, чем для записи этого числа в десятичной системе. Несмотря на этот недостаток, двоичная система широко применяется в цифровой технике благодаря тому, что для изображения одного разряда числа требуется элемент с двумя устойчивыми состояниями, одно из которых при­нимается за 0, а другое за 1. Таким элементом, как из­вестно, может служить триггер.

Арифметические действия с двоичными числами оказы­ваются наиболее простыми по сравнению с арифмети­ческими действиями над числами в других позиционных системах счисления и выполняются в соответствии с пра­вилами, представленными в табл. 13.1.

Табл. 13.1. Правила выполнения арифметических операций с двоичными числами

В ЦВМ, помимо двоичной системы счисления, приме­няются восьмеричная, шестнадцатеричная и двоично-де­сятичная. Эти системы счисления являются вспомогатель­ными и используются при подготовке задач к решению, т. е. при программировании.

Достоинством восьмеричной системы счисления явля­ется то, что запись числа в ней оказывается в три раза короче записи этого же числа в двоичной системе, а пере­воды из восьмеричной системы в двоичную и наоборот очень просты. Если требуется двоичное число 11010010111 записать в восьмеричном коде, то его разбивают в обе стороны от точки, разделяющей целую и дробную части, на триады и каждую триаду представляют цифрой в вось­меричной системе:

Следовательно, 1101001011₂ = 3227₈. При переводе вось­меричного числа в двоичное каждую цифру представляют триадой в двоичном коде. Например, число 5327₈ перево­дится в двоичный код следующим образом:

т. е. 5327₈= 101011010111₂.

В шестнадцатеричной системе счисления за основа­ние системы принято число 16, поэтому в ней использу­ется 10 цифр и 6 букв: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F (буквы А, В, С, D, Е и F соответствуют числам 10, 11, 12, 13, 14 и 15 десятичной системы счисления). Эта система счисления используется для представления некоторых специфических видов информации в специали­зированных ЭВМ. Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичные и наоборот подобен аналогичным преобразова­ниям чисел восьмеричной системы, с той разницей, что вместо двоичных триад используются тетрады. Например, число 1D9, Е5₁₆ переводится в двоичное следующим об­разом:

Если требуется двоичное число перевести в шестнадца­тиричное, то его разбивают на тетрады влево и вправо от запятой, крайние неполные тетрады дополняют нулями, после чего каждую тетраду заменяют соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы.

Вместо шестнадцатеричной системы часто применя­ется двоично-десятичная система, отличающаяся от шест­надцатеричной тем, что в ней каждая двоичная тетрада может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Перевод двоично-десятичного кода в двоичный осуществляется так же, как и перевод шестнадцатеричного числа. Однако перевод двоичного числа в двоично-десятичное отличается от его перевода в шестнадцате-ричное, поскольку значения тетрад двоичного числа могут быть равны десятичным числам от 10 до 15. Подобные тетрады не предусматриваются двоично-десятичным ко­дом и называются псевдотетрадами. Для исключения псевдотетрад осуществляют специальные операции по преобразованию двоичного кода в двоично-десятичный.

Двоично-десятичный код часто называют кодом 8421, в котором цифры 8, 4, 2 и 1 обозначают веса значащих двоичных цифр в коде (тетраде). Он применяется для представления входной, выходной и внутренней (для ЭВМ серии ЕС) информации.

РЕГИСТРЫ

Регистры — это устройства, которые предназна­чены для приема, хранения и передачи информации, представленной в виде двоичного кода (слова). Каждому разряду двоичного кода соответствует определенный раз­ряд (ячейка памяти) регистра. С помощью регистров можно выполнять некоторые логические операции (по­разрядное логическое сложение, умножение и др.), а также осуществлять операции преобразования информации из одного вида в другой (например, преобразовывать после­довательный код в параллельный и т. п.).

Регистр представляет собой совокупность определен­ным образом соединенных триггерных ячеек с устройством управления входными и выходными сигналами. Число используемых в регистре триггеров определяет его раз­рядность. Каждый триггер регистра может иметь прямой и инверсный выходы, что позволяет снять записанный в нем код в прямом или инверсном виде.

