Нормальный закон распределения погрешностей
Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятности используется понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии используют преим. Дифференциальную – закон распределения плотности вероятностей случайной величины.
Пусть произведено n=50 наблюдений величины xi : x1, x2 x3,….xn,
Номер интервала | |||||
nk | |||||
nk/n | 0,1 | 0,2 | 0,36 | 0,22 | 0,12 |
Найдем размах ряда L = xmax, - xmin = 29-19=10 Разделив размах ряда на k=5 равных интервалов Dl = L/k = 10/5=2, подсчитаем количество наблюдений nk , попадающих в каждый интервал.
При бесконечном повторении и увеличении n ступенчатая кривая перейдет в плавную кривую f(x) – кривая плотности распределения вероятности случайной величины.(Или r)
Числовые характеристики распределений:
1. Математическое ожидание (среднее арифметическое):
= 25
2. Среднее квадратичное отклонение (СКО) или рассеивание единичных результатов и дисперсияч:
D = s2,
где D – дисперсия.
Качество и точность измерений тем выше, чем меньше СКО, тем меньше вероятность рассеивания результатов наблюдений D.
|
Чаще начало координат совмещают с центром распрелделения.
В аналитической форме закон нормального закона распределения записывают:
f(x)= .
где s – среднеквадратическое отклонение(СКО), характеризующее точность выполненных измерений (чем меньше s, тем выше точность). По мере уменьшения s рассеяние случайных погрешностей D относительно центра их распределения, (в данном случае относительно значения D= 0) уменьшается. На рис. 1.12 изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратичного отклонения. Из рисунка видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.
На графике плотности вероятности для конкретного СКО (см. рис. 1.12) вероятность численно равна площади S заштрихованной фигуры, ограниченной функцией r(D), отрезком оси D от –DГ1 до DГ1 и ординатами r(–DГ1), r(DГ1). Чем шире заданный интервал погрешностей, тем больше площадь S, т.е. больше вероятность попадания случайных погрешностей измерений D в этот интервал. Для интервала (–¥,+¥) вероятность R(–¥ £ D £ +¥) =1.
Более универсальным методом является оценки погрешности с использованием доверительных интервалов: На графике норм. распределения отложены интервалы с границами ±s ±2s и т.д.
Доверительные вероятности для этих интервалов в таб. В технике принят 99% уровень надежности, т.е. границы ±3s.