Моделирование. Общие понятия

Анализ процессов, протекающих в различного рода системах часто сопряжен со значительными трудностями. В то же время нередко бывает так, что те или иные свойства и характеристики, трудно обнаруживаемые в какой-либо системе, сравнительно заметно проявляются в другой системе, сходной с первой системой по определенным признакам. Это дает возможность использовать в процессе познания методы аналогии и моделирования, то есть объяснять неизвестное через известное и понятное.

Аналогию определяют как сходство или подобие в определенном отношении между различными предметами или явлениями, а моделирование - это создание аналогии. Однако при использовании метода аналогий нужно отчетливо представлять, что эти выводы не являются абсолютно достоверными, а носят лишь вероятностный характер.

Модель представляет искусственный, созданный человеком объект любой природы, который замещает или воспроизводит исследуемый объект так, что ее изучение способно давать новую информацию об этом объекте, при этом модель является неким отображением объекта (системы или явления) в некоторой форме, отличной от формы существования реального объекта.

Говоря о сходстве модели с оригиналом, необходимо всегда помнить, что наряду со сходством всегда есть более или менее существенные различия. Поэтому сделанные заключения носят вероятностный характер и требуют уточнения и корректировки.

Приведем наиболее распространенные виды моделей:

- Геометрические модели представляют некоторый объект геометрически подобный своему оригиналу. Поэтому при построении геометрических моделей основную роль играет их геометрическое подобие, а не процессы функционирования.

- Физические модели отражают подобие между оригиналом и моделью не только с точки зрения их формы и геометрических соотношений, но и с точки зрения происходящих в них основных физических процессов. При физическом моделировании модель и оригинал, как правило, имеют одну природу.

- Предметно-математические модели предполагают лишь тождественность математического описания процессов в оригинале и модели, хотя эти процессы и могут развиваться на совершенно отличной материальной основе.

- Математические модели - это абстрактное описание объектов с помощью символов, знаков и операций над ними.

В настоящее время в большинстве отраслей знаний, в том числе и в науках о Земле, наиболее широко используется математическое моделирование, которое отличается универсальностью и экономической эффективностью, поэтому именно ему уделяется основное внимание.

Математические модели относятся к идеальным моделям, которые в отличие от физических или геометрических (масштабных) моделей рассматривают изучаемый объект только с интересующих исследователя сторон, потому что полное описание даже самого простого объекта, как правило, бывает очень сложным. Поэтому при математическом моделировании перед исследователем всегда стоит задача выбора ограниченного множества параметров (по их важности и количеству), описывающих исследуемый процесс или явление. С одной стороны желательно, чтобы этих параметров было немного, что приводит к упрощению модели и более выпуклому проявлению ее свойств, с другой стороны этих параметров должно быть достаточно много, чтобы функции модели были близки к оригиналу.

Представляет интерес рассмотрение принципов построения математических моделей на примере экологических моделей.

Экологические модели можно разделить на локальные и глобальные. Первые характеризуют изменения в экологической обстановке какого-либо локального района, вызванные неким возмущающим воздействием, например, анализ последствий осушения болот или вырубки леса в заданном районе. В этих моделях важным является описание начальных условий в которых начинается функционирование модели и описание возмущающего фактора или воздействия. Экологическая модель должна содержать сведения, что и в какой последовательности произойдет при заданной величине возмущающего воздействия. Результат полученный при этом называют сценарием. Сценарий содержит изложение того, что и в какой последовательности произойдет, если будут реализованы заданные возмущающие воздействия.

Глобальные экологические модели отличаются от локальных тем, что в них моделируются изменения факторов, интересующих исследоватепя, на всем земном шаре, так называемые глобальные сценарии. С помощью этого вида экологического моделирования можно, например, смоделировать последствия столкновения Земли с каким-либо космическим телом или последствия ядерной войны.

