Прямая и плоскость в пространстве

Матрицы

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Совокупность Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru чисел, расположенный в виде прямоугольной таблицы из Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru строк и Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru столбцов называется матрицейразмерности Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru на Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru .

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru

(1.1)

где Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru меняется от 1 до Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru меняется от 1 до Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru .

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами: Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru - элемент, находящийся в Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ой строке и Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ом столбце.

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Если Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , то матрица называется квадратной порядка Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru .

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, не лежащие на главной диагонали Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , называется диагональной.

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1 называется единичной:

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru . (1.2)

Одной из важнейших характеристик матрицы порядка Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru называется число - ее определитель, который обозначается Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru или Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru .

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Минором Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru элемента Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru называется определитель, полученный из данного вычеркиванием Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ой строки и Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ого столбца, на пересечении которых находится элемент Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru .

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Алгебраическим дополнением Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru элемента Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru называется число, найденное по формуле

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru (1.3)

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Определителем Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru го порядка называется число, равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru (1.4)

Таким образом,

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru

Итак, Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru (1.5)

При вычислении определителей можно применять следующие их свойства.

1. Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , где Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru - транспонированная матрица (получена из данной матрицы заменой строк на столбцы с сохранением номеров элементов), т.е. строки и столбцы определителя равноправны.

2. При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Если все элементы строки (столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

Определитель не изменится если его строку заменить линейной комбинацией этой и любой другой строк (суммой этой строки и любой другой, умноженной на одно и то же, не равное нулю число).

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Две матрицы Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru и Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ) называются равными, если

они одной размерности и их соответствующие элементы равны, т.е. при всех Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru и Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru (1.6)

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов:

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru (1.7)

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Чтобы умножить матрицу А на число Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru надо каждый элемент этой матрицы умножить на Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru :

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru (1.8)

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Если матрица А имеет размерность Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , а матрица В - Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , то произведением матрицы А на В называется матрица С размерности Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , элементы которой определяются равенствами:

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru (1.9)

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Матрица Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru (1.10)

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Квадратная матрицу имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен 0.

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Для того, чтобы найти обратную матрицу надо:

1. Вычислить ее определитель.

2. Заменить элементы матрицы их алгебраическими дополнениями и транспонировать полученную матрицу, которая называется присоединенной обозначим ее Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru .

3. Разделить матрицу Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru на определитель данной матрицы.

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru (1.11)

Система вида

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru (1.12)

называется системой Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru линейных уравнений с Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru неизвестными. Эту систему можно записать в матричном виде:

АХ = В, (1.12а)

Где Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru .

Одним из методов решения системы (1.12) является метода Гаусса. Для его применения надо:

1) расширенную матрицу Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru

привести к треугольному виду, а именно

Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru

заменяя строки, начиная со второй линейной комбинацией этой строки и предыдущей.

2) По треугольной матрице Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru записать систему линейных уравнений (можно показать, что эта система будет эквивалентна данной системе) и решить ее «снизу вверх».

Векторы

1. Вектор – это направленный отрезок. Обозначаются векторы Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru или Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , где А – начало вектора, а В – его конец. Пусть Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru единичные, взаимно перпендикулярные векторы такие, что направление Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru совпадает с направлением оси ОХ, Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru - оси ОУ, Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru оси ОZ , тогда вектор Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru где Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru проекции вектора Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru на соответствующие оси называются координатами этого вектора. Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
Пусть даны координаты точек А и В и векторов Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , тогда
2. Координаты вектора по координатам начала и конца. Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
3. Длина вектора Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
4. Равные векторы, Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru имеют равные координаты   Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
5. Сумма (разность) векторов Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
6. Произведение вектора Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru на скаляр (число) Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru :   Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
7. Скалярным произведением вектора Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru на вектор Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru назы- вается число, равное произве-дению длин этих векторов на косинус угла между ними: Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ^ Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru   Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru  
8. Косинус угла между векто-рами равен скалярному про-изведению этих векторов на произведение их длин     Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ^ Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru  
9. Векторным произведением Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru называется вектор Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , такой что 1) Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru направлен так, что кратчайший поворот от Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru к Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru с конца Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru наблюдается против часовой стрелки; 2) Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru     Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru    
10. Площадь параллелограмма, построенного на векторах Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru и Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru равна длине векторного про- изведения этих векторов.   Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
11. Смешанное произведение трех векторов Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru = Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru = Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
12. Объем параллелепипеда, построенного на векторах Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru и Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru равен модулю их сме –шанного произведения   Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru  
13. Векторы называются компланарными, если они лежат или параллельны одной плоскости Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru и Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru компланарны тогда и только тогда, когда Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru =0  
14. Перпендикулярность (ортогональность) векторов Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru  
15. Параллельность (коллинеарность) векторов Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
16. Направляющие косинусы вектора Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru - угол между Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru и положительным направлением оси ОХ, Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru - между Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru и положительным направлением оси ОY, Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru - между Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru и положительным направлением оси OZ Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru  
17. Орт вектора Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ( Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru )- единичный вектор того же направления, что и вектор Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru   Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
18. Координаты точки С – середины отрезкаАВ Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
     

Прямая и плоскость в пространстве

1.Уравнение плоскости, проходя-щей через точку Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru перпендикулярно вектору Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru нормальный вектор     Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
  2.Общее уравнение плоскости Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru   Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
Пусть Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru - нормальный вектор плоскости Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , а Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru - нормальный вектор плоскости Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , тогда имеют место соотношения
3. Перпендикулярность плоскостей Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
4. Параллельность плоскостей Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
5. Угол между плоскостями Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ^ Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ^ Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru = Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ^ Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
6. Расстояние от точки Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru до плоскости Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru  
Пусть прямая Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru проходит через точку Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru параллельно век-тору Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , ( Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru направляющий вектор прямой Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ), тогда Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
7. Канонические уравнения прямой Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
8. Параметрические уравнения прямой Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
Пусть Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru - направляющий вектор прямой Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , а Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru - прямой Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru , тогда имеют место соотношения:
  9. Параллельность прямых Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
10. Перпендикулярность пря-мых Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru
11. Угол между прямыми Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ^ Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru = Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru ^ Прямая и плоскость в пространстве - student2.ru

Наши рекомендации