Важнейшим признаком классификации регистров является способ ввода — вывода информации и характер представления вводимой и выводимой информации.

По способу ввода и вывода (приема и передачи) ин­формации регистры подразделяются на параллельные, последовательные и параллельно-последовательные.

По характеру представления вводимой и выводимой информации регистры делят на однофазные и парафазные. В однофазных регистрах информация вводится в прямом или обратном (инверсном) кодах, а в парафазном — одновременно в прямом и обратном. Вывод инфор­мации из регистров обоих типов может осуществляться как в прямом, так и в обратном кодах.

Регистры можно классифицировать также по числу тактов управления при записи и по виду выполняемых операций над словами.

По числу тактов управления регистры подразделяются на однотактные, двухтактные и многотактные. Число так­тов определяется типом используемых в регистре триг­геров.

По виду выполняемых операций над словами раз­личают регистры для приема, передачи и сдвига инфор­мации.

Параллельные регистры.В параллельных регистрах запись информации (слова) осуществляется параллель­ным кодом, т. е. одновременно во все разряды регистра. Записанная информация может многократно счнтываться и храниться в регистре сколь угодно длительное время. Поэтому такие регистры называют регистрами п ам яти.

На рис. 13.1, а приведена схема четырехразрядного параллельного однофазного регистра на RS-триггерах.

Рис. 13.1. Схемы однофазного (а) и парафазного (6) параллельных регистров

Управление приемом (записью) и выдачей (считыванием) информации осуществляется соответственно элементами И1 и И2, ИЗ. Входы a₁, а₂, a₃ и а₄ соответствуют разрядам записываемого слова (числа).

Перед записью все триггеры регистра устанавливают в нулевое состояние подачей импульса Уст. 0на входы R. Запись информации a₁... а4 в регистр осуществляется при поступлении импульса записи на шину Зап. При этом на выходах элементов И1 образуются сигналы установки триггеров в состояние 1 только в тех разрядах, в которых а_i = 1. Остальные триггеры остаются в нулевом состоянии. Записанный в регистр код выдается в прямом (через эле­менты И2) или инверсном (через элементы ИЗ) виде при поступлении на входы ЛЭ И2 или ЛЭ ИЗ соответственно импульсов ВП или ВИ. Информация о записанном коде сохраняется в регистре до прихода следующего импульса Уст. 0.

Недостаток рассмотренного параллельного регистра заключается в том, что требуется время для его обнуления перед записью новой информации. Это снижает быстро­действие регистра. Для увеличения быстродействия при­меняют парафазную запись информации. Парафазный регистр можно получить из однофазного, преобразовав устройство управления записью (рис. 13.1, б).Записы­ваемое слово представляется в прямом (а₁а₂а₃а₄) и ин­версном (а₁а₂а₃а₄) кодах и подается на входы элементов И1 и И2 соответственно. Запись в регистр производится при поступлении сигналов записи на шину Зап. При этом на входы S триггеров поступают прямые, а на входы R — инверсные значения разрядов записываемого слова, которые устанавливают триггеры в нужные состояния независимо от исходных состояний. Выдача информации осуществляется так же, как и в однофазном.

Рис. 13.2. Схема устройства управления записью двухкапналынго регистра

Рис. 13.3. Схема двухканалыюго n-разрядного регистра

Регистр, показанный на рис. 13.1, а, служит для записи, хранения и передачи одного слова A (а₁а₂а₃а₄)и является одноканальным. Путем изменения устройства управления его можно преобразовать в многоканальный. На рис. 13.2 показано устройство управления записью в регистр двух слов А (а₁а₂а₃а₄) и В (а₁а₂а₃а₄).Разряды слова А подаются по первому каналу через элементы И1, а слова В — по второму каналу через элементы И2. Запись по каналу А производится импульсом Зап. А, а по каналу В — импульсом Зап. В. При поступлении импульса записи на вход устройства управления значения разрядов числа А или В передаются через элементы И1 или И2 на входы ЛЭ ИЛИ, а с выходов элементов ИЛИ посту­пают на входы S триггеров соответствующих разрядов регистра. Считывание информации осуществляется так же, как и в одноканальном регистре.

