Простейшие операции с матрицами

Проверочная работа

Вычислить значение итоговой стоимости и построить диаграмму. Установите формат (денежный)

Товар	Цена (в рублях)	Кол-во	Итог
	8,98

2. Построить график функции y=cos(x)-x для х -10 до 10 с шагом 1

Построить график функции

Построения поверхности z=3x+y-5

Заполним строку значений аргумента Х, начиная с ячейки В1 (хє [-3;0], шаг=0,2 → автозаполнение).

Заполним столбец значений аргумента У, начиная с ячейки А2 (ує [-2;0], шаг=0,2 → автозаполнение по столбцу).

В ячейку В10 запишем формулу: =3*B$1+$A2-5 (знак $ нужен для того, чтобы зафиксировать строку).

Скопируем эту формулу на все ячейки диапазона B2:Р11 (автозаполнение по столбцу и по строке).

Не снимая выделение с диапазона, вызовем Мастер диаграмм с помощью команды Вставка /Другие диаграммы / поверхность.

Результат

Построить верхнюю часть эллипсоида:

Для построения поверхности необходимо разрешить заданное уравнение относительно переменной z.

Так как в условии речь идет о верхней части эллипсоида, то рассмотрим ОДЗ положительной части уравнения:

Приступим к построению поверхности. В диапазон B1:J1 введем последовательность значений переменной y: -4, -3, …,4, а в диапазон ячеек А2:А14 последовательность значений переменой x: -3, -2,5,…3.

В ячейку В2 введем формулу = 2*(1-($A2^2)/9-(B$1^2)/16)^0,5 и скопируем результат

Знак $, стоящий перед буквой в имени ячейки, дает абсолютную ссылку на столбец с данным именем, а знак $, стоящий перед цифрой - абсолютную ссылку на строку с этим именем. Поэтому при копировании формулы из ячейки В2 в ячейки диапазона B2:J14 в них будет найдено значение z при соответствующих значениях x, y. Т.о. создается таблица значений z.

Далее построим поверхность

Задание для самостоятельной работы

Построить часть эллипсоида, заданного уравнением:

Для а=1, b=2, с=3

Построить поверхность z = x²-y² при x, y [-1;1].

Простейшие операции с матрицами

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причём в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.
Транспонирование

Транспонированной называется матрица (А^Т), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами.

Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

1. Введем данную матрицу в Excel

Для объединения ячеек необходимо выделить диапазон ячеек и щелкнуть правой кнопкой мыши /Формат ячеек / Выравнивание / Объединение ячеек

Выделите диапазон ячеек для транспонированной матрицы.

Далее воспользуемся командой Формулы /Ссылки и массивы /ТРАНСП

Далее выделите первый массив.

Нажмите CTRL+SHIFT+ENTER

У вас получится результат

Вычисление определителя матрицы
Важной характеристикой квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы – это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Определитель матрицы А обозначается как |А| или ∆.

Определителем матрицы первого порядка А = (а₁₁), или определителем первого порядка, называется элемент а₁₁.

∆₁ = |А| = а₁₁

Определителем матрицы второго порядка А = (a_ij), или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Произведения а₁₁а₂₂ и а₁₂а₂₁ называются членами определителя второго порядка.

С ростом порядка матрицы n резко увеличивает число членов определителя (n!). Например, при n=4 имеем 24 слагаемых. Существуют специальные правила, облегчающие вычисление определителей вручную, учитываются свойства определителей и т. п. При применении компьютера в использовании этих приемов нет необходимости.

В MS Excel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД.

Для массива А1:С3, состоящего из трёх строк и трёх столбцов (матрица размером 3×3), определитель вычисляется следующим образом:

Вычислим определитель данной матрицы

Табличный курсор поставьте в ячейку, в которую требуется получить значение определителя, например, А11, выберем команду Формулы / Вставить функции / Полный алфавитный список / МОПРЕД. После этого щелкните на кнопке ОК.

В появившееся диалоговое окно МОПРЕД мышью отодвиньте от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А2:С4 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке) .

Нажмите CTRL+SHIFT+ENTER. Результат 25702

Нахождение обратной матрицы.
Для каждого числа а≠0 существует обратное число а^-1, и для квадратных матриц вводится аналогичное понятие. Обратные матрицы обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:

как следует из определения, обратная матрица является квадратной того же порядка, что и исходная матрица.

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность исходной матрицы. Матрица называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля (|А|≠0); в противном случае (|А|=0) матрица называется вырожденной или особенной.

Существуют специальные достаточно сложные алгоритмы для ручного вычисления обратных матриц. В качестве примера того, как вычисляется обратная матрица, рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

Тогда обратная матрица вычисляется следующим образом:

В MS Excel для нахождения обратной матрицы используется функция МОБР, которая вычисляет обратную матрицу для матрицы, хранящейся в таблице в виде массива.

Для вычисления обратной матрицы необходимо

1. Выделить блок ячеек под обратную матрицу

2. Выберите функции МОБР. После этого щелкните на кнопке ОК и выберите исходный массив

4. Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER .

Сложение и вычитание матриц
Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера. Суммой матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) размера m×n называется матрица C = A + B, элементы которой c_ij = a_ij + b_ij для i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n (то есть матрица складывается поэлементно). Например, если:

то С = А + В:

В частном случае А + 0 = А.

Аналогично определяют разность двух матриц С = А – В.

В MS Excel для выполнения операций суммирования и вычитания матриц могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

Умножение матрицы на число
Произведением матрицы А на число k называется матрица В = kA, элементы которой b_ij = ka_ij для I = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n. Иначе говоря, при умножении матрицы на постоянную каждый элемент этой матрицы умножается на эту постоянную: k*A_ij = (k*a_ij).

Например, для матриц А и В из предыдущего примера:
В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, то есть 0 × А = 0.

В MS Excel для выполнения операции умножения матрицы на число могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

Умножение матриц
Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Пусть А = (a_ij) m×n, B = (b_ij) n×p, тогда размерность произведения А×В равна m×p. При этом матрица С называется произведением матриц А и В, если каждый её элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
Таким образом, перемножение матриц осуществляется по следующему правилу:

Функция имеет вид МУМНОЖ(массив1;массив2).

Здесь массив1 и массив2 – это перемножаемые массивы. При этом количество столбцов аргумента массив1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Массив С, который является произведением двух массивов А и В, определяется следующим образом:

где I – номер строки, а j – номер столбца.

Рассмотрим реализацию данных операций. Заготовьте форму

Для сложения матрицы введите формулу и скопируйте результат

Аналогично для умножения матрицы на число

Для умножения воспользуемся функцией МУМНОЖ

Выделим искомый диапазон ячеек

Выберите функцию МУМНОЖ и в появившееся диалоговое окно введите диапазон исходной матрицы А в рабочее поле Массив1 (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В введите в рабочее поле Массив2. Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Результат

Дополнительные функции находятся на вкладке Ссылки и массивы.

Задание для самостоятельной работы

Для матриц

найдите обратные матрицы, определители, транспонированные, умноженные на число 5, сложение и умножение данных матриц.