Операции над множествами
Определение 1. Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств.
Еще будем писать так: .
В устной или письменной речи операцию объединения описывают союзом или.
Непосредственно из определения операции объединения следует справедливость и такого утверждения: если , то элемент принадлежит объединению множества со всяким другим множеством . Будем писать: .
Что же означает условие ? Из определения операции объединения следует, что если , этот элемент не может входить ни в одно из данных двух множеств, то есть
Пример. Пусть . Тогда
Пусть . Тогда
Определение. Пересечением (или , или АВ) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам.
По-другому: .
Но если , он не принадлежит и пересечению с любым другим множеством. Будем писать: .
В устной или письменной речи операции пересечения соответствует союз и.
Таким образом, чтобы элемент не принадлежал пересечению , необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал хотя бы одному из двух множеств, т.е.
Пример. , . Тогда
, . Тогда
Определение. Два множества называются непересекающимися, если АВ= .
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Иная запись: .
Из этого определения следует, что тогда и только тогда, когда или . Итак, .
Пример. , . Тогда
, . Тогда Æ,
Итак, если , то так как во множестве А нет ни одного элемента, который не ходил бы в множество В. Обратно, если , так как каждый элемент множества А принадлежит и В.
Определение. Симметрической разностью А В (или АÅВ)множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат ровно одному из данных множеств
Или так: .
Но тогда .
Пример. Тогда
, . Тогда
Таким образом,
Определение. Дополнением множества А доуниверсума U называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат А.
Иная запись: .
В устной речи операции дополнения соответствует частица не.
Пример. , . Тогда
Таким образом,
Утверждение.
Доказательство. Докажем, что множества и состоят из одних и тех же элементов. Используя понятие подмножества, можно сказать, что А = В Û А Í В и В Í А (множества А и В состоят из одних и тех же элементов).
а. Пусть
б. Пусть
Диаграммы Венна
На диаграммах Венна универсум изображается прямоугольником или квадратом, а множества – областями внутри универсума. Точки – это элементы универсума. Проиллюстрируем диаграммами Венна введенные определения (рис.1).
Рис. 1.