Для построения регистров широко применяются D-триггеры, позволяющие уменьшать количество элементов. На рис. 13.3 приведена схема п-разрядного параллельного двухканального однофазного регистра (схема управления процессом считывания не приведена), выполненного на однофазных D-триггерах. Импульс Т_у, поданный на вход Уст. 0, устанавливает в нуль все разряды регистра. Запись числа A (а₁ ... а_п) производится тактовым импуль­сом Т_а,поданным на вход Зап. А. При этом на выходах элементов И2 устанавливаются уровни а₁ ... а_п,которые через элементы ИЛИ передаются на выходы соответствую­щих D-триггеров.

Аналогичным образом производится запись числа В (b₁ ... b_п) при подаче тактового импульса на вход Зап. В.

Последовательные регистры.Наряду с записью и хра­нением информации последовательные регистры позво­ляют осуществить логическую операцию сдвига кода за­писанного числа на любое количество разрядов. Поэтому последовательные регистры называют также сдвигаю­щими регистрами, или регистрами сдвига.

Сдвиг кода записанного числа в регистре применяется при выполнении операций умножения и деления. Так, например, сдвиг кода 0100 (числа 4) на один разряд влево дает код 1000 (число 8), что соответствует умно­жению на 2¹ =2. Сдвиг этого же кода 0100 на один раз­ряд вправо дает код 0010 (число 2), что равносильно де­лению на 2¹ = 2.

Помимо выполнения операций умножения и деления, сдвигающие регистры применяются для преобразования параллельного кода в последовательный и наоборот, а также для построения счетчиков импульсов.

Последовательный регистр состоит из последовательно соединенных триггеров. Под действием тактовых импуль­сов состояние каждого триггера передается последующему, что равносильно сдвигу кода. В зависимости от числа последовательностей тактовых импульсов, осущест­вляющих сдвиг кода, сдвигающие регистры бывают однотактными, двух-, трех- и четырехтактными (в общем слу­чае многотактными).

Триггеры сдвигающего регистра должны обладать свойствами запоминания. При использовании в сдвигаю­щем регистре простых RS-триггеров каждый разряд, кроме основного, содержит дополнительный, триггер, используе­мый для промежуточного запоминания информации. Структура такого регистра показана на рис. 13.4.

Рис. 13.4. Схема последовательного регистра на синхронных RS-триггерах

Триггеры Т₁, Т₂, ..., Т_nобразуют основной регистр, а триггеры Т^’₁, Т^’₂, ..., Т^’_n — дополнительный. Синхрони­зирующие импульсы С подаются одновременно на все разряды основного регистра и через ЛЭ НЕ на все раз­ряды дополнительного регистра.

Запись информации (числа А) осуществляется после­довательным парафазным кодом, поступающим на вход первого триггера основного регистра. Перед записью триг­геры основного и дополнительного регистров устанавли­ваются в нулевое состояние подачей на синхронизирую­щий вход п импульсов при действии на прямом инфор­мационном входе нулевого сигнала. При этом первый синхронизирующий импульс С₁устанавливает в нулевое состояние триггер Т₁. Поскольку запись информации на триггеры дополнительного регистра при этом запрещена, не изменяются и состояния остальных триггеров (кроме первого) основного регистра. После окончания действия синхронизирующего импульса С₁логический 0 с выхода Т₁переписывается в дополнительный триггер Т^’₁.

Второй синхронизирующий импульс C₂подтверждает нулевое состояние триггера Т₁ и разрешает запись логи­ческого 0 с дополнительного триггера Т^’₁в триггер второго разряда Т₂. После окончания действия импульса С₂ логи­ческий 0 с триггера Т₂переписывается в триггер Т^’₂. Третий синхронизирующий импульс С₃ устанавливает в нулевое состояние триггер Т₃, которое передается триг­геру Т^’₃по окончании действия синхронизирующего им­пульса С₃, и т. д.

