Средняя и средняя квадратичная проекции скорости

С учетом (2.42а)

Гамильтониан зависит от квадрата скорости, поэтому направления по- и против оси x равноправные. В результате средняя проекция скорости равна нулю

.

Средняя квадратичная проекция скорости увеличивается с ростом температуры

, (2.42б)

где

.

Доказательство

Подставляем (2.42а)

,

находим

,

где использовано

,

, , .

Распределение в сферических координатах

В распределении (2.41)

переходим от декартовых координат к сферическим

,

где

,

.

Получаем вероятность обнаружения частицы с модулем скорости в интервале от v до (v+dv), движущуюся в интервале углов от (q, j) до (q+dq, j+dj)

, (2.43)

где

– концентрация частиц со скоростями от (v, q, j) до (v+dv, q+dq, j+dj);

n – концентрация частиц со всеми скоростями.

Распределение по модулю скорости

Интегрируем (2.43) по углам, учитываем , тогда

(2.44)

– вероятность обнаружения частицы с модулем скорости от v до ;

(2.44а)

– функция распределения по модулю скорости – относительное число частиц с модулем скорости в единичном интервале около ;

dn(v) – концентрация частиц с модулем скорости от v до ;

– концентрация частиц с модулем скорости в единичном интервале около v.

Условие нормировки

.

Площадь под кривой равна единице. Функция максимальна при наиболее вероятной скорости . При график является параболой. При функция экспоненциально убывает.

С ростом температуры максимум распределения понижается и сдвигается вправо, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью, уменьшается вероятность обнаружить частицу с малой скоростью, площадь под кривой сохраняется.

Наиболее вероятная скорость

Для наиболее вероятной скорости функция распределения максимальна

.

Из

с учетом (2.44а)

находим наиболее вероятную скорость

. (2.45)

Средняя скорость

Из теории вероятности

.

Подставляем (2.44а)

,

находим

. (2.46)

При вычислении использовано

,

, , .

Средняя квадратичная скорость

Используя

.

аналогично находим

. (2.47)

Распределение по энергии

В распределении по модулю скорости (2.44)

заменяем

, , ,

где ε – кинетическая энергия частицы. Получаем вероятность найти частицу с энергией в интервале

, (2.48)

где функцияраспределения Максвелла по энергии

(2.48а)

– относительное число частиц с энергией в единичном интервале около ε;

– концентрация частиц с энергией в интервале ;

– концентрация частиц с энергией в единичном интервале около .

Выполняется нормировка

, .

Площадь под кривой – единица. Функция максимальна при наиболее вероятной энергии . При график является параболой с горизонтальной осью. При функция экспоненциально убывает.

С ростом температуры максимум функции понижается, сдвигается вправо и увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей энергией, уменьшается вероятность обнаружить частицу с низкой энергией.