Задачи для самостоятельного решения. 1.Упростить выражение

1.Упростить выражение

2. Найти углы треугольника с вершинами , , .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах `a=(2;1;0) и `b=(0;-2;1).

4. При каком значении m векторы и перпендикулярны?

5. Найти , если , , .

6. Даны точки , , . Найти

7. Найти длину вектора , если , , .

8. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

9. Даны векторы , , .

Найти вектор , если известно, что , и .

10. Найти проекцию вектора на вектор , если , , .

Ответы: 1. 2. 2. .3.90°. 4. 3. 5. 336. 6.6. 7. .

8. . 9. (3;-1;2) . 10. .

2.7. Векторное произведение векторов и его свойства

Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.

правая тройка

левая тройка тройка

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1) перпендикулярен векторам и , то есть , ;

2) имеет длину , где ;

3) векторы , и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается , то есть

Из условия (2) следует, что длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах:

. (49)

Из определения векторного произведения вытекают следующие соотношения между ортами , и : , , .

x

y

z

O

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) тогда и только тогда, когда , или , или ;

5) .

Из определения и свойств второго произведения следует: , , , .

Можно использовать таблицу векторного произведения векторов , и

			-
	-
		-

Пусть заданы два вектора и . Тогда векторное произведение этих векторов может быть найдено с помощью определителя третьего порядка

. (50)

Пример 15. Упростить выражение .

Решение. Используя свойства векторного произведения, получим

Пример 16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах.

Решение. Найдем векторное произведение векторов и с помощью формулы (50):

Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то Пример 17. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах , если ,

Решение. Найдем векторное произведение данных векторов:

Площадь параллелограмма по формуле (49) равна , тогда получим .

Пример 18. Даны два вектора и . Вектор , . Найти .

Решение. Так как вектор и , тогда . Координаты вектора , вектора . Найдем вектор , пользуясь формулой (50)

Таким образом вектор .

Найдем модуль вектора

Пример 19. Найти , если известно, что , .

Решение. Координаты вектора , вектора . По формуле (48) найдем скалярное произведение векторов и

Найдем векторное произведение , используя формулу (50)

. Тогда искомое выражение .