Расчёт показателей надёжности при проектировании
3.1 Расчёт функциональной надёжности системы
3.1.1 Определение термина «функциональная надёжность» системы
Рассмотренные ранее методы расчёта надёжности объединены общим подходом в оценке надёжности на основании информации о надёжности элементов системы. Полученное значение показателя надёжности характеризует вероятность безотказной работы или состояния, среднюю наработку на отказ и т.п.
Иной подход к задачам расчёта надёжности заключается в оценке возможности выполнения заданных функций. Рассмотрим этот подход на примере методики расчёта надёжности АСУ ТП.
Простейшая ячейка АСУ ТП включает в себя комплекс технических средств (КТС), программное обеспечение технических средств (ПО), оперативный персонал – всё это естественным образом усложняет смысл показателей надёжности системы.
КТС и ПО соответствующим образом резервированы, а оперативный персонал действует в рамках заданных инструкций и правил управления технологическим процессом. В связи со сложной иерархической структурой системы и наложением на неё взаимодействия КТС, ПО и оператора обычно выделяют большую или меньшую степень работоспособности системы или, точнее, возможность выполнения системой функций в рамках технического регламента. Речь идёт о выполнении или не выполнении определенной функции или, в рамках этой функции, какой-то процедуры, т.е. следует оценивать «функциональную надёжность системы». Для рассматриваемой системы можно наметить следующие этапы расчёта функциональной надёжности:
1. Расчет вероятностей выполнения заданных функций при условии, что КТС, участвующий в выполнении этих функций, находится в работоспособном состоянии.
2. Расчёт надёжности ПО, т.е. определение вероятности того, что отказы ПО не приведут к не выполнению заданной функции.
3. Расчёт надёжности выполнения заданной функции оперативным персоналом.
3.1.2 Определение вероятности выполнения заданной функции для системы
«комплекс технических средств – программное обеспечение – оператор»
Таким образом, понятие успешности выполнения заданной процедуры определяют для каждого из элементов системы отдельно с учётом установленных для данной процедуры условий и значений технологических величин. Статистически вероятность безотказной работы Pi (t) можно определить как отношение числа успешных реализаций заданной для i – той функции АСУ ТП процедуры к общему числу запросов на выполнение этой процедуры, поступивших за некоторый интервал времени в реальных условиях функционирования системы. В общем случае вероятность Pi (t) определяют показатели надёжности элементов (КТС, ПО и персонал) i – той функции АСУ ТП, выполняющих соответствующую процедуру системы. Полагая, что успешное функционирование КТС, ПО и персонала при выполнении заданной процедуры являются независимыми в совокупности событиями, вероятность выполнения заданной функции можно определить выражением
(3.1)
Здесь 
- вероятности безотказной работы КТС, ПО и оператора.
Если можно пренебречь 
и персонала 
i - ой функции АСУ ТП, то вероятность выполнения заданной функции 
сводится к 
. Вероятность безотказной работы комплекса технических средств в зависимости от определения термина «успешное выполнение процедуры» и требований, предъявляемых к КТС вследствие этого определения, может выражаться через различные показатели надёжности КТС. Если в условие работоспособности КТС в момент поступления запроса включается и непрерывное сохранение этого состояния в течение интервала времени 
, то в стационарном состоянии
(3.2)
Если же интервал времени очень мал, а вероятностью отказа КТС в этом интервале можно пренебречь, то
(3.3)
или
(3.4)
Вероятность совместного появления отказов для КТС, ПО и персонала равна произведению вероятности отказа одного из элементов АСУ ТП на условные вероятности появления отказов других элементов. Причём, вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:
(3.5)
Здесь 
- события отказов КТС, ПО, персонала.
3.2 Анализ качества структурной схемы
3.2.1 Показатели качества структурной схемы
Сам по себе анализ качества структурной схемы системы ещё не обеспечивает надёжности. Задачей анализа является выявление скрытых структурных дефектов. При представлении структурной схемы в виде графа основными показателями, которые характеризуют её качество являются:
1. Связность графа. Этот показатель помогает выявить наличие обрывов (отсутствие необходимых связей), «висящие» вершины и некоторые другие ошибки функциональной схемы.
