Основное состояние атома водорода
Атом водорода представляет собой систему, состоящую из положительно заряженного ядра (протон – единичный положительный заряд +e) и одного электрона (единичный отрицательный заряд –e), то есть электрон находится в кулоновском поле положительного заряда (рис. 1.6).
Потенциальная энергия точечного заряда в кулоновском поле определяется выражением
,
где e – единичный электрический заряд; r – расстояние между электроном и ядром; 
– константа в законе Кулона.
Тогда уравнение Шредингера для атома водорода принимает вид
Поскольку кулоновское поле сферически симметричное, для упрощения решения целесообразно заменить декартову систему координат полярной, в которой в качестве трех координат используются радиус-вектор r и два угла: q (тета – угол между радиус-вектором и осью z) и j (фи – угол между проекцией радиус-вектора на плоскость xy и осью x) (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Связь между декартовыми (x,y,z) и сферическими координатами (r,q,j): x = r×sinJ×cosj, y = r×sinJ×sinj, z = r×cosJ
В общем виде волновая функция в полярных координатах является функцией трех переменных: 
. Поскольку единственный электрон атома водорода находится в сферически симметричном поле ядра, следует ожидать, что решением, описывающим основное (не возбужденное) состояние атома водорода, будет сферически симметричная функция, не зависящая от углов 
.
Учитывая, что 
, можно произвести замену переменных в уравнении Шредингера. Для этого проводятся следующие математические преобразования:
,
,
,
,
,
.
Проведя аналогичные преобразования для координат y и z, просуммируем три полученных выражения:
Таким образом, уравнение Шредингера в полярных координатах для основного состояния атома водорода [Y(r)] приобретает следующий вид:
.
Решить уравнение Шредингера значит найти набор возможных волновых функций электрона и соответствующих им значений энергий.
Это уравнение, как и любое дифференциальное уравнение, имеет бесчисленное множество решений, но физический смысл имеют лишь некоторые из них. В данном случае волновая функция описывает реальную физическую систему – электрон в атоме водорода – и связана с вероятностью его нахождения в определенной области пространства, поэтому она должна:
- быть однозначной – вероятность нахождения электрона в элементарном объеме пространства однозначна;
- непрерывной;
- конечной – ни в одной из точек пространства не равна бесконечности;
- убывать до нуля при увеличении расстояния между электроном и ядром.
Для сферически симметричного кулоновского поля одной из функций, удовлетворяющих перечисленным условиям, является функция вида
,
где А – нормирующий коэффициент, а – постоянная величина, определяемая в ходе решения.
Для решения поставленной задачи первую и вторую производные предложенной волновой функции подставляют в уравнение Шредингера, определяют параметр а и значение энергии:
, 
,
.
Поскольку 
, то
,
.
Данное уравнение должно быть справедливым при любых значениях переменной r. А это возможно только в том случае, если левая часть равенства и выражение в скобках в правой части одновременно равны нулю:
,
.
Из второго уравнения определяют постоянную величину а:
.
Определив а, из первого уравнения определяют значение энергии электрона:
Вычисление значения энергии основного состояния электрона в атоме водорода дает величину –13,6 эВ, которая хорошо совпадает с экспериментально определенной энергией ионизации. Полученное значение также совпадает с энергией электрона, находящегося на первой орбите (n=1) атома водорода по теории Бора.
Из принципа нормировки следует, что коэффициент 
. Тогда волновая функция для основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид
,
где – постоянная величина.