Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция y = (x) наз. бесконечно малойпри х а , если lim (x) = 0. Функция y = f(x) наз. бесконечно большойпри х а ( lim f(x) = ) , если становится больше любого наперед заданного числа , или, если для любого числа М > 0 существует такое число , зависящее только от М , что из неравенства0 < |x – a| < следует неравенство |f(x)| > M

Теорема. Функция обратная к бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.

Действительно, если бесконечно малая функция (х)при х а оказывается в знаменателе дроби, то дробь неограниченно возрастает и становится бесконечно большой функцией 1/ (х) при х а.

Леммы о бесконечно малых.

Лемма 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть U(x) = (x) + (x) , где lim (x) = 0 , lim (x) = 0 при х а.

Возьмем произвольное число > 0. Поскольку функции (х) и (х) имеют предел, то всегда можно подобрать такой интервал |х – 0| < , что | (x) – 0| < /2, | (x) – 0| < /2 и, следовательно, | (х) + (х) - 0| < . Последнее неравенство означает, что разность |U(x) – 0| делается меньше любого , лишь только |х – а| становится меньше соответствующего , т.е. функция U(x) имеет предел в точке 0 : lim U(x) = 0 при х а .

Опр. Функция y = f(x) наз. ограниченной в окрестности точки а, если существует число М> 0, такое что |f(x)| < M в этой окрестности.

Всякая функция y = f(x), имеющая предел lim f(x) = b при х а ограничена в окрестности точки а . Действительно, |f(x)| = |f(x) – b + b| < |f(x) – b| + |b| < (x) + |b|

Лемма 2. Произведение ограниченной в окрестности точки а функции на бесконечно малую при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть (x) = f(x) (x) , где |f(x)| < M и lim (x) = 0 при х а

Т.к. функция (х) имеет предел в точке 0 , то для любого числа /М>0 найдется

- окрестность точки а, в которой | (х) – 0 | < /M и, следовательно, интервал | (х) - 0 | = |f(x)| | (x) – 0 | < M /M = будет уже произвольной величины , что означает lim (x) = 0 при х а , т.е. произведение f(x) (х) есть б.м.в. в окрестности точки а .

Теоремы о пределах.

Вычисление пределов функций основывается на следующих теоремах:

Сравнение бесконечно малых.

Пусть при x®aфункции a(х) и b(х) - бесконечно малые. Тогда :

1.Если 0 , то b наз. бесконечно малой высшего порядка относительно a.

2. Если , то b наз. бесконечно малой n – ого порядка относительно a.

3. Если 1 , то a и b наз. эквивалентными бесконечно малыми. a » b

При вычислении пределов эквивалентные бесконечно малые могут заменять друг друга.

Замечательные пределы.

Теперь имеем два способа определения значения функции в точке: а) прямая подстановка аргумента в формулу y = f(x) ; б) предельный процесс - процесс осторожного приближения к выбранной точке. В большинстве случаев оба способа дают одинаковый результат, но в отдельных точках прямая подстановка приводит к неопределенностям типа {0/0}, {¥/¥}, {¥ - ¥}, { }, { }, { }.Тогда значение функции определяется через предельный процесс и процедуру раскрытия неопределенностей.

В основе аппарата мат.анализа лежат пределы нескольких функций, которые получили название - замечательные пределы. Раскроем их неопределенности.

Первый замечательный предел lim sinx / x = 1 при x® 0

Имеем окружность R = 1 и касательные AD, BD. Из прямоугольных DОАС и DОАD следует: sin x = AC/1, tg x = AD/1. Точки А и В соединяют три линии: прямая АВ = 2АС = 2 sin x, дуга АВ = 2х и ломаная ADB = 2 AD = 2 tg x. Из соотношения длин этих линий следует: 2sin x < 2x < 2tg x Þ 1 < x/sin x < 1/cos x Þ Þ 1 > sin x / x > cos x . При переходе в неравенстве к пределу x ® 0 имеем lim cos x = 1, 1 ³ lim sin x / x ³ 1 и, следовательно, lim sin x / x =1 при x ® 0.

Натуральное число e.

Логарифмическая функция y = log_axявляется обратной для показательной функции y = a^x .Графики этих функций расположены симметрично относительно биссектрисы y = x и при произвольном а пересекают оси Ох, Оу всегда в одной точке (1;0 ) и (0;1). Проведем через эти точки касательные к кривым. Они пересекуться на биссектрисе и точка пересечения будет перемещаться вдоль нее при изменении основания а . В определенный момент, при а = 2,72 . . . касательные станут

параллельны друг другу и оси симметрии. Их угловой коэффициент k = tg 45⁰ = 1 . Основание логарифма, приводящее к высшей степени симметрии графиков показательной и логарифмической функций, наз. натуральным числом и обозначается е = 2,72 . . . . Многие соотношения связанные с е удивительно просты и симметричны.

Непрерывность функции.

С понятием предела функции связано другое важное понятие – непрерывность функции.На графике непрерывным функциям соответствуют непрерывные линии.

Пусть y = f(x) определена в точке х_o и ее окрестности. Величина х = х – х_oназ. приращением аргумента, y = y – y_o- соответствующим приращением функции.

