Операции над множествами

Определение 1. Объединением (суммой) Операции над множествами - student2.ru двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств.

Операции над множествами - student2.ru

Еще будем писать так: Операции над множествами - student2.ru .

В устной или письменной речи операцию объединения описывают союзом или.

Непосредственно из определения операции объединения следует справедливость и такого утверждения: если Операции над множествами - student2.ru , то элемент Операции над множествами - student2.ru принадлежит объединению множества Операции над множествами - student2.ru со всяким другим множеством Операции над множествами - student2.ru . Будем писать: Операции над множествами - student2.ru .

Что же означает условие Операции над множествами - student2.ru ? Из определения операции объединения следует, что если Операции над множествами - student2.ru , этот элемент не может входить ни в одно из данных двух множеств, то есть Операции над множествами - student2.ru

Пример. Пусть Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru . Тогда Операции над множествами - student2.ru

Пусть Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru . Тогда Операции над множествами - student2.ru

Определение. Пересечением Операции над множествами - student2.ru (или Операции над множествами - student2.ru , или АВ) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам.

Операции над множествами - student2.ru

По-другому: Операции над множествами - student2.ru .

Но если Операции над множествами - student2.ru , он не принадлежит и пересечению Операции над множествами - student2.ru с любым другим множеством. Будем писать: Операции над множествами - student2.ru .

В устной или письменной речи операции пересечения соответствует союз и.

Таким образом, чтобы элемент Операции над множествами - student2.ru не принадлежал пересечению Операции над множествами - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал хотя бы одному из двух множеств, т.е. Операции над множествами - student2.ru

Пример. Операции над множествами - student2.ru , Операции над множествами - student2.ru . Тогда Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru , Операции над множествами - student2.ru . Тогда Операции над множествами - student2.ru

Определение. Два множества называются непересекающимися, если АВ= Операции над множествами - student2.ru .

Определение. Разностью Операции над множествами - student2.ru множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Иная запись: Операции над множествами - student2.ru .

Из этого определения следует, что Операции над множествами - student2.ru тогда и только тогда, когда Операции над множествами - student2.ru или Операции над множествами - student2.ru . Итак, Операции над множествами - student2.ru .

Пример. Операции над множествами - student2.ru , Операции над множествами - student2.ru . Тогда Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru , Операции над множествами - student2.ru . Тогда Операции над множествами - student2.ru Æ, Операции над множествами - student2.ru

Итак, если Операции над множествами - student2.ru , то Операции над множествами - student2.ru так как во множестве А нет ни одного элемента, который не ходил бы в множество В. Обратно, если Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru , так как каждый элемент множества А принадлежит и В.

Определение. Симметрической разностью А Операции над множествами - student2.ru В (или АÅВ)множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат ровно одному из данных множеств

Операции над множествами - student2.ru

Или так: Операции над множествами - student2.ru .

Но тогда Операции над множествами - student2.ru .

Пример. Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru Тогда Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru , Операции над множествами - student2.ru . Тогда Операции над множествами - student2.ru

Таким образом, Операции над множествами - student2.ru

Определение. Дополнением Операции над множествами - student2.ru множества А доуниверсума U называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат А.

Операции над множествами - student2.ru

Иная запись: Операции над множествами - student2.ru .

В устной речи операции дополнения соответствует частица не.

Пример. Операции над множествами - student2.ru , Операции над множествами - student2.ru . Тогда Операции над множествами - student2.ru

Таким образом, Операции над множествами - student2.ru

Утверждение. Операции над множествами - student2.ru

Доказательство. Докажем, что множества Операции над множествами - student2.ru и Операции над множествами - student2.ru состоят из одних и тех же элементов. Используя понятие подмножества, можно сказать, что А = В Û А Í В и В Í А (множества А и В состоят из одних и тех же элементов).

а. Пусть Операции над множествами - student2.ru

б. Пусть Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru

Диаграммы Венна

На диаграммах Венна универсум изображается прямоугольником или квадратом, а множества – областями внутри универсума. Точки – это элементы универсума. Проиллюстрируем диаграммами Венна введенные определения (рис.1).

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru

Операции над множествами - student2.ru

Рис. 1.

Наши рекомендации