Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции

В научных исследованиях необходимо знать вид зависимости искомой величины Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru от условий проведения эксперимента Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru . На практике такая зависимость определяется методами регрессионного и корреляционного анализов. Регрессия - это зависимость условного среднего Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru от случайной величины. Уравнение Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru называется уравнением регрессии. Знание конкретного вида зависимости Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru и Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru позволяет значительно упростить последующие расчеты, прогнозы и т. п. Вид приближающей функции F можно определил, следующим образом. По значениям Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru и Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru строится точечный график функции F, а затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. По полученной кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых аналитических функций).

Однако строгая функциональная зависимость для экспериментально полученной таблицы наблюдается редко, так как каждая из участвующих величин может зависеть от многих случайных факторов. Формула Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru (эмпирическая формула или уравнение регрессии Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru на х) интересна тем, что позволяет находить значение функции для нетабличных значений х и сглаживания результатов измерений величины. Оправданность такого подхода определяется в конечном счете практической полезностью полученной формулы. После того, как выбран вид зависимости Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru от Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru , необходимо определить коэффициенты этого уравнения.

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции часто используют следующие функции:

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

где A, B, C, m - параметры.

Параметры уравнений определяются из условий, чтобы сумма Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru была минимальной. Здесь Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru -табличное значение, а Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru , - значение функции в точке xl при cоответствующих коэффициентах уравнения. Такая задача носит название приближения функции методом наименьших квадратов.

Формулы для определения коэффициентов уравнения методом наименьших квадратов зависимости вида Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru имеют следующий вид:

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Чтобы найти коэффициенты других уравнений, их необходимо привести к линейному виду:

- степенная функция

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

- показательная функция

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

- дробно-линейная функция

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

- логарифмическая функция

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

- гипербола

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

- дробно-рациональная

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Анализ экспериментальных данных методом определения вида и коэффициентов уравнения регрессии обычно сопровождался вычислением коэффициента корреляции - величины, показывающей, насколько близко экспериментальные точки ложатся к прямой линии.

Коэффициент корреляции вычисляют по формуле:

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Значение коэффициента корреляции всегда удовлетворяет соотношению Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru . Если Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru , то между Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru и Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru существует прямая линейная зависимость. При Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru величины Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru и Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru практически независимы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ПЛАНОВОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

11.1 Составление матрицы планирования эксперимента

Необходимость проведения такого рода экспериментов продиктована тем, что в большинстве случаев в исследованиях мы имеем дело с влиянием многих факторов. Наиболее часто это используется при определении оптимальных условий эксперимента или оптимального состава композиции или смесей веществ и т. п. Процедура оптимизации начинается с определения параметров модели или зависимости искомой величины Y от некоторых факторов x1....xn. В простейшем случае модель имеет линейный вид, например, при двух факторах

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

где Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru - коэффициенты уравнения регрессии; x1 , х2 - факторы (условия эксперимента).

Факторы x1....xn имеют в данном случае кодированное значение х, которое определяют по формуле:

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru ,

где хi - натуральное значение фактора; х0 - натуральное значение базового уровня фактора; Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru - интервал варьирования фактора.

Величина х принимает значение либо -1, либо +1, т.е. имеет два уровня -верхний и нижний.

Пусть процесс определяется двумя факторами. Тогда условия проведения эксперимента при отсутствии повторений могут быть представлены в виде таблице 11.1.

Таблица 11.1 – Матрица планирования эксперимента с двумя факторами

№ опыта Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Y
+1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Коэффициенты представленной выше модели вычисляются по формулам:

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

После определения Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru и Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru по их абсолютной величине можно оценить, какой из факторов оказывает наибольшее влияние. Знак при каждом коэффициенте показывает, увеличивает или уменьшает величину изменение того или иного фактора.

При изучении свойств, зависящих только от соотношения компонентов в смеси, план эксперимента представляет собой правильный симплекс, количество граней которого будет зависеть от количества компонентов. В этом случае должно выполняться условие

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

где Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru - концентрация компонента; q - количество компонентов. При q=3 правильный симплекс - равносторонний треугольник, каждая точка которого отвечает одному определенному составу тройной системы.

Наиболее полное описание планового эксперимента при изучении диаграмм состав-свойство можно найти в специальной литературе.

Пример обработки экспериментальных данных

Оценить среднее значение толщины композиционного покрытии, исключить «грубые» измерения и определить погрешность измерения.

При измерении толщины композиционного покрытия микрометром с ценой деления 0,01 мм были получены значения (таблица 11.2).

Таблица 11.2. Результаты измерений

i Hi, мм
14,85 14,80 14,84 15,32 14,81

Найдем среднее значение толщины покрытия

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Для определения среднего квадратичного отклонения S - составим таблицу 11.3.

Таблица 11.3 – Результаты вычислений

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru
14,85 14,80 14,84 15,32 14,81 220,5225 219,0400 220,2256 234,7024 210,3361 74,62 1113,8266

Среднее квадратичное отклонение определим по уравнению:

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Проверим результат при i=4, подозреваемый как "грубый", для чего вычислим

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Для Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru и п = 5 определим по табл. 2 Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru . Сравним Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru и Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru , следовательно результат 15,32 является следствием только статистического разброса и не является грубым. Из табл. 1 определим Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru для п=5 и Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru . Он равен Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru . Вычислим доверительный интервал

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Учитывая правила численного выражения результата эксперимента, принимаем

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru

Относительная погрешность

Определение вида регрессионной зависимости и коэффициента корреляции - student2.ru


Наши рекомендации