В группе из 15 человек 6 человек занимаются спортом. Найти вероятность того, что из случайно отобранных 7 человек 5 человек занимаются спортом.

Ответ: 0,7157

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,75, второго 0,85,
третьего 0,95. Найти вероятность того, что а) откажут два станка, б) все три станка будут работать безотказно,в) хотя бы один станок откажет в работе.

3. Из колоды содержащей 52 карты вынимается наугад 3. Найти вероятность того, что это тройка, семёрка и туз.

4. Найти вероятность того, что абонемент наберет правильный двухзначный номер, если он знает, что данный номер не делится на 5

Решение:P(A) = m/n; m=1/

Посчитаем общее количество двухзначных чисел. Оно равно 90 и вычтем из этих чисел те которые делятся на 5 (10,15,20,25…90,95). Их количество равно 18 => n=90-18=72

P= 1/72

Ответ: 1/72

5. Игральная кость подброшена 2 раза: а) Найти вероятность того, что сумма очков на верхних гранях составит 7.б)найти вероятность того, что хотя бы 2 очка появится при одном подбрасывание.

Решение:P(A)=m/n

n=6*6=36; m=6.

а) P(A)=6/36 =1/6

б) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. В урне имеется 5 черных и 7 красных шаров. Последовательно (без возвращения) извлекается три шара. Найти вероятность того, что а)все три шара будут красными, б)три шара красными или черными.

Решение:C^m_n = n! / m!(n-m)!

C³₁₂ = 220 - вариантов вытащить три шара.

а) Вытащить 3 красных из 7 можно C³₇ способами.

m = C³₇ = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) вытащить 3 красных из 7 можно C³₇ способами, и 3 черных из 5 =>

С³₅ способами.

m = C³₇ + С³₅ = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Ответ: а) P(A) = 7/44 ; б) P (A2) = 9/44

В группе из 15 человек 6 человек занимаются спортом. Найти вероятность того, что из случайно отобранных 7 человек 5 человек занимаются спортом.

Решение:P(A) = C⁵₆ * C²₉ / C⁷₁₅ = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7!*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = (5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0,03

Ответ: 0,3.

Мышь может выбрать наугад один из 5 лабиринтов. Известно, что вероятность ее выхода из различных лабиринтов за 3 минута равны 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Пусть оказалось, что мышь выбралась из лабиринта за 3 минуты. Какова вероятность того, что она выбрала первый лабиринт? Второй лабиринт?

Решение: Изначально вероятности выбора лабиринта мышью равны:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – вероятность выбора 1,2,3,4,5 лабиринт соответственно.

A – выход из лабиринта.

P(A/H1) = 0,5 – Вероятность выхода мыши из 1 лабиринта

P(A/H2) = 0,6 – из 2 лабиринта.

P(A/H3) =0,2 –из 3 лабиринта

P(A/H4) = 0,1 –из 4 лабиринта

P(A/H5) = 0,1 – из 5 лабиринта

По формуле полной вероятности:

P(A) = ∑ P(H_i)P(A/H_i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) +P(H3)P(A/H3) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0,5+0,6+0,2+0,1+0,1)=1/5*1,5=1,5*3/2 = 3/10 –вероятность выхода мыши из лабиринта за 3 минуты.

А)Найдем вероятность того,что мышь выбрала первый лабиринт(по формуле Бэйеса):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /(3/10) = 1/10*10/3 = 1/3

P(H1/A) = 1/3

Б) Найдем вероятность того,что мышь выбрала второй лабиринт(по формуле Бэйеса)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3/25* 10/3 = 10/25 = 2/5

Ответ: 1/3; 2/5

9. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что из 5 билетов выигрышным является один.

10. В сентябре вероятность дождливого дня 0,3. Команда «Статистик» выигрывает в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый день эта вероятность равна 0,3. Известно, что в сентябре они выиграли некоторую игру.Какова вероятность, что в тот день: а) шел дождь; б) был ясный день.

11. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7, вторым - 0,5, третьим -0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.

Решение:

В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартных, во втором 30 деталей, из них 25 стандартных, в третьем 10 деталей, из них 8 стандартных. Из случайно взятого ящика наудачу взята одна деталь, которая оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она взята из второго ящика.

Решение: P(H_i) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39

13. На каждой из пяти одинаковых карточек написана одна из следующих букв: А, Е, Н, С, Т. Карточки
перемешаны. Определить вероятность того, что из вынутых и положенных в ряд карточек а) можно составить
слово «СТЕНА», б) из трех карточек можно составить слово «НЕТ».

Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,46, второго 0,6.

Решение:

Пусть B ни одного попадания

A1 – попадания при 1-ом выстреле.

А2 – попадание при 2-ом выстреле.

P(B) = ^--А1^—А2 = 0,54* 0,4 = 0,216

Тогда С - хотя бы одно попадание.

P(C)= 1 - 0,216 = 0,784

Ответ: 0,784

Имеется 3 урны. В первой урне 6 черных и 4 белых, во второй 5 белых и 5 черных, в третьей 7 белых и 3 черных. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что выбрана вторая урна.

Решение:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Ответ: 15/48 = 0,3125

16. Монета подбрасывается 3 раза. Найти вероятность того, что герб появится: а) все 3 раза, б) только один раз, в)хотя бы один раз

Решение:

17. На отдельных карточках написаны цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все карточки перемешиваются, после чего наугад берут 5 карточек и раскладывают их в ряд. Определить вероятность того, что будет получено число 1 2 0 3 5. (Задачу решить, используя определение вероятности события и теоремы теории вероятностей)

Три известных экономиста одновременно предложили свои теории, которые считались равновероятными. После наблюдения над состоянием экономики оказалось, что вероятность того развития, которое она получила на самом деле в соответствии с первой теорией равна 0,5; со второй – 0,7; с третьей – 0,4. Каким образом это изменят вероятности правильности трех теорий.

Решение:

P(A/H1)=0,5; P(A/H2)=0,7; P(A/H3)=0,4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

P(H3/A)=0,25

В Магазине продается 4 магнитофона. Вероятность того, что они выдержат гарантийный срок, соответственно равны: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Найти вероятность того, что взятый найдачу магнитофон выдержит гарантийный срок.

Решение:Вероятность покупки 1магнитофон –1/4 ; 2 – 1/4; 3 – 1/4 ; 4 –1/4.

P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925

Ответ: P(A) = 0,925

Студент в поисках книги посещает 3 библиотеки. Вероятность того, что они есть в библиотеке равны 0,4; 0,5; 0,1; а того, что они выданы или нет – равновероятные события. Какова вероятность того, что нужна книга найдена.

Решение:A-книга есть в библиотеке, B – книга не выдана.

P(B) = P(B^-) = ½

P(A1) = 0,4 P(A2) = 0,5 P(A3) = 0,1

Определим вероятность того, что нужная книга найдена:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1/2 * (0,4 + 0,5 +0,1) = 1/2 * 1 = ½

Ответ: 1/2

23. Найти вероятности того, что дни рождения 12 человек прийдутся на разные месяцы года.

Решение: P(A)= m/n

m = P₁₂ = 12!

n = ^---A₁₂= 12¹²

P = 12! / 12¹² = 11! / 12¹¹ = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12⁷) = (11*5*7*5*1) / 12⁷ = 7*8*25 / 12⁷ = 1925 / 12⁷

Ответ: 1925/12⁷

24. В урне имеется 10 белых, 5 черных и 15 красных шаров. Извлекается последовательно 2 шара. Рассматриваются 2 события А - хотя бы один шар из двух вынутых красный, В - хотя бы один вынутый шар белый. Найти вероятность события С = А + В.

25.Наудачу набранный номер состоит из 5 цифр. Определить вероятность того, что все цифры в нем различны.

26.В магазин трикотажных изделий поступили носки, 60% которых получено от одной фабрики, 25% - другой и 15% - третьей. Найти вероятность того, что купленные покупателем носки изготовлены на второй или третьей фабрике.

Решение.A1-от 1 фабрики, P(A1) = 0,6;

А2 –от 2 фабрики; P(A2) = 0,25

A3 – от 3 фабрики; P(A3) = 0,15

P(A2+A3) = 0,25 + 0,15 = 0,4

Ответ: 0,4

Пассажир за получением билета может обратиться в одну из касс. Вероятность обращения в 1ую кассу составляет 0,4; во 2ую 0,35; и 3ью 0,25. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут проданы, равна для 1ой кассы 0,3; для 2ой 0,4, для 3ей 0,6. Найти вероятность того, что пассажир купит билет.

P(A) –вероятность не купить билет.

P(A) =0,4*0,3 + 0,35*0,4 + 0,25*0,6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P(A1) – вероятность купить билет = 1-P(A) = 1 – 0,41 = 0,59.

Ответ: P(A1) = 0,59.

28. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) хотя бы на одной появится 2 очка, б) на них выпадет по одинаковому числу очков.

Решение:

29. Из 9 жетонов, занумерованных разными однозначными цифрами, выбирается 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров покажет возрастание значений цифр.

Решение:

30. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Какова вероятность того, что выиграет хотя бы один билет из трех купленных?

31. Из полной колоды карт(52 листа) вынимают сразу 4 карты. Найти вероятность того, что все эти карты будут разным мастей.

Решение:Вероятность вытащить конкретную масть равна C¹₁₃

C¹₁₃ = 13(количество возможных способов).

Возможность вытащить карты из 52 = C⁴₅₂ = 52! / 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P(A) = C¹₁₃ * C¹₁₃ * C¹₁₃ * C¹₁₃ / C⁴₅₂ = 28561 /270725 = 0,1054982

Ответ: P(A) = 0,1054982.

32. Имеется 3 урны. В первой из них 5 белых и 6 черных шаров, во второй 4 белых и 3 черных шара, в третьей 5 белых и 3 черных шара. Некто наугад выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из второй урны.

Решение:

Ответ: 0,9125

52.Какова вероятность получения 1 туза, туза и короля при сдаче 6 карт из колоды в 52 карты?

Машин были доставлены на станцию технического обслуживания. При этом 5 из них имели неисправность ходовой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью исправны. Какова вероятность того, что машина с неисправной ходовой частью имеет также неисправный мотор.

Решение:

111111118 с неисправным мотором

5 с неипр ходов частью 11111 111111111110 исправны

11111111111111111111всего 20

3 с неиспр мотор и ход часть111

P = m/n m-кол-во машин с неисправной ходовой частью и неисправным мотором; m=3

n – кол-во машин с неисправной ходовой частью; n=5

P = 3/5 – вероятность, что машина с неисправной ходовой частью имеет неисправный мотор.

Ответ: 3/5

Ответ: 21/625; 219/625; 247/625

67. В первой бригаде из 8 тракторов 2 требуют ремонта, во второй из 6-1.Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Определить вероятность того, что а)оба исправны, б)хотя бы один исправен, в) только один исправен

P(A1)=6/8=3/4

P(A2)=5/6

a)P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

б)P(A) = 1-P(^---A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

в) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них выделено 3 премии. Определить вероятность того, что премию получат: а) двое мужчин и одна женщина; б) только женщины; в) хотя бы один мужчина.

Решение:а) A-1 мужчина

B- 2 мужчины

С- 1 женщина

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154

б) A-1 женщина

B-2 женщины

С-3 женщины

P(A) = 8/20 ; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049

в) A-хотя бы 1 мужчина

^---A все женщины

P(A)=1- P(^---A)

P(^---A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049

P(A) = 1- 0,049

69. Из 25 работников, предприятия 10 имеют высшее образование: Определить вероятность того, что из случайно отобранных трех человек высшее образование имеют; а) три человека; б) один человек; в) хотя бы один человек.

Решение:

70. На карточках написаны буквы «К», «А», «Р», «Т», «О», «Ч», «К», «А». Карточки перемешивают и кладут в порядке их вытаскивания. Какова вероятность того, что получится: а) слово «КАРТОЧКА»; б) слово «КАРТА»; в) слово «ТОК».

71. В коробке из 25 изделий 15 повышенного качества. Наудачу извлекается 3 изделия. Определить вероятность того, что: а) одно из них повышенного качества; б) все три изделия повышенного качества; в) хотя бы одно изделие повышенного качества.

Решение:

72. Бросается три игральных кости. Какова вероятность того, что: а) хотя бы на одной из них появится 5 очков; б) на всех выпадут нечетные цифры; в) на всех костях выпадут одинаковые цифры

73.В первом ящике из 6 шаров 4 красных и 2 черных, во втором ящике из 7 шаров 2 красных и 5 черных. Из первого ящика во второй, переложили один шар, затем из второго в первый переложили один шар. Найти вероятность того, что шар извлеченный после этого из первого ящика - черный.

74. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием 0,1, вторым 0,15. а)Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется не стандартным, б) Взятое изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность, что оно выпущено на втором предприятии.

Решение:

75. Имеется три урны. В первой 3 белых и 2 черных шара, во второй и третьей по 4 белых и 3 черных шара. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар взят из третьей урны?

Решение:P(H1) = 1/3; P(H2) =1/3; P(H3) = 1/3.

