Теоретические сведения. Используется аппарат алгебры логики

Используется аппарат алгебры логики. Основные положения алгебры логики разработал в XIX в. английский математик Джордж Буль. Алгебру логики называют также булевой алгеброй.

В булевой алгебре различают двоичные переменные и переключательные функции.

Двоичные переменные могут принимать два значения: 0 и 1. Они называются также логическими или булевыми переменными и обозначаются символами х₁,x₂,х₃,...

Переключательные функции (ПФ) зависят от двоичных переменных. Они, как и аргументы, могут принимать лишь два значения: 0 или 1. ПФ называют также логическими или булевыми функциями. Будем обозначать ПФ в виде f(х₁,x₂,х₃,...). указывая в скобках аргументы, либо в виде y₁,y₂,y₃,... . ПФ в свою очередь могут служить аргументами еще более сложных логических функций. Следовательно, можно построить ПФ любой заранее заданной сложности, пользуясь ограниченным числом логических связей.

ПФ принято задавать таблицами истинности, в которых для всех наборов переменных указываются соответствующие им значения ПФ. Формирование значений ПФ в таблице истинности выполняется в соответствии с логикой работы устройства (сумматора, сдвигателя, преобразователя кодов и т. д.).

Набор переменных — это совокупность значений двоичных переменных, каждая из которых может быть равна 0 или 1. Если число аргументов (независимых переменных) ПФ равно n (т.е. х₁,x₂,х₃,...x_n), то существует 2 различных сочетаний этих переменных, т. е. наборов.

Таблица 2.1 представляет собой таблицу истинности для некоторых ПФ f₁ и f₂, зависящих от двоичных переменных х₁,x₂,х₃. Так как n = 3 (три переменных), таблица 2.1 содержит 8 строк, соответствующих 2³ = 8 наборам переменных х₁,x₂,х₃. Для каждого набора в таблица 2.1 записаны значения ПФ f₁ и f₂, равные 0 или 1. По таблице истинности записывается аналитическое выражение для ПФ.

Таблица 2.1

х1	х2	х3	f1	f2

Произвольная ПФ может быть выражена в форме функции от двоичных переменных (либо от других ПФ) с помощью ограниченного числа элементарных логических функций. Рассмотрим эти функции.

Логическое отрицание (функция НЕ). Логическим отрицанием переменной х называется такая ПФ f₁(x), которая имеет значение 1, когда x = 0 и значение 0, когда х= 1. ПФ НЕ обозначается в виде и читается: «f₁ есть (эквивалентно) не х».

Таблица 2.2 представляет собой таблицу истинности логической функции НЕ.

Таблица 2.2

х	f1

Логическое умножение (конъюнкция). Конъюнкция двух (или любого другого числа) переменных х₁ и х₂ принимает значение 1 только на наборе, в котором все переменные имеют значения 1. На остальных наборах эта функция имеет значение 0.

Таблица 2.3

x1	x2	f2

Таблица 2.3 представляет собой таблицу истинности конъюнкции двух переменных х₁ и x₂. ПФ конъюнкция обозначается в виде и читается: «f₂ есть (эквивалентно) х₁ и x₂».

Для обозначения конъюнкции можно использовать символы или &. Конъюнкция называется также функцией И, так как она имеет значение 1, только если первый и второй аргументы имеют значения 1.

Логическое сложение (дизъюнкция). Дизъюнкция двух (или любого другого числа) переменных х₁ и х₂ имеет значение 0 только на наборе, в котором все переменные имеют значение 0. Если хотя бы одна из переменных равна 1, функция будет иметь значение 1.

Таблица 2.4 есть таблица истинности для дизъюнкции двух переменных х₁ и х₂. ПФ дизъюнкция записывается в виде и читается: «f₃ есть (эквивалентно) х₁ или x₂». Кроме символа + , для дизъюнкции употребляется символ V.

Так как функция дизъюнкции имеет значение 1, если первый или второй аргументы имеют значение 1, операция дизъюнкции называется также операцией ИЛИ.

Таблица 2.4

x1	x2	f3

Элементарные логические функции НЕ, И, ИЛИ являются основными логическими функциями. Имеется еще несколько логических функций, производных от основных функций (т.е. выражающихся через функции НЕ, И, ИЛИ), которые реализуются соответствующими электронными элементами и так часто встречаются в схемотехнике ЭВМ, что им были даны собственные названия. Рассмотрим эти функции.

Отрицание конъюнкции (операция И — НЕ). Эта функция образуется путем отрицания результата, получаемого при выполнении операции И. Таблица 2.5 есть таблица истинности операции И — НЕ для двух переменных. Из сравнения таблиц 2.3 и 2.5 видно, что ПФ И — НЕ является отрицанием (операцией НЕ) конъюнкции. ПФ И — НЕ записывается в виде

Таблица 2.5.

x1	x2	f4

Отрицание дизъюнкции (операция ИЛИ — НЕ). Эта операция образуется путем отрицания результата, полученного при выполнении операции ИЛИ. Таблица 2.6 представляет собой таблицу истинности операции ИЛИ — НЕ для двух переменных. Из сравнения таблиц 2.4 и 2.6 видно, что ПФ ИЛИ — НЕ является отрицанием (операцией НЕ) дизъюнкции. ПФ ИЛИ — НЕ записывается в виде

Таблица 2.6.

x1	x2	f5

ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (операция НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ или СЛОЖЕНИЕ ПО МОДУЛЮ ДВА). Данная функция имеет значение 1 на тех наборах переменных, в которых число единиц нечетно. Для двух переменных операция НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ иллюстрируется таблицей истинности (таблица 2.7). Эта операция записывается для двух переменных в виде /

Операция НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ выражается через операции НЕ, И, ИЛИ в виде .

Таблица 2.7.

x1	x2	f6

Операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ — НЕ (РАВНОЗНАЧНОСТЬ). Функция РАВНОЗНАЧНОСТЬпредставляет собой отрицание операции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ.

Данная операция имеет значение 1 на тех наборах переменных, которые содержат четное число единиц. Для двух переменных операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ — НЕ представлена таблицей истинности (таблица 2.8). Эта операция записывается для двух переменных в виде

Таблица 2.8.

x1	x2	f6

Операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ — НЕ выражается через операции НЕ, И, ИЛИ в виде .

Задания для самостоятельного выполнения:

Даны двоичных числа А и В (данные в таблице). Выполнить операции:

- отрицание

- логическое сложение

- отрицание ИЛИ

- логическое умножение

- отрицание И

- исключающее ИЛИ

- отрицание исключающего ИЛИ