Асимметричная информация об усилиях

Рассмотрим ситуацию, в которой принципал не может четко отслеживать (анализировать) величину усилий агента,другими словами, усилия агента являются ненаблюдаемыми для принципала, а свои усилия агент знает сам. Т.о. существует асимметричная информация об усилиях. Проанализируем базовый контракт в новой ситуации. Значение функции полезности агента имеет следующий вид при низком уровне усилий и величине вознаграждения .

(12)

Т.е. полезность для агента при базовом контракте и низком уровне усилий агента выше, чем при базовом. В этом случае агент проявляет оппортунистичность своего поведения. Несовпадение интересов принципала и агента проявляется в том, что первый заинтересован в высоком уровне усилий агента, поскольку это положительно влияет на его ожидаемый результат, тогда как последний заинтересован в низком уровне усилий, т.к. усилия отрицательно влияют на его полезность.

Таким образом, задача заключается в нахождении таких условий контракта, которые бы максимизировали полезность принципала, одновременно стимулируя агента выбирать нужный уровень усилий. Для этого нужно решить задачу на нахождение условного максимума полезности принципала с учетом ограничений участия и самоотбора при двух уровнях усилий агента.

Чтобы добиться повышенного уровня усилий работника, необходимо изменить базовый контракт таким образом, чтобы в случае большей величины дохода фирмы зарплата работника также возрастала бы. Другими словами говоря, контракт должен быть стимулирующим, т.е. если фирме необходимо, чтобы агент постоянно работал с высоким уровнем усилий( ), то контракт должен быть таким, что ожидаемая полезность агента в этом случае была выше, чем при низком уровне усилий ( ). В этой ситуации доход работника перестает быть постоянным, а становиться рискованным (подвергается случайным воздействиям, зависящим не только от усилий агента). В этом случае агент может рассчитывать на увеличение дохода в качестве премии за риск.

Обозначим через величину заработной платы, которую получает агент при неудачном периоде для фирмы (когда у фирмы низкий уровень дохода ). Обозначим через величину заработной платы, которую получает агент при удачном периоде для фирмы (когда у фирмы высокий уровень дохода ). Вычислим ожидаемую полезность для агента в этом случае при высоком уровне усилий ( ), (при вычислении используются соответствующие вероятности, т.е. приведенные на рис.2.)

(13)

Ожидаемая полезность для агента в случае низкого уровня усилий ( ), может быть вычислена аналогично (при вычислении используются соответствующие вероятности, т.е. приведенные на рис.1.)

(14)

Легко заметить, что стимулирующая оплата работника будет действенной, если полезность в случае высокого уровня усилий определяемая соотношением (13) будет не меньше полезности в случае низкого уровня усилий, определяемой соотношением (14), т.е.

(15)

Выражение типа (15) называется ограничением совместимости по стимулам, которое представляет собой условие, ориентирующее агента на использование высокого уровня усилий. Важным является то, что полезность, получаемая агентом при выборе усилий, желательных для принципала будет не меньше полезности получаемой агентом при любых других усилиях. Т.о. агенту не выгодно проявлять свою оппортунистичность.

Заметим, что выражение (15), с учетом (13) и (14) можно преобразовать к виду

(16)

Упростив это выражение, получаем

(17)

При любом контракте должно выполняться ограничение на участие (дающее возможность агенту получить альтернативную работу),

(18)

Соотношение (18)с учетом (13) и того что

(19)

Преобразуя (19) получаем

(20)

Значение функции полезности для принципала при высоком уровне усилий агента в условиях, когда зарплата агента не постоянна, будет вычисляться с помощью соотношения

(21)

Очевидно, что для принципала ситуация будет оптимальной, когда достигает своего максимума, т.е. ему желательно найти такие и , чтобы было наибольшим. Таким образом, решение сводится к решению задачи условной оптимизации со следующей целевой функцией

(22)

Ограничения определяются условиями (17) (ограничением совместимости по стимулам),(20)( ограничение на участие), к которым следует добавить естественное ограничение – неотрицательность фазовых переменных и .

(23)

Решение нелинейной задачи определяемой соотношениями (22), (17),(20), (23) может быть упрощено путем введения новых переменных и , где и .

Целевая функция (22) примет вид (24),

(24)

Ограничение (17) преобразуется к виду

	(25)

Ограничение (20) преобразуется к виду

(26)

Ограничение (23) преобразуется к виду

(27)

Целевая функция, определяемая соотношением (24) является квадратичной, а ограничения (25),(26) и (27) - линейны, поэтому (есть основания предполагать, что ) данная задача нелинейной оптимизации является задачей квадратичного программирования. Решение этой задачи может быть получено графически.

Очевидно, что линиями уровня целевой функции (24) в пространстве координат и будут «концентрические» эллипсы, приведенные на рис.3. Соответствующие значения уровней подписаны, очевидно, что меньшим эллипсам соответствуют более высокие значения. Ограничения (25),(26) и (27) определяют треугольник, заштрихованный тройной штриховкой. Этот неограниченный треугольник определяет область допустимых решений. Очевидно, что наибольшее значение функция достигает в точке с координатами и (рис.4). Через эту точку проходит эллипс, который является линией уровня соответствующая значению , поскольку справедливо следующее соотношение.

(28)

На рис.4. линия уровня соответствующая значению , что приблизительно равно 17,3333, подписана. Точки плоскости и , которые лежат внутри этого эллипса не удовлетворяют ограничениям, а лежащие вне эллипса имеют меньшее значение целевой функции. Строгое обоснование найденного решения приведено в приложении 2.

Рис.3. Графическое решение задачи нелинейной оптимизации в координатах и

Рис.4. Графическое решение задачи нелинейной оптимизации в координатах и

Поскольку и , то равно 0, а .

Вычислим значение функции полезности для принципала при высоком уровне усилий агента ( ), при вычисленных уровнях зарплаты агента ( и ) с помощью соотношения (21)

(29)

Другим разумным вариантом контракта для принципала в случае не наблюдаемости усилий агента является назначение ему минимальной заработной платы равной единице . В этом случае полезность принципала может быть вычислена с помощью соотношения (10) и будет равна

Поскольку , то принципалу выгодней заключать стимулирующий контракт, при уровнях зарплаты агента ( и ). Заметим, что в случае не стимулирующего контракта и высокого уровня усилий агента , (что в случае не наблюдаемости маловероятно) функции полезности для принципала может быть вычислено по формуле (11) и она равна . Поскольку мы приходим к выводу, что принципал делится своей прибылью с агентом, заключая стимулирующий контракт.

Вычислим ожидаемую полезность для агента при высоком уровне усилий ( ), при вычисленных уровнях его зарплаты ( и ) с помощью соотношения (13)

Решим задачу нелинейного программирования с помощью надстройки «Поиск решения» (рис. 5-9). Для этого в ячейки D5: D6, где будут находиться значения искомых величин и , введем произвольные значения, например, все нули (рис. 5). В ячейке F14 содержится значение целевой функции, которое равно значению функции полезности для принципала при высоком уровне усилий агента, т.е. ожидаемая прибыль фирмы. В ячейке F3 содержится альтернативное значение полезности для агента.

Для удобства вычислений запишем функцию в VBA (Visual Basic for Application) MyUtil для вычисления полезности агента. При использовании этой функции на листе MS Excel эта функция будет отображаться в разделе «Определенные пользователем». Заметим, что эта функция вычисляет только значение выражения , при произвольных значениях аргументов и , но не вычисляет среднюю (ожидаемую) полезность для агента, которая наиболее интересна при решении задачи.

В ячейке F12 вычислим ожидаемую полезность для агента при высоком уровне усилий .

Рис. 5. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных (начало) для решения примера 1

В ячейке F22 вычислим ожидаемую полезность для агента при низком уровне усилий.

.

Рис. 6. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных (окончание) для решения примера 1.

Рис. 7. Фрагмент электронных таблиц MS Excel. Функция, определенная пользователем, MyUtil для вычисления полезности агента.

Рис. 8. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул (начало) для решения примера 1.

Рис. 9. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул (окончание) для решения примера 1.

Для проведения оптимизации используем надстройку «Сервис» Þ «Поиск решений». В диалоговом окне заполняем поля, как показано на рис. 10. Ограничение $F$12>=$F$22 отражает необходимость выполнения ограничения совместимости по стимулам (15), а ограничение $F$12>