P(A) – вероятность вытащить белый шар.

Если выбирается 1ая урна P(A/H1) = 3/5

2ая P(A/H2) = 4/7

3я P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Ответ: 1/3

76. Семена для посева в хозяйство поступают из трех семеноводческих хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40 % всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства 90%, второго 85%, третьего 95%. а) Определить вероятность того, что наудачу 'взятое семя не взойдет, б) Наудачу взятое семя не взошло. Какова вероятность, что оно получено от второго хозяйства?

77. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.

Решение: H1-выбор студента который выучил все, H2 – выбор студента, который выучил 25 вопросов, H3 – выбор студента, который выучил 20 вопросов, H4 – выбор студента, который выучил 10 вопросов.

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-те кто выучил все вопросы, n- все студенты.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(H4) = 1/20

P(A/H1) = 1 – Вероятность того, что студент, который выучил всё,ответил на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – вероятность того, что студент ответит на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – вероятность того, что студент, который выучил 20 вопросов ответит на 2 вопроса билета.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – вероятность того, что студент, который выучил 10 вопросов, ответит на 2 вопроса билета.

Используя формулу полной вероятности найдем вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на 2 вопроса билета:

P(A) = ∑ P(H_i) P(A/H_i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Ответ: 5/6

78. Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки 99%, необработанных 85%. А) Какова вероятность того, что случайно взятое семя взойдет? Б) Случайно взятое семя взошло. Какова вероятность того,что оно выращено из обработанного семени?

Решение: H1-обработанные семена, H2 – необработанные семена, A – семя взошло.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0,95 ; P(H2) = 0,05

P(A/H1) = 0,99 –веротность того,что случайно взятое семя взойдет,если оно обработано.

P(A/H2) = 0,85 – Вероятность того,что случайно взятое семя взойдет, если оно необработанно.

А) по формуле полной вероятности найдем вероятность, что случайно взятое семя взойдет:

P(A) = ∑ P(H_i) P(A/H_i) = ∑ P(H_i)P(A/H_i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P(A/H2)

P(A) = 0,95* 0,99 + 0,05*0,85 = 0,9405 +0,0425 = 0,983

Ответ: 0,983

79. В магазин поступают телевизоры четырех заводов. Вероятность того, что в течение года телевизор не будет иметь неисправность, равна: для первого завода 0,9, для второго 0,8, для третьего 0,8 и для четвертого 0,99. Случайно выбранный телевизор в течение года вышел из - строя. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?

80. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, втором 0,6 и третьем 0,8. Определить вероятность того, что покупатель купит товар в каком-то магазине. Покупатель купил товар. Найти вероятность того, что он купил его во втором магазине.

Ответ: 0,7157

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,75, второго 0,85,
третьего 0,95. Найти вероятность того, что а) откажут два станка, б) все три станка будут работать безотказно,в) хотя бы один станок откажет в работе.

3. Из колоды содержащей 52 карты вынимается наугад 3. Найти вероятность того, что это тройка, семёрка и туз.

4. Найти вероятность того, что абонемент наберет правильный двухзначный номер, если он знает, что данный номер не делится на 5

Решение:P(A) = m/n; m=1/

Посчитаем общее количество двухзначных чисел. Оно равно 90 и вычтем из этих чисел те которые делятся на 5 (10,15,20,25…90,95). Их количество равно 18 => n=90-18=72

P= 1/72

Ответ: 1/72

5. Игральная кость подброшена 2 раза: а) Найти вероятность того, что сумма очков на верхних гранях составит 7.б)найти вероятность того, что хотя бы 2 очка появится при одном подбрасывание.

Решение:P(A)=m/n

n=6*6=36; m=6.

а) P(A)=6/36 =1/6

б) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. В урне имеется 5 черных и 7 красных шаров. Последовательно (без возвращения) извлекается три шара. Найти вероятность того, что а)все три шара будут красными, б)три шара красными или черными.

Решение:C^m_n = n! / m!(n-m)!

C³₁₂ = 220 - вариантов вытащить три шара.

а) Вытащить 3 красных из 7 можно C³₇ способами.

m = C³₇ = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) вытащить 3 красных из 7 можно C³₇ способами, и 3 черных из 5 =>

С³₅ способами.

m = C³₇ + С³₅ = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Ответ: а) P(A) = 7/44 ; б) P (A2) = 9/44

В группе из 15 человек 6 человек занимаются спортом. Найти вероятность того, что из случайно отобранных 7 человек 5 человек занимаются спортом.

Решение:P(A) = C⁵₆ * C²₉ / C⁷₁₅ = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7!*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = (5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0,03

Ответ: 0,3.

Мышь может выбрать наугад один из 5 лабиринтов. Известно, что вероятность ее выхода из различных лабиринтов за 3 минута равны 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Пусть оказалось, что мышь выбралась из лабиринта за 3 минуты. Какова вероятность того, что она выбрала первый лабиринт? Второй лабиринт?

Решение: Изначально вероятности выбора лабиринта мышью равны:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – вероятность выбора 1,2,3,4,5 лабиринт соответственно.

A – выход из лабиринта.

P(A/H1) = 0,5 – Вероятность выхода мыши из 1 лабиринта

P(A/H2) = 0,6 – из 2 лабиринта.

P(A/H3) =0,2 –из 3 лабиринта

P(A/H4) = 0,1 –из 4 лабиринта

P(A/H5) = 0,1 – из 5 лабиринта

По формуле полной вероятности:

P(A) = ∑ P(H_i)P(A/H_i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) +P(H3)P(A/H3) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0,5+0,6+0,2+0,1+0,1)=1/5*1,5=1,5*3/2 = 3/10 –вероятность выхода мыши из лабиринта за 3 минуты.

А)Найдем вероятность того,что мышь выбрала первый лабиринт(по формуле Бэйеса):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /(3/10) = 1/10*10/3 = 1/3

P(H1/A) = 1/3

Б) Найдем вероятность того,что мышь выбрала второй лабиринт(по формуле Бэйеса)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3/25* 10/3 = 10/25 = 2/5

Ответ: 1/3; 2/5

9. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что из 5 билетов выигрышным является один.

10. В сентябре вероятность дождливого дня 0,3. Команда «Статистик» выигрывает в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый день эта вероятность равна 0,3. Известно, что в сентябре они выиграли некоторую игру.Какова вероятность, что в тот день: а) шел дождь; б) был ясный день.

11. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7, вторым - 0,5, третьим -0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.

Решение:

В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартных, во втором 30 деталей, из них 25 стандартных, в третьем 10 деталей, из них 8 стандартных. Из случайно взятого ящика наудачу взята одна деталь, которая оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она взята из второго ящика.

Решение: P(H_i) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39

13. На каждой из пяти одинаковых карточек написана одна из следующих букв: А, Е, Н, С, Т. Карточки
перемешаны. Определить вероятность того, что из вынутых и положенных в ряд карточек а) можно составить
слово «СТЕНА», б) из трех карточек можно составить слово «НЕТ».

Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,46, второго 0,6.

Решение:

Пусть B ни одного попадания

A1 – попадания при 1-ом выстреле.

А2 – попадание при 2-ом выстреле.

P(B) = ^--А1^—А2 = 0,54* 0,4 = 0,216

Тогда С - хотя бы одно попадание.

P(C)= 1 - 0,216 = 0,784

Ответ: 0,784

Имеется 3 урны. В первой урне 6 черных и 4 белых, во второй 5 белых и 5 черных, в третьей 7 белых и 3 черных. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что выбрана вторая урна.

Решение:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Ответ: 15/48 = 0,3125

16. Монета подбрасывается 3 раза. Найти вероятность того, что герб появится: а) все 3 раза, б) только один раз, в)хотя бы один раз

Решение:

17. На отдельных карточках написаны цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все карточки перемешиваются, после чего наугад берут 5 карточек и раскладывают их в ряд. Определить вероятность того, что будет получено число 1 2 0 3 5. (Задачу решить, используя определение вероятности события и теоремы теории вероятностей)

Три известных экономиста одновременно предложили свои теории, которые считались равновероятными. После наблюдения над состоянием экономики оказалось, что вероятность того развития, которое она получила на самом деле в соответствии с первой теорией равна 0,5; со второй – 0,7; с третьей – 0,4. Каким образом это изменят вероятности правильности трех теорий.

Решение:

P(A/H1)=0,5; P(A/H2)=0,7; P(A/H3)=0,4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

P(H3/A)=0,25

В Магазине продается 4 магнитофона. Вероятность того, что они выдержат гарантийный срок, соответственно равны: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Найти вероятность того, что взятый найдачу магнитофон выдержит гарантийный срок.

Решение:Вероятность покупки 1магнитофон –1/4 ; 2 – 1/4; 3 – 1/4 ; 4 –1/4.

P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925

Ответ: P(A) = 0,925