Аналитический метод определения реакций

Рассмотрим равновесие плит. На плиты действуют заданные силы P1, P2, F и пара с моментом M, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие Xa, Ya, Za, цилиндрического (подшипника) на две составляющие Xb, Zb (в плоскости перпендикулярной оси подшипника); реакцию N стержня направляем вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиты пространственной системы сил. При определении моментов силы F относительно осей разлагаем ее на составляющие F¢ и F¢¢, параллельные осям x и z (F¢=Fcosa, F¢¢=Fsina), аналогично поступаем и при определении моментов от реакции в стержне N, а затем применяем теорему Вариньона [3]:

SC Аналитический метод определения реакций - student2.ru (1)
SY Аналитический метод определения реакций - student2.ru (2)
SZ Аналитический метод определения реакций - student2.ru (3)
SMxa(F) Аналитический метод определения реакций - student2.ru (4)
SMya(F) Аналитический метод определения реакций - student2.ru (5)
SMza(F) Аналитический метод определения реакций - student2.ru (6)

Разрешив полученные уравнения относительно неизвестных, получим:

 
  Аналитический метод определения реакций - student2.ru

Подставим в аналитические выражения каждой неизвестной числовые значения всех заданных величин (P1=20 кН, P2=20 кН, F=20 кН, M=20 кНм, а=1 м, AD=3 м, AB=4 м, DC=2 м, a=60°, f=30°) и найдем искомые реакции.

Ответ: Xa=16,67 кН; Ya=14 кН; Za=40 кН; Xb= -10 кН; Yb=-6,3 кН; N=-19,25 кН.

Знак «-» указывает, что данные реакции направлены противоположно.

Главный вектор и главный момент системы сил

Аналитический метод определения реакций - student2.ru Система Mathcad позволяет определять реакции без нахождения аналитических зависимостей для выражения каждой неизвестной, т. е. решать задачи численным методом. Кроме того, система Mathcad открывает возможности реализации решения с использованием векторной формы представления сил и моментов, что позволяет значительно облегчить процесс составления уравнений и их решение. Для представления сил, действующих на систему в векторной форме достаточно задать их в проекциях или выразить через направляющие косинусы:

Координаты приложения действующих на систему сил, также должны быть представлены в векторной форме. Для рассматриваемого случая

Аналитический метод определения реакций - student2.ru

 
  Аналитический метод определения реакций - student2.ru

Выразив момент силы, как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы, и используя Mathcad, можно определить и вывести результаты расчета момента сразу в проекциях на оси координат. В нашем случае, представление моментов сил в векторной форме и вывод результатов их расчета в проекциях, будет иметь следующий вид:

Аналитический метод определения реакций - student2.ru

Аналитический метод определения реакций - student2.ru

Приложенная к плите 1 пара сил с моментом М,

также может быть представлена в векторной форме:

Аналитический метод определения реакций - student2.ru Таким образом, используя векторную форму, можно непосредственно определить как главный вектор системы:

так и главный момент, не прибегая к дополнительным вычислениям:

Аналитический метод определения реакций - student2.ru

Наши рекомендации