Опр.1Функция y = f(x)наз. непрерывнойв точке х, если она определена в этой точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента хсоответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е.

lim y = 0при х 0( 1 )

Следствие:Основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках области определения D(f), т.к. они имеют предел в каждой из точек и удовлетворяют условию ( 1 )

y = a^x , y = , lim y = lim (a - 1) = 0при х 0

y = log_a x , y = log_a(x + x) - log_a x = log_a (1 + x/x), lim y = lim log_a(1 + x/x) = 0

y = x² , y = (x + x)² - x² = 2x x + ( x)² , lim y = lim [2x x + ( x)² ] = 0

Опр.2Функция y = f(x)наз. непрерывной в точке х_o ,если ее предел в х_oсовпадает со значением функции в этой точке.

lim f(x) = f(x_o)при x x_o( 2 )

Покажем эквивалентность этих определений:

lim y = 0 lim(f(x) – f(x_o)) = 0 lim f(x) = f(x_o), при

x 0 x x_o const x x_o

Условие ( 2 ) позволяет для непрерывных функций переход к пределу функции заменить на переход к пределу аргумента

lim f(x) = f (lim x ) , при( 3 )x x_o x x_o

Для y = f(x) определенной на [a,b]предельный процесс около внутренней точки x(a < x < b)можно организовать двумяспособами, подходя к точке xслева или справа lim f(x) = f(x_o – 0) , lim f(x) = f(x_o + 0)

x x_o - 0 x x_o + 0

Это левосторонний и правосторонний пределы.

Опр.3Функция y = f(x)наз. непрерывной в точке х_o ,если ее левосторонний и правосторонний пределы совпадаютf(x_o – 0) = f(x_o+ 0) = f(x_o)

Опр.Функция y = f(x)наз. непрерывной на промежутке [a,b] , если она непрерывна в каждой его точке. На концах lim f(x) = f(a) , lim f(x) = f(b)

x a + 0 x b - 0

Точки разрыва.

Непрерывность функции может быть нарушена в отдельных точках. Три типа точек разрыва :

1) x₀ - устранимая точка разрыва, когда f(x₀ - 0) = f(x₀ + 0),но в самой точке х₀функция не определена;

2) x₀ - точка разрыва 1 рода, когда f(x - 0) f(x + 0), но пределы конечны;

3) x₀ - точка разрыва 2 рода, когда f(x - 0) f(x + 0) и пределы бесконечны;

Пр.

y = sinx/ x, x = 0 f(x) = |x| /x, x = 0 y = 1/x, x = 0

Свойства функций, непрерывных в точке .

1)Если функции g(x) и h(x) непрерывны в точке х_o, то функции g(x) + h(x),

g(x) h(x), g(x)/h(x)при h(x_o) 0также являются непрерывными функциями.

lim ( g(x) + h(x) ) = lim g(x) + lim h(x) = g(x_o) + h(x_o)

x x_o x x_o x x_o

Для остальных функций доказательство аналогично.

2)Сложная функция, составленная из непрерывных функций, также является непрерывной.

Док-во. Пусть функция y = g(z)непрерывна в точке z_o ,а z = h(x)в точке х_o ,причем, z_o = h(x_o).По определению непрерывности lim h(x) = z_o , lim g(z) = g(z_o)

x – x_o z – z_o

Т.к. предел сложной функциипри х х_oравен значению функции в точке х_o

lim g( h(x) ) = lim g(z) = g(z_o) = g (h(x_o) )

то функция является непрерывной .

Следствие.Элементарные функции образуются из основных элементарных функций с помощью арифметических операций или являются их суперпозициями. Поскольку основные элементарные функции непрерывны, то в силу свойств 1) и 2) все составленные из них элементарные функции также непрерывны и изображаются на графиках сплошными линиями в области своего определения.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция y = (x) наз. бесконечно малойпри х а , если lim (x) = 0. Функция y = f(x) наз. бесконечно большойпри х а ( lim f(x) = ) , если становится больше любого наперед заданного числа , или, если для любого числа М > 0 существует такое число , зависящее только от М , что из неравенства0 < |x – a| < следует неравенство |f(x)| > M

Теорема. Функция обратная к бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.

Действительно, если бесконечно малая функция (х)при х а оказывается в знаменателе дроби, то дробь неограниченно возрастает и становится бесконечно большой функцией 1/ (х) при х а.

Леммы о бесконечно малых.

Лемма 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть U(x) = (x) + (x) , где lim (x) = 0 , lim (x) = 0 при х а.

Возьмем произвольное число > 0. Поскольку функции (х) и (х) имеют предел, то всегда можно подобрать такой интервал |х – 0| < , что | (x) – 0| < /2, | (x) – 0| < /2 и, следовательно, | (х) + (х) - 0| < . Последнее неравенство означает, что разность |U(x) – 0| делается меньше любого , лишь только |х – а| становится меньше соответствующего , т.е. функция U(x) имеет предел в точке 0 : lim U(x) = 0 при х а .

Опр. Функция y = f(x) наз. ограниченной в окрестности точки а, если существует число М> 0, такое что |f(x)| < M в этой окрестности.

Всякая функция y = f(x), имеющая предел lim f(x) = b при х а ограничена в окрестности точки а . Действительно, |f(x)| = |f(x) – b + b| < |f(x) – b| + |b| < (x) + |b|

Лемма 2. Произведение ограниченной в окрестности точки а функции на бесконечно малую при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть (x) = f(x) (x) , где |f(x)| < M и lim (x) = 0 при х а

Т.к. функция (х) имеет предел в точке 0 , то для любого числа /М>0 найдется

- окрестность точки а, в которой | (х) – 0 | < /M и, следовательно, интервал | (х) - 0 | = |f(x)| | (x) – 0 | < M /M = будет уже произвольной величины , что означает lim (x) = 0 при х а , т.е. произведение f(x) (х) есть б.м.в. в окрестности точки а .

Теоремы о пределах.

Вычисление пределов функций основывается на следующих теоремах: