Расчет надежности сложных систем при постоянно включенном резерве

В данном параграфе будет изложена методика расчета сложных сис­тем при постоянно включенном резерве с использованием структурно-ло­гических схем надежности (СЛСН) и структурно-логических функций на­дежности (СЛФН), которые строятся по структурной или структурно-функциональной схеме системы. В конце раздела будет показано, как ис­пользовать марковские цепи для построения СЛФН системы.

В расчетах будет допускаться, что элементы системы в смысле на­дежности независимы, т.е. отказы одних элементов не изменяют на­дежно­сти других. Однако, в общем случае, это довольно грубое допуще­ние, так как на самом деле элементы в системе обычно зависимы. Напри­мер, отказ одного из двух элементов, включенных параллельно, может из­менить на­дежность оставшегося, так как последний вследствие этого мо­жет ока­заться более нагруженным.

Чтобы учесть зависимость между элементами, надо при расчете на­дежности исходить не из абсолютных значений надежности составляющих элементов, а из условных надежностей, вычисленных при различных усло­виях отказа того или иного числа элементов системы. Однако это приводит к резкому усложнению методики, и в данном учебном пособии такой под­ход не используется.

Методику расчета сложных систем с постоянно включенным резер­вом удобнее всего изложить, используя конкретные примеры. Рассмотрим, как одну из возможных, структурную схему технической системы, приве­денную на рис. 2.12.

Это вариант системы с функциональным резервированием. Собст­венно система состоит из сервера и удаленного персонального компью­тера. Для повышения надежности сервер задублирован (блоки С₃ и С₄ на рис. 2.12), персональный компьютер также (блоки ПК₁ и ПК₂ на рис. 2.12). Кроме того, благодаря коммутатору К₅ возможен доступ от любого персональ­ного компьютера к параллельно подключенному варианту сервера. Пока­жем, как для данной системы использовать логико-вероятностный метод расчета надежности.

Рис. 2.12. Структура системы с функциональным резервированием

Алгоритм будет выглядеть следующим образом:

1. На первом этапе строим СЛСН. Она приведена на рис. 2.13. Ос­новными являются блоки 1 и 3. Блоки 2 и 4 их дублируют. Блок 5 одно­временно резервирует часть функций блоков 3 и 4. Получается мостиковая схема, в которой нет возможности выделить параллельное и последова­тельное соединение.

Рис. 2.13. Структурно-логическая схема надежности

2. На втором этапе по СЛСН строим СЛФН. Введем понятие истока (точка, в которой сигнал поступает в схему) и стока (точка выхода сиг­нала из схемы). Для построения СЛФН необходимо включить в нее все возмож­ные пути от истока до стока. Для рассматриваемой схемы (см. рис. 2.13) словесная формулировка работоспособности будет записана сле­дующим образом: объект работоспособен, если исправны блоки 1 и 3 или блоки 2 и 4, или блоки 1, 5 и 4, или блоки 2, 5 и 3.

3. Записываем структурно-логическую функцию надежности:

(2.32)

4. Минимизация логической функции. Минимизация логической функции проводится любыми известными из теории логической алгебры способами. После минимизации функция примет вид

5. Упрощение логической функции. Функцию стараются привести к такому виду, чтобы в каждую функцию входило не больше двух членов. Для этого можно воспользоваться разложением функции по какой-либо переменной на две части. Данное разложение в общем виде выглядит сле­дующим образом [2]:

(2.33)

Используем (2.33) для преобразования полученной на втором этапе СЛФН:

6. Арифметизация булевой функции. Правила арифметической функции следующие:

(2.34)

a & b = ab, (2.35)

= 1 – a, (2.36)

F_a = a₅[a₁ + a₂ – a₂ × a₁)(a₃ + a₄ – a₃ × a₄)] + (1 – a₅)(a₁ × a₃ + a₂ × a₄ –

– a₁ × a₃ × a₂ × a₄) – a₅(1 – a₅)(a₁ + a₂ – a₂ × a₁)(a₃ + a₁ – a₃ × a₄)(a₁ × a₃ +

+ a₂ × a₄ – a₁ × a₂× a₃ × a₄). (2.37)

7. Замена событий их вероятностями:

P_c = P₅(P₁ + P₂ – P₁ × P₂) + (1 + P₅)(P₁ × P₃ + P₂ × P₄ –

– P₁ × P₃ × P₂ × P₄) – P₅(1 – P₅)(P₁ + P₂ – P₂ × P₁)(P₁ × P₃ +

+ P₂ × P₄ – P₁ × P₂× P₃ × P₄). (2.38)

8. Расчет надежности.

Пусть Р₁ = Р₂ = 0,9; Р₃ = Р₄ = Р₅ = 0,8; Р_с = 0,8(0,9 + 0,9 +

+ 0,64) + 0,1(0,9 × 0,8 + 0,9 × 0,8 – 0,64 × 0,81) – 0,8 × 0,1(0,9 + 0,9 –

– 0,64)(0,8 + 0,8 – 0,64)(0,72 + 0,72 – 0,64 × 0,81) = 0,938. (2.39)

Если СЛСН системы можно свести только к последовательному и параллельному соединению участков, то расчет надежности можно упро­стить.

Рассмотрим СЛСН, приведенную на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Структурно-логическая схема надежности

1. Словесная формулировка условий работоспособности объекта. Для приведенной схемы: объект исправен, если исправны блоки 1, 3 и 4 или блоки 2, 3 и 4.

2. Составление структурно-логической функции надежности:

. (2.40)

3. Минимизация и упрощение логической функции:

(2.41)

4. Арифметизация булевой функции:

(2.42)

5. Замена событий их вероятностями:

(2.43)

Однако

(2.44)

т.е. мы видим, что для блоков 1 и 2, соединенных параллельно, мы пришли к формуле расчета надежности при параллельном соединении (1.20) (под­разд. 1.2.3), а для последовательного соединения: параллельный участок (блок 1–блок 2), блок 3, блок 4 мы пришли к формуле расчета надежности при последовательном соединении (1.17) (подразд. 1.2.2).

Таким образом, задача расчета надежности свелась к поэтапному вы­делению последовательных и параллельных участков и применению фор­мул (1.20) и (1.17). Покажем применение этого упрощенного метода на примере СЛСН, приведенной на рис. 2.15.

Рис. 2.15. Структурно-логическая схема надежности

Здесь основными являются блоки 1, 3, 4, 8. Блок 1 является самым ненадежным и резервируется однотипным ему блоком 2. Подсистема бло­ков 1, 2, 3, 4 также не является достаточно надежной и потому функцио­нально резервируется подсистемой блоков 5, 6, 7, в которой блоки 5 и 6 – однотипные с низкими надежностными показателями. Блок 8 является вы­соконадежным и не требует резервирования.

Пусть

Р₁ = Р₂ = 0,8, Р₃ = 0,9, Р₄ = 0,9,

Р₅ = Р₆ = 0,82, Р₇ = 0,85, Р₈ = 0,99.

Обозначим выделенные участки римскими цифрами:

(2.45)

(2.46)

(2.47)

(2.48)

(2.49)

(2.50)

Сравним полученную надежность с надежностью нерезервированной системы:

(2.51)

Следует учесть, что построить СЛСН для сложных систем, особенно при наличии функционального резервирования, не всегда просто. Жела­тельно иметь формальный алгоритм для построения СЛФН, использую­щий другие методы и структуры. Такой алгоритм будет использовать в ка­честве математического аппарата марковские цепи [2]. Покажем, как стро­ится марковская цепь для технической системы, приведенной на рис. 2.12.

Сначала выпишем все возможные состояния системы:

0 – все блоки исправны, система работоспособна;

1 – блок 1 неисправен, система работоспособна;

2 – блок 2 неисправен, система работоспособна;

…

5 – блок 5 неисправен, система работоспособна;

6 – блоки 1 и 2 неисправны, система неработоспособна:

7 – блоки 1 и 3 неисправны, система неработоспособна;

…

32 – все блоки неисправны, система неработоспособна.

Будем считать, что два события одновременно произойти не могут, т.е. из состояния 0 мы можем попасть в состояние с одним отказавшим блоком (состояния 1–5), но не с двумя или больше. Марковская цепь для рассматриваемой системы приведена на рис. 2.16. Внутри каждого состоя­ния проставлены неисправные блоки, каждое состояние помечено либо как «р» (работоспособное), либо как «н/р» (неработоспособное).

р

2, 3, 4

1, 2, 4

1, 3, 4

1, 2, 3

1, 2, 3

н/р

н/р

н/р

н/р

н/р

3, 4, 5

2, 4, 5

1, 4, 5

2, 3, 5

2, 3, 4

1, 3, 5

1, 3, 4

1, 2, 5

1, 2, 4

1, 2, 3

н/р

н/р

н/р

н/р

р

р

н/р

н/р

н/р

н/р

н/р

4, 5

3, 5

3, 4

2, 5

2, 4

2, 3

1, 5

1, 4

1, 3

1, 2

р

н/р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

р

1, 2, 3, 4

Рис. 2.16. Марковская цепь для системы с функциональным резервированием

Теперь по этой марковской цепи можно непосредственно записать минимизированную СЛФН. Очевидно, что в СЛФН могут войти только со­стояния, в которых система работоспособна.

Начиная от конца схемы, просматриваем состояния, пока не найдем состояние, помеченное как работоспособное. По нашей цепи это состояние с неисправными блоками 1, 3 и 5, т.е. с исправными блоками 2 и 4. Вносим в СЛНФ терм a₂a₄. Затем вычеркиваем из кандидатов на внесение в СЛФН предшественников выбранного нами состояния (т.е. состояний, из которых мы могли попасть в данное состояние) вплоть до состояния 0. Для рас­сматриваемого состояний это будут: состояние с неисправными блоками 1 и 3, состояние с неисправными блоками 1 и 5, состояние с неисправными блоками 3 и 5, состояние с неисправным блоком 1, состояние с неисправ­ным блоком 3, состояние с неисправным блоком 5 и состояние со всеми исправными блоками.

Процесс повторяем до тех пор, пока все состояния, в которых сис­тема работоспособна, либо войдут в СЛФН, либо будут вычеркнуты.

Легко увидеть, что по завершении работы алгоритма мы получим:

т.е. ту же функцию, что при составлении СЛФН по СЛСН.

Недостаток метода – большая размерность марковской цепи, однако при использовании данного алгоритма мы гарантированно получаем пра­вильную минимизированную СЛФН.