2. Множество сохранения. Этот показатель качества схемы указывает, при удалении каких элементов из схемы она разрушится, перестанет существовать как единое целое.
3. Ранг элемента. Этот показатель позволяет распределить элементы системы в порядке их значимости. Значимость элемента здесь определяется только количеством связей данного элемента с другими элементами. Это, конечно, ещё не полная характеристика приоритета, поскольку не учитываются метрологические, информационные и другие характеристики элемента, определяющие не только надёжность, но и эффективность системы в целом. Однако можно высказать предположение: чем выше ранг элемента, тем более тяжёлыми будут последствия при выходе этого элемента из строя. Ранг элемента целесообразно определять соотношением
(3.6)
где N – количество элементов; 
- количество связей, идущих от i - элемента.
Значимость элемента определяется путём сравнения рангов всех элементов. Желательно перераспределить связи так, чтобы ранги всех элементов были примерно одинаковыми. Наличие в графе элементов с рангами, значения которых значительно больше рангов других элементов свидетельствует о не рациональном построении графа анализируемой системы.
3.2.2 Распределение требований к надёжности элементов схемы
Методика распределения требований надёжности может быть такова:
1. Определив ранги элементов, требуют, чтобы интенсивности отказов элементов были распределены обратно пропорционально значению рангов, т.е. чем больший у элемента ранг, тем меньшей интенсивностью отказов он должен обладать.
2. Затем выражают все интенсивности отказов через одну. В качестве такого базового значения целесообразно выбрать значение интенсивности отказа того элемента, у которого эта величина может заведомо варьироваться в широких пределах.
3. Среднее время безотказной работы системы определяется соотношением
(3.7)
где 
- алгебраическая сумма рангов элементов системы; 
- интенсивность отказа базового элемента. Из этого уравнения определяется , а затем по известным отношениям рангов – все остальные интенсивности отказов 
(или 
) других элементов.
Следует подчеркнуть, что распределение показателей надёжности только на основании структурных свойств системы может в некоторых случаях привести к казусам. В первую очередь это относится к структурно – симметричным схемам. Простейший пример – схема состоит из двух параллельных элементов. По структурным показателям эти элементы равновелики, а по функциональным показателям они могут быть неравноценными. Но по структурным соображениям можно требовать их равной надёжности.
Чтобы избежать подобных ситуаций, необходимо оценку значимости элемента с помощью «ранга» распространить из области оценки её структурных свойств на область оценки её функциональных свойств. Понятие ранга очень широко, если вспомнить, что оно является количественным выражением понятия доминирования (превосходства, влияния).
Рассмотрим один из возможных подходов к решению этой задачи. Пусть есть система, состоящая из пяти элементов (Э1, Э2, Э3, Э4, Э5). Известно, что выход из строя i – го элемента (либо ухудшение качества его функционирования) влечёт за собой ухудшение функционирования (либо выход из строя) других элементов системы, представленной ниже структурной схемой вида
 |
Рисунок 3.2 - Структурная схема системы
Соответствующая этой схеме матрица влияний имеет вида:
(3.8)
Определим значение функции доминирования R = A + A2 для рассматриваемой задачи
+ 
= 
(3.9)
Подсчитаем ранги элементов, определяющих функциональную значимость элементов: R1 = 0,238; R2 = 0,238; R3 = 0,143; R4 = 0,238; R5 = 0,143. Потребуем, чтобы интенсивности отказов элементов были распределены в отношении обратно пропорциональном значению рангов. Выбираем в качестве опорного значения интенсивности отказов 
. Тогда получим
; 
.
Преобразуем схему рисунка 3.2. Для этого от треугольного соединения элементов 1-2-3 и 1-5-4 переходим к соединению «звездой».
Рисунок 3.3 - Преобразование структурной схемы системы
Теперь получим следующую схему
Рисунок 3.4 - Преобразованная схема технической системы
Рис.3.5. Схема расчёта надёжности системы.
Соответствующая этой схеме функция работоспособности системы имеет вид
«арифметизируем» логическую функцию работоспособности
Заменим события их вероятностями, тогда вероятность безотказной работы системы определяется формулой
Отсюда среднее время наработки до отказа рассматриваемой системы будет равно
Подставляя значение 
, выраженное через 
и отношение рангов, получим
для 
часов 
.
