Приложения скалярного произведения

Линейные операции над векторами и их св-ва.

7.1 Операция составления суммы векторов называется их сложением.

Суммой нескольких векторов называется вектор, соединяющий начало первого вектора, с концом последнего, если данные векторы расположены так что, конец предыдущего является началом последующего ( по цепочке).

Сложение двух векторов по определению, называется правилом треугольника.

Св-ва сложения векторов:

1.a+b=b+a

2.a+(b+c)=(a+b)+c

3.a+0=a

4.a+(-a)=0

Из определения суммы векторов и св-тв сложения, следует специальные правила сложения двух и трёх ненулевых векторов, отнесённых общему началу.

Правила параллелограмма. Суммой двух ненулевых векторов имеющих общее начало, есть вектор выходящий из общего начала и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на сложенных векторах как на сторонах.

Правила параллелепипеда. Суммой трёх ненулевых векторов, имеющих общее начало, есть вектор, выходящий из общего начала и совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах, как на рёбрах.

7.2 Умножение вектора на скаляр.

Произведением ненулевого вектора а на скаляр ,\ не(=) 0, называется новый вектор у которого:

1.длина = |,\|*|a|

2.направление совпадает с вектором а, если ,\ >0 и противоположно вектору a, если ,\ < 0.

Св-ва умножения векторов:

1. , \1 * (,\2 * a) = (,\1 * ,\2) * a

2. ,\1 * (a + b) = ,\1 * a + ,\2 * b

3. (,\1+,\2) *a = ,\1 * a + ,\2 * a

4. a*(-1) = -a

5. если ,\ = 0, то ,\ * a = 0 для любых допустимых а.

6. если a = 0, то ,\ * a = 0 для любых допустимых ,\.

7.3 Вычитание векторов.

Вычитание векторов рассматривается как действие обратное сложению.

Разностью двух векторов a и b называется третий вектор с, такой что будучий сложенный с вектором b, даёт вектор a., т.е. a – b = c ó b+c = a.

Правила нахождения разности векторов:

1.) Чтобы построить разность двух векторов, выходящих из общего начала, достаточно соединить конец вектора вычитаемого, с концом вектора уменьшаемого.

2.) Чтобы построить разность двух векторов а и в, можно к вектору а, прибавить вектор, противоположный вектору в.

Т.е. a – b = a + (-b).

Последнее правило, чаще всего используется при нахождении алгебраической суммы векторов.

Следствия из линейных операций векторов:

1.) Каждый ненулевой вектор, может быть выражен, через свой орт и наоборот. ( a = a’ * |a|, a’ = (1/ |a|) * a);

2.) Если ненулевые векторы а и в коллинеарны, то один из них всегда можно выразить через другой. ( а = ,\1 * b или b = ,\2 * a.

3.) Любой ненулевой вектор R, может быть единственным образом, разложен по двум некаллинеарным а и в , если все эти три вектора компланарны.

4.) Любой ненулевой вектор R, может быть единственным образом, разложен по трём некомпланарным векторам a, b и с. R = n * a + m * b + p * c. где хотя бы одно из чисел n, m, p –отлично от нуля.

Проекция вектора. Теоремы о проекциях.

Пусть дана ось OL и вектор AB.

Проекцией вектора AB на ось OL называется длина отрезка A1 и B1 оси OL, соединяющего проекции начала и конца вектора, взятая со знаком «+», если отрезок A1 и B1 сонаправлен с осью OL и со знаком «-», если противоположно напр.

NPlb (BA) = -|B1A1|; NPol(AB) = |A1B1|.

Проекция есть число со знаком.

Теоремы о проекциях:

1.) Проекция вектора на ось равна длине этого вектора, умноженного на косинус угла между векторами и осью.

Т.е. NPol (AB) = |AB| * cos(phi), phi = (AB ,^ OL).

2.) При умножении вектора на скаляр, его проекция умножается на этот же скаляр.

Т.е. NPol (,\ * AB) = ,\ * NPol (AB).

3.) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов.

Т.е. NPol (a+b+c) =NPol (a) + NPol (b) + NPol (c).

9.) * Разложение вектора по ортам координатных осей. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме.

Скалярное произведение и его св-ва.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется ЧИСЛО равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Т.е. a * b = |a| * |b| * cos(phi) , phi = (a ;^ b).

Если хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.

Пусть даны ненулевые векторы а и в, найдём их скалярное произведение.

a * b = |a| * |b| * cos(phi) , где |b| * cos(phi) = это NPa (b),

т.е. a * b = a * NPa (b), a * b = b.

Таким образом скалярное произведением двух ненулевых векторов, произведению длины одного вектора, на проекцию другого, на направление первого.

Св-ва скалярного произведения:

1.) Вектор a * b = b * a

2.) a * (b + c) = ab + ac

a * (b + c) = |a| * NPa (b + c) = (из теоремы 3) = |a| * NPa (b) + |a| * NPa (c) = a * b + a * c

3.) a * a = a ^ 2 = |a| ^ 2

a * a = |a| * |a| * cos(0) = |a| ^ 2

4.) Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Т.е. a не(=) 0, b не(=) 0, a _I_ b => a * b = 0.

11.) * Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

Пусть даны два вектора: a = ax*i + ay*j + az*k; b = bx*i + by*j + bz*k.

Найдём их скалярное произведение, перечисленные св-ва позволяют перемножать эти векторы как многочлены.

a * b = (ax*i + ay*j + az*k) * (bx*i + by*j +bz*k) = ax*bx*i*i + ax*by*i*j + ax*bz*i*k + ay*bx*j*i + ay*by*j*j + ay*bz*j*k + az*bx*k*i + az*by*k*j + az*bz*k*k.

В силу ортогональности векторов i, j , k имеем:

1) i * j = j * i = 0 4) i * i = |i|^2 = 1

2) i * k = k * i = 0 5) j * j = |j|^2 = 1

3) j * k = k * j = 0 6) k * k = |k|^2 = 1

Учитывая последнее выражение, получаем: a * b = axbx + ayby + azbz = т.е. скалярным произведением двух ненулевых векторов равно сумме произведений одноимённых координат.

Приложения скалярного произведения.

1.) Установление ортогональности векторов.

a * b = 0 => a _I_ b; axbx + ayby + azbz = 0.

2.) Нахождение угла между векторами.

cos(phi) = (a * b) / (|a| * |b|) = (axbx + ayby + azbz) / (sqrt (ax^2 + ay^2 + az^2) * sqrt (bx^2 + by^2 + bz^2))

3.) Нахождение проекции одного вектора на направление другого.

NPb (a) = a * b / |b| = (axbx + ayby + azbz) / (bx^2 + by^2 + bz^2);

NPa(b) = a * b / |a| = (axbx + ayby + azbz) / (ax^2 +by^2 +bz^2);

4.) Нахождение работы постоянной силы.

A = F * S.