Предмет теории вероятностей

Тема 1. Введение

План:

1. Предмет теории вероятностей

2. Краткие исторические сведения

Теоретические сведения

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей случайных массовых явлений. однородных

Методы, открытые в теории вероятностей, получили свое продолжение в большинстве современных наук и отраслях деятельности человека.

Например:

1. Дождь идет в течении трех дней. Можно ли быть уверенным, что он прекратится на четвертые сутки.

2. После 10 испытаний некоторого прибора можно ли быть уверенным, что он не сломается на следующем испытании?

3. Теория вероятностей может указать на характер ошибок при статистических расчетах, указать ее пределы.

4. Производится стрельба из орудия, установленного под задан­ным углом к горизонту. Пользуясь методами баллистики можно найти теоретическую траекторию снаряда. Эта траектория вполне определяется условиями стрельбы: начальной ско­ростью снаряда, углом бросания и баллисти­ческим коэффициентом. Фактическая траектория каждого отдельного снаряда неизбежно несколько откло­няется от теоретической траектории за счет совокупного таких факторов как: ошибки изготовления снаряда, отклонение веса заряда от номинала, неоднородность струк­туры заряда, ошибки установки ствола в заданное положение, метео­рологические условия и т. д.

Если произвести несколько выстрелов при неизменных основных условиях, мы получим не одну теоретическую траекторию, а целый пучок траекторий, образующий называемое рассеивание снарядов.

5. Одно и то же тело несколько раз взвешивается на аналити­ческих весах; результаты повторных взвешиваний несколько отли­чаются друг от друга. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов, сопровождающих операцию взвешивания, таких как положение тела на чашке весов, случайные вибрации аппа­ратуры, ошибки отсчета показаний прибора и т. д.

6. Самолет совершает полет на заданной высоте; теоретически он летит горизонтально, равномерно и прямолинейно. Фактически полет сопровождается отклонениями центра массы самолета от тео­ретической траектории и колебаниями самолета около центра массы. Эти отклонения и колебания являются случайными и связаны с турбу­лентностью атмосферы; от раза к разу они не повторяются.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксиро­ваны условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повто­рении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому законо­мерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, "модель", и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определен­ным образом. Из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяются самые главные факторы по отношению к целям эксперимента. Остальными, второстепенными факторами для данного случая, просто пренебрегают. Причем факт установления важности того или иного фактора весьма сложная и не однозначная.

Такая схема изучения явлений постоянно применяется в физике, механике, технике. При пользовании этой схемой для решения любой задачи, прежде всего выделяется основной круг учитываемых условий и выясняется, на какие параметры задачи они влияют; затем применяется тот или иной математический аппарат (например, составляются и интегрируются дифференциальные уравне­ния, описывающие явление); таким образом выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по его заданным условиям. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все боль­ше; явление исследуется подробнее; научный прогноз становится точнее.

Однако для решения ряда вопросов описанная схема - классиче­ская схема так называемых "точных наук" - оказывается плохо при­способленной.

Существуют такие задачи, где интересующий нас исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть все эти факторы. Это задачи, в которых многочисленные второстепенные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную роль, а вместе с тем число их так велико и влияние столь сложно, что применение классических методов ис­следования себя не оправ­дывает.

Например, движение планет Солнечной системы, прогноз погоды, полет самолета, пружок спортсмена в длину или его бег, встреча людей по пути на работу и многое другое.

Рассмотрим типичный пример. Некоторое техническое устройство, например система автоматического управления, решает определенную задачу в условиях, когда на систему непрерывно воздействуют слу­чайные помехи. Наличие помех приводит к тому, что система решает задачу с некоторой ошибкой, в ряде случаев выходящей за пределы допустимой. Возникают вопросы: как часто будут появляться такие ошибки? Какие следует принять меры для того, чтобы практически исключить их возможность?

Чтобы ответить на такие вопросы, необходимо исследовать при­роду и структуру случайных возмущений, воздействующих на систему, изучить реакцию системы на такие возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров системы па вид этой реакции.