При глобальном экологическом моделировании весь объем, занимаемый поверхностью земного шара с прилегающей к ней атмосферой и подстилающими её почвами, горными породами и водными средами, рассматривается как система, состоящая из достаточно большого числа элементов в форме куба или параллелепипеда, расположенных в несколько слоёв. Каждый такой элемент предполагается однородным, то есть значения его физических характеристик и иных параметров предполагается постоянным по всему объёму элемента, так же предполагается, что каждый элемент взаимодействует только со своими ближайшими соседями. Состояние каждого элемента определяется его параметрами такими как температура, давление, химический состав и многое другое. Состав и число параметров, определяющих состояние каждого элемента, существенно зависит от целей моделирования. При решении климатических или погодных задач число этих параметров может быть невелико, а при решении экологических проблем число их может достигать нескольких сотен, так как необходимо учитывать многочисленные биологические и антропогенные факторы.

Законы взаимодействия соседних элементов, как правило, иэвестны и легко могут быть смоделированы, например, разность давлений в соседних элементах, в соответствии с законами гидро и аэродинамики, вызывает перемещение вещества со скоростью пропорциональной этой разности.

Таким образом, зная начальное состояние всех элементов, величину возмущающего воздействия и место его приложения всегда можно вычислить изменения параметров отдельных элементов (и системы в целом) с течением времени.

Математические модели можно разделить на два класса: аналитические и имитационные.

При аналитическом моделировании устанавливаются аналитические (формульные) зависимости между параметрами объекта моделирования, его входами, состояниями и выходами в виде различного рода уравнений или неравенств, что позволяет с достаточной точностью моделировать лишь относительно простые объекты.

Если система сложна, то приходится накладывать на модель жесткие ограничения и прибегать к ряду упрощений. Однако и в этом случае стремятся к построению аналитической модели, так как она обеспечивает получение хотя бы и приближенного, но достаточно простого и легко обозримого решения.

Естественно, что аналитические модели наиболее применимы в тех случаях, когда состояния объекта в заданный момент времени однозначно определяются через параметры системы, входные воздействия и начальные условия, то есть когда система и ее модель носят детерминированный характер.

При построении и решении задач моделирования сложных детерминированных систем удобно пользоваться понятием «черного ящика», введенным У.Р.Эшби. «Черным ящиком» (рис.5.1) называют систему, внутреннее строение которой неизвестно, а доступными являются только входы и выходы системы.

При подаче на m входов системы «черного ящика» множества (P) воздействий

, (5.2)

где

на п выходах системы можно наблюдать соответствующее множество реакций:

, (5.3)

где

Если осуществить достаточно длительный эксперимент, который будет заключаться в реализации наборов входных воздействий и наблюдений имеющих место при этом реакций , и далее сопоставить и проанализировать результаты этого эксперимента, то несмотря на незнание внутренней структуры исследуемой системы можно составить более или менее правильное представление о ее поведении в различных условиях. Это дает возможность путем интерполяции осуществлять и относительно достоверное предсказание поведения системы при любых входных воздействиях.

Методом «черного ящика» удобно пользоваться в том случае, когда ставится задача моделирования функционирования какой-либо системы при различных условиях, а не внутреннее строение системы.

Если изучаемая система достаточно сложна и недетерминирована, то попытка учесть в ее аналитической модели влияние случайных факторов приводит к значительным, а иногда и непреодолимым трудностям.

Поэтому при моделировании сложных систем, функционирование которых зависит от большого числа факторов, среди которых есть и случайные, основным методом моделирования становится имитационное моделирование, при котором моделируемая система или объект моделируется со всеми сопровождающими его случайностями.

Суть имитационного моделирования состоит в том, что все, что происходит в данном объекте или явлении моделируется последовательно во времени и с учетом всех особенностей данного объекта и обстоятельств ему сопутствующих, при этом влияние случайных факторов имитируется с помощью случайных величин, вероятностные характеристики которых задаются или вырабатываются в процессе моделирования. Одним из методов построения имитационных моделей является метод статистических испытаний или метод Монте-Карло, идея которого основана на организации случайного процесса преобразования информации, аналогичного моделируемому, причем вероятностные характеристики обоих процессов должны быть максимально близки.

Особую роль играет имитационное моделирование в решении экологических проблем.

Математическое моделирование, выполняемое с использованием электронных цифровых вычислительных машин (ЭВМ), часто называют цифровым моделированием.