Интенсивности отказа элементов системы для преобразованной схемы расчёта надёжности в соответствии с их рангами будут равны: 
Вероятности безотказной работы элементов технической системы при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы для преобразованной схемы расчёта надёжности равны:
Полученные значения вероятности не являются окончательными, так как необходимо вновь вернуться от соединения элементов «звездой» к соединению элементов в «треугольник». Для треугольника 1-4-5 получим
Для треугольника 1-2-3 аналогично вычислим
Вероятность безотказной работы элемента 1 имеет два значения, что является следствием участия этого элемента в двух «треугольниках». Кроме того, формулы, по которым проводился пересчёт, являются приближёнными. По-видимому, рационально взять среднее арифметическое значение этой величины. Аналогично можно пересчитать значения интенсивностей отказа элементов.
Подобным образом можно поступить и в случае, когда общий показатель надёжности задан в виде вероятности безотказной работы системы. Следует среди рангов элементов выбрать наибольший, например,
Rk = max, затем все остальные ранги разделить на Rk и потребовать, чтобы
где i=1,2,...,(k-1),(k+1),...,n. (3.10)
Подставляя выражение для вероятности безотказной работы i – го элемента в формулу для вероятности безотказной работы системы, определяют значение pk , а затем вычисляют pi других элементов.
В качестве примера рассмотрим схему следящей системы автоматического регулирования соотношения расходов «зерно-вода» (рисунок 3.6) с целью получения в спиртовом производстве замеса (размолотого зерна) заданной крахмалистости, построенной по разомкнутой схеме. Технологическая схема содержит одну транспортную линию зерна, в которую входят бункер для зерна, мельничные агрегаты (рабочий и резервный) и смеситель с мешалкой. Измерение расхода, поступающего в смеситель зерна, осуществляется вибрационным лотковым расходомером с регулирующей заслонкой, который установлен на трубопроводе зерна после бункера. Расход воды, поступающей в смеситель, измеряется ротаметром, установленным на трубопроводе воды. Сигнал от расходомера зерна 3 поступает на измерительный контроллер 1 в качестве ведущей переменной. Ведомой переменной является сигнал от расходомера воды 6. Выходные сигналы измерительного контроллера управляют усилителями мощности 2, 5 исполнительных механизмов, изменяющих расходы зерна и воды.
Качество замеса характеризуется значением крахмалистости. Поэтому вводится корректирующий сигнал, значение которого зависит от результатов лабораторных анализов замеса на «крахмалистость». Таким образом, система регулирования является разомкнутой по отношению к выходной величине смесителя – «крахмалистость» замеса. Система содержит контуры стабилизации расходов зерна и воды, а сигнал управления корректируется в зависимости от хода технологического процесса.
1 – измерительный контроллер; 2,5 – усилители мощности:
3,6 – расходомеры зерна и воды; 4 – смеситель
Рисунок 3.6 Структурная схема системы регулирования
«крахмалистости» замеса
Матрица влияния для системы такова 
(3.11)
Определим функцию «ранжирования» элементов системы как R = A + A2:
(3.12)
Подсчитаем ранги элементов, определяющие их функциональную значимость:
R1 = 0,1739; R2 = 0,1304; R3 = 0,2174; R4 = 0,1304; R5 = 0,1304; R6 = 0,2174.
Преобразуем структурную схему системы в схему расчёта надёжности
 |
| | |
 |
Рисунок 3.7 - Схема расчёта надёжности системы регулирования
«крахмалистости» замеса
С точки зрения надёжности рассматриваем систему как последовательное соединение двух элементов: системы управления и объекта, - и полагаем их отказы независимыми в совокупности. Выбираем максимальное значение вероятности безотказной работы
Р3 = Р6 = Рk = max. Тогда 
Для расчёта вероятности безотказной работы применим метод базового элемента :
= 
Для 
Полагая, что минимальное значение интенсивности отказов смесителя определяется интенсивностью отказов электропривода (электродвигатель, соединение валов шпонкой, обмотка магнитного пускателя), получим 
. При времени наработки t = 10000 часов вероятность безотказной работы смесителя равна 
. Таким образом, для идеальных условий вероятность безотказной работы системы равна
При принятых предположениях улучшение показателя надёжности может быть достигнуто резервированием системы управления.