Все подобные задачи, число которых в физике и технике чрезвы­чайно велико, требуют изучения не только основных, главных зако­номерностей, определяющих явление в общих чертах, но и анализа случайных возмущений и искажений, связанных с наличием второ­степенных факторов и придающих исходу опыта при заданных усло­виях элемент неопределенности

С чисто теоретической точки зрения те факторы, которые мы условно назвали "случайными", в принципе ничем не отличаются от других, которые мы выделили в качестве "основных". Теоретически можно неограниченно повышать точность решения каждой задачи, учитывая все новые и новые группы факторов. Однако практически такая попытка оди­наково подробно и тщательно проанализировать влияние решительно всех факторов, от которых зависит явление, привела бы только к тому, что решение задачи, в силу непомерной громоздкости и сложности, оказалось бы практически неосуществимым и к тому же не имело бы никакой познавательной ценности.

Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы одно­родных случайных явлений, мы обычно обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свой­ственные именно данным случайным массовым явлениям.

Рассмотрим еще один пример. По некоторой мишени произво­дится один за другим ряд выстрелов; наблюдается распределение точек попадания на мишени. При ограниченном числе выстрелов точки попадания распределяются по мишени в полном беспорядке, без какой-либо пилимой закономерности. По мере увеличения числа выстрелов в расположении точек попадания начинает наблюдаться некоторая закономерность; эта закономерность проявляется тем отчетливее, чем больше выстрелов произведено. Расположение точек попадания оказывается приблизительно симметричным относительно некоторой центральной точки: в центральной области группы пробоин они расположены гуще, чем по краям; при этом густота пробоин убывает по вполне определенному закону (так называемый "нормаль­ный закон" или "закон Гаусса", которому будет уделено большое внимание в данном курсе).

Подобные специфические, так называемые "статистические", за­кономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с массой однородных случайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индиви­дуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно пога­шаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явле­ний оказывается практически уже не случайным.

Именно эта много­кратно подтвержденная опытом устойчивость случайных массовых явлений и служит базой для применения вероятностных (статистиче­ских) методов исследования.

Методы теории вероятностей по природе приспособлены только для исследования случайных массовых явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный ре­зультат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из ко­торых остается неопределенным, случайным.

Чем большее количество однородных случайных явлений участ­вует в задаче, тем определеннее и отчетливее проявляются прису­щие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точ­ностью можно осуществлять научный прогноз.

Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, цель их в том, чтобы, минуя слишком сложное (и зачастую практически невозможное) изучение отдельного явления, обусловленного слишком большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явле­ний. Изучение этих' законов позволяет не только осуществлять науч­ный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действия случайности, су­жать ее влияние на практику.

Вероятностный, или статистический, метод в науке не про­тивопоставляет себя классическому, обычному методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случай­ности.

Обширное поле применения находит теория вероятностей в раз­нообразных областях военной техники: теория стрельбы и бомбоме­тания, теория боеприпасов, теория прицелов и приборов управления огнем, аэронавигация, тактика и множество других разделов военной науки широко пользуются методами теории вероятностей и ее мате­матическим аппаратом.

Математические законы теории вероятностей - отражение реаль­ных статистических законов, объективно существующих в случайных массовых явлениях природы. К изучению этих явлений теория ве­роятностей применяет математический метод ипо своему методу является одним из разделов математики, столь же логически точным и строгим, как другие математические науки.

Современная наука теория вероятностей изучается совместно с другой наукой "математической статистикой", которая основана на закономерностях открытых в теории вероятностей. Математическая статистика наука о сборе и обработке числовых данных об объектах любой природы.

При обработке статистических данных возможны ошибки. Каковы должны быть допустимые пределы таких ошибок, что бы ими можно было пренебречь.

При изучении многих явлений приходится строить модели. Как установить надежность исследований на моделях и как соотносятся такие результаты оригиналам.

На все эти вопросы в той или иной вероятностью отвечает наука "теория вероятностей и математическая статистика"