Цифровое моделирование представляет собой вид математического моделирования, представляющего собой способ описания реального мира с помощью математических соотношений и зависимостей, причем при цифровом моделировании эти зависимости представляются в дискретной цифровой форме.

Процесс построения цифровой математической модели и ее последующей реализации на ЭВМ можно условно разбить на четыре основных этапа, взаимосвязь между которыми может иметь довольно сложный вид.

Очень важным является первый этап, на котором формируется концептуальная (предположительная) модель. С учетом поставленной задачи на этом этапе, прежде всего, моделируемый процесс или явление необходимо упростить путем выделения из множества факторов, определяющих протекание процесса, ограниченного числа наиболее существенных определяющих факторов. При этом следует помнить, что, с одной стороны, модель должна быть достаточно полной и учитывать все основные факторы, чтобы модель была близка к оригиналу, а, с другой стороны, модель должна быть достаточно проста, чтобы второстепенные факторы не усложняли математического анализа и не мешали выявлению главных зависимостей между ее параметрами. Результатом первого этапа является описание модели в общих терминах.

После этого переходят к следующему этапу - реализации модели, когда ее абстрактный замысел воплощается собственно в модель. Для этого должны быть детальным образом разработаны соответствующие математические соотношения, которые приводятся к какому-либо единому математическому аппарату и представляются в дискретной форме. При этом дискретная форма модели должна быть адекватна непрерывной форме по информационным характеристикам. Результатом второго этапа является алгоритм, который наиболее наглядно может быть представлен в виде блок-схемы.

Третий этап состоит в выборе численного алгоритма и составлении программы для реализации математического моделирования на ЭВМ.

Четвертый этап состоит в фактическом выполнении необходимых вычислений и анализа их результатов.

В настоящее время наиболее широкое распространение получило математическое моделирование с применением вычислительной техники.

Средства вычислительной техники, используемые для моделирования различных систем и процессов, происходящих в них, можно разделить на три класса:

1. аналоговые вычислительные машины (АВМ), которые иногда называют моделирующими машинами или машинами непрерывного действия;

2. цифровые вычислительные машины, называемые также машинами дискретного действия, среди которых основное применение нашли электронные вычислительные машины (ЭВМ);

3. гибридные вычислительные машины.

В аналоговых вычислительных машинах величины, над которыми производятся вычислительные операции, представляются некоторыми физическими величинами: углами поворота вала, давлениями, токами, напряжениями и т.д. Основными в настоящее время являются электронные АВМ, в которых величины представляются уровнями токов или напряжений. При этом основными элементами этих машин являются так называемые операционные усилители, которые в сочетании с простыми электрическими схемами и коммутационными устройствами позволяют осуществлять арифметические и тригонометрические операции, дифференцирование, интегрирование и т.д.

Основное достоинство АВМ - высокое быстродействие, простота, наглядность. Все это обеспечивает решение на АВМ сложных математических задач в реальном масштабе времени и в условиях непосредственного сопряжения с различными системами автоматического регулирования и управления.

Однако АВМ обладают серьезным недостатком - низкой точностью вычислений. На точность электронных АВМ сильно влияют колебания напряжений питания и изменения температуры. Поэтому реальные АВМ дают погрешности от десятых долей процента до единиц процента, но в инженерной практике такая точность часто вполне достаточна.

Работа ЦВМ основана на представлении величин, над которыми производятся вычисления, в виде цифр и соответствующих им кодов, что практически для подавляющего большинства инженерных расчетов не ограничивает точность вычислений. Основным недостатком ЦВМ по сравнению с АВМ является то, что их скорость вычислений принципиально ниже, чем у АВМ, кроме того ЦВМ являются более сложными, а, следовательно, и более дорогими устройствами.

В последнее время появились гибридные или комбинированные аналого-цифровые машины, в которых сделана попытка объединить достоинства АВМ и ЦВМ. Однако пока широкого распространения эти машины не получили. К числу наиболее интенсивно развиваемой в настоящее время вычислительной техники относятся персональные ЭВМ и микропроцессорные системы.