Аналогичным образом осуществляется запись в регистр числа А. Разница состоит лишь в том, что состояние триггера Т₁будет определяться значениями сигналов А и А на его входе во время действия синхронизирующих импульсов С. Записанный в регистр код может быть сдви­нут вправо на один или несколько разрядов подачей со­ответствующего числа импульсов на вход С.

На рис. 13.5 показана схема последовательного сдви­гающего регистра на двухступенчатых синхронных D-триггерах, имеющего три разряда.

Рис. 13.5. Схема трехразрядного последовательного регистра на D-триггерах

Запись информации в ре­гистр осуществляется последовательным однофазным ко­дом, разряды которого поступают на вход первого триг­гера к моментам появления синхронизирующих импульсов на входе С. Этими же импульсами осуществляется и сдвиг записанного кода вправо. Во время действия синхрони­зирующего импульса на первые ступени второго и третьего триггеров переписываются значения состояния первого и второго D-триггеров, а на первую ступень первого D-триггера — значение информации, действующей на его входе. В паузах между синхронизирующими импульсами проис­ходит изменение состояний вторых ступеней триггеров.

Параллельно-последовательные регистры.Параллель­но-последовательный регистр на D-триггерах (рис. 13.6) позволяет осуществлять преобразование параллельного кода в последовательный и наоборот. Двухступенчатые D-триггеры имеют инверсные входы S и R для асинхрон­ной установки нуля (входы R)и для записи n-разрядного числа A (a₁, a₂, ..., а_n)в регистр параллельным кодом (входы S). Параллельная запись числа во все разряды регистра осуществляется импульсом С₂ = 1. При этом

Рис. 13.6. Схема параллельно-последовательного регистра на D-триггерах

на выходах ЛЭ И образуются значения a₁, a₂, ..., а_n,которые поступают на асинхронные входы S D-триггеров регистра и устанавливают их в состояния a₁, a₂, ..., а_n. Преобразование параллельного кода в последовательный осуществляется подачей серии импульсов на вход С1. Первый импульс на входе С1 устанавливает каждый триг­гер в состояние, в котором находился до этого каждый предыдущий триггер. Если D = 0, то первый триггер после первого импульса на входе С1 установится в нулевое состояние. Происходит, таким образом, сдвиг записан­ного кода на один разряд вправо. Второй импульс на входе С1 вызывает сдвиг числа вправо еще на один разряд, а в состоянии логического нуля окажутся уже первый и второй разряды и т. д. Импульсами, поступающими на вход С1, записанный в регистр код как бы выталкивается поразрядно, а освобождающиеся разряды устанавлива­ются в нулевое состояние.

В данный регистр можно осуществить запись числа последовательным кодом. Последовательный код записы­ваемого числа подается на вход D и импульсами, посту­пающими на вход С1, «проталкивается» в регистр. Через выходы Q₁,Q₂, ..., Q_n число, записанное в регистр последо­вательным кодом, может быть считано прямым парал­лельным кодом.

Реверсивные регистры.Регистры, которые позволяют осуществлять сдвиг записанного вних кода вправо или влево, называют реверсивными (рис. 13.7).

Реверсивный регистр отличается от сдвигающего (рис. 13.5) наличием перед каждой ячейкой устройства управления, выполненного на трех двухвходовых элементах И — НЕ.

Рис. 13.7. Фрагмент схемы реверсивного регистра сдвига

Для сдвига вправо необходимо одновре­менно с поступлением синхронизирующего импульса на вход С подать импульс на шину Вправо. При этом на входы D каждого последующего триггера поступает ин­формация с выхода триггера предыдущего разряда (че­рез ЛЭ И2 и ИЗ), которая будет переписана во вторую ступень каждого принимающего триггера после окончания действия импульса на входе С. Для сдвига последова­тельного кода влево одновременно с синхронизирующим импульсом С подается импульс на шину Влево. В этом случае на D-вход первой ступени каждого триггера посту­пает информация о состоянии последующего триггера (через ЛЭ И1 и ИЗ), которая переписывается во вторую ступень после окончания синхронизирующего импульса.