Арифметические операции в двоичной системе счисления

Задания на определение значений в различных системах счисления и их оснований

Задание 1. Для кодирования символов @, $, &, % используются двухразрядные последовательные двоичные числа. Первому символу соответствует число 00. С помощью данных символов была закодирована такая последовательность: $%&&@$. Декодируйте данную последовательность и переведите результат в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение.

1. Сопоставим двоичные числа кодируемым ими символам:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

2. Декодируем заданную последовательность:
$%&&@$ = 01 11 10 10 00 01

3. Переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:
0111 1010 0001 = 7A1

Ответ. 7A1₁₆.

Задание 2. В саду 100_x фруктовых деревьев, из которых 33_x – яблони, 22_x – груши, 16_x – сливы, 17_x - вишни. Чему равно основание системы счисления (x).

Решение.

1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:
a * x¹ + b * x⁰ = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x² + b * x¹ + c * x⁰ = ax² + bx + c

2. Условие задачи таково:
33_x + 22_x + 16_x + 17_x = 100_x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x² + 0x + 0
7x + 18 = x²

3. Решим квадратное уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7² – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.

Задание 3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.

Решение.

Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.

110 = 1 * x² + 1 * x¹ + 0 * x⁰ = x² + x

Нам надо получить 12. Пробуем 2: 2² + 2 = 6. Пробуем 3: 3² + 3 = 12.

Значит основание системы счисления равно 3.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления

Задание 1. Какому числу в шестнадцатеричной системе счисления соответствует число 11000101?

Решение.

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело на четыре, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке однозначно соответствует одна цифра шестнадцатеричной системы счисления.

11000101 = 1100 0101 = С5₁₆

Нет необходимости иметь таблицу соответствия перед глазами. Двоичный счет 15 первых чисел можно осуществить в уме или последовательно расписать. При этом не следует забывать, что 10 в десятичной системе соответствует A в шестнадцатеричной, 11 – B, 12 – C, 13 – D, 14 – E, 15 – F.

Ответ. 11000101 = С5₁₆

Задание 2. Вычислите сумму двоичных чисел x и y, при x = 10100 и y = 10101. Результаты представьте в виде восьмеричного числа.

Решение.

Сложим два числа. Правила двоичной и десятичной арифметики одинаковы:

------

При переводе двоичного числа в восьмеричное, первое разбивается на группы по три разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело на три, то первая тройка дописывается нулями впереди:

101 001 = 51₈

Ответ. Сумма двоичных чисел 10100 и 10101, представленная в восьмеричной системе счисления равна 51.

Перевод в двоичную систему счисления

Задание 1. Чему равно число 37 в двоичной системе счисления?

Решение.

Можно выполнить преобразование делением на 2 и комбинацией остатков в обратном порядке.

Другой способ – это разложить число на сумму степеней двойки, начиная со старшей, вычисляемый результат которой меньше данного числа. При преобразовании пропущенные степени числа следует заменять нулями:

37₁₀ = 32 + 4 + 1 = 2⁵ + 2² + 2⁰ = 1 * 2⁵ + 0 * 2⁴ + 0 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 100101

Ответ. 37₁₀ = 100101₂.

Задание 2. Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 73?

Решение.

Разложим число 73 на сумму степеней двойки, начиная со старшей и умножая пропущенные степени в дальнейшем на нули, а существующие на единицу:

73₁₀ = 64 + 8 + 1 = 2⁶ + 2³ + 2⁰ = 1 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 0 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 1001001

Ответ.В двоичной записи десятичного числа 73 присутствует четыре значащих нуля.

Задание 3. Вычислите сумму чисел x и y при x = D2₁₆, y = 37₈. Результат представьте в двоичной системе счисления.

Решение.

Вспомним, что каждая цифра шестнадцатеричного числа формируется четырьмя двоичными разрядами, каждая цифра восьмеричного числа – тремя:

D2₁₆ = 1101 0010
37₈ = 011 111

Сложим полученные числа:

--------

Ответ. Сумма чисел D2₁₆ и y = 37₈, представленная в двоичной системе счисления равна 11110001.

Задание 4. Дано: a = D7₁₆, b = 331₈. Какое из чисел c, записанных в двоичной системе счисления, отвечает условию a < c < b?

11011001
11011100
11010111
11011000

Решение.

Переведем числа в двоичную систему счисления:

D7₁₆ = 11010111
331₈ = 11011001

Первые четыре разряда у всех чисел совпадают (1101). Поэтому сравнение упрощается до сравнения младших четырех разрядов.

Первое число из перечня равно числу b, следовательно, не подходит.

Второе число больше как b. Третье число равно a.

Только четвертое число подходит: 0111 < 1000 < 1001.

Ответ. Четвертый вариант (11011000) отвечает условию a < c < b.

Перевод в десятичную систему счисления

Задание 1. Какому числу в десятичной системе счисления соответствует число 24₁₆?

Решение.

24₁₆ = 2 * 16¹ + 4 * 16⁰ = 32 + 4 = 36

Ответ. 24₁₆ = 36₁₀

Задание 2. Известно, что X = 12₄ + 4₅ + 101₂. Чему равно число X в десятичной системе счисления?

Решение.

Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
12₄ = 1 * 4¹ + 2 * 4⁰ = 4 + 2 = 6
4₅ = 4 * 5⁰ = 4
101₂ = 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5
Находим число: X = 6 + 4 + 5 = 15

Ответ. X = 15₁₀

Задание 3. Вычислите значение суммы 10₂ + 45₈ + 10₁₆ в десятичной системе счисления.

Решение.

Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
10₂ = 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 2
45₈ = 4 * 8¹ + 5 * 8⁰ = 37
10₁₆ = 1 * 16¹ + 0 * 16⁰ = 16
Сумма равна: 2 + 37 + 16 = 55

Ответ. 55₁₀

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Раздел:

Системы счисления

Номер темы:

В двоичной системе счисления арифметические операции выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, т.к. они обе являются позиционными (наряду с восьмеричной, шестнадцатеричной и др.).

Сложение

Сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

В последнем случае, при сложении двух единиц, происходит переполнение младшего разряда, и единица переносится в старший разряд. Переполнение возникает в случае, если сумма равна основанию системы счисления (в данном случае это число 2) или больше его (для двоичной системы счисления это не актуально).

Сложим для примера два любых двоичных числа:

+ 101

------

Вычитание

Вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

0 - 1 = (заем из старшего разряда) 1

1 - 1 = 0

Пример:

- 101

----