3.3 Распределение требований к надёжности элементов системы
на основе марковской модели
Анализ системы автоматического управления с точки зрения надёжности сводится к расчёту обобщённых характеристик затрат на эксплуатацию и восстановление, потерь и создаваемого полезного эффекта. При формировании оценок показателей эффективности и надёжности используют одни и те же понятия (отказ, восстановление, время пребывания системы в определённых состояниях). Основное затруднение возникает при переходе от структурных характеристик, например, «функциональной надёжности», которая может характеризоваться числовыми значениями коэффициента эффективности, коэффициента готовности и т.п. к экономическим показателям.
В первом приближении этот переход можно сделать, представив процесс изменения состояния системы в виде марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем. На этапе принятия проектных решений (эскизный проект, выполнение НИР и НИОКР) система в общем случае имеет ограниченный набор состояний, как-то: исправное состояние, работоспособное состояние; состояние, когда обнаружена неисправность; состояние ремонта (восстановления); состояние профилактического осмотра; предельное состояние, когда система списывается. Для расчёта экономических показателей весьма важно, чтобы указанные состояния имели вполне определенные числовые значения характеристик технического состояния системы и времени пребывания системы в каждом из её состояний.
Итак, при относительно небольшом количестве состояний системы есть возможность оценить время однократного пребывания системы в каждом из её состояний, полагая все потоки состояний, переводящие систему из одного состояния в другое, пуассоновскими. Примерный порядок расчёта может быть таким:
1) определить по имеющейся информации плотность распределения интенсивности пуассоновского потока (или функцию распределения случайной величины);
2) затем рассчитать функцию распределения (или плотность распределения интенсивности);
3) найти интенсивность пуассоновского потока событий, выводящего систему из состояния Сi;
4) вычислить среднее время пребывания системы в состоянии Сi по полученному значению интенсивности потока событий, выводящего систему из этого состояния.
Так как определены значения времени однократного пребывания системы во всех состояниях, то можно решить задачу оптимизации соотношения «доходы-расходы» для каждого из выделенных состояний системы любым из известных способов.
Рассмотрим следующий пример:В результате наблюдения за работой действующего макета системы автоматического регулирования технического объекта был получен вариационный ряд времени исправной работы системы в часах: 2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 17; 18; 20; 21; 25; 28; 35; 37; 53; 56; 69; 77; 86; 98; 119. Определить закон распределения случайной величины - времени однократного пребывания системы автоматического регулирования в исправном состоянии.
Решение
Используя экспериментальные данные, построим гистограмму интенсивности отказов системы автоматического регулирования.
Таблица 3.1 - Определение интенсивности отказов системы
 , часов |  |  , 1/час |
| 0 - 20 | 0,0400 | |
| 20 - 40 | 0,0263 | |
| 40 - 60 | 0,0167 | |
| 60 - 80 | 0,0250 | |
| 80 – 100 | 0,0500 | |
| 100 - 120 | - |
Гистограмма интенсивности отказов системы имеет вид:
Рисунок 3.8 Гистограмма интенсивности отказов системы
Аппроксимируем аналитическим выражением расчётные данные по интенсивности отказов системы. Очевидно, что функциональная зависимость является параболической
,
где с = 0,5; а для вершины параболы 
. Отсюда получим
.
Таким образом, интенсивность пуассоновского потока событий, выводящего систему из исправного состояния 
. Теперь определим закон распределения случайной величины 
- времени однократного пребывания системы в исправном состоянии.
Плотность распределения случайной величины - времени однократного пребывания в исправном состоянии системы будет равна
Зависимость между плотностью распределения случайной величины и средней наработкой до отказа (временем однократного пребывания системы в исправном состоянии) определяется формулой:
;
; 
, отсюда
,
.
Вычисление интеграла 
по формуле Симпсона даёт время однократного пребывания системы в исправном состоянии Тi = 2,20 часа с погрешностью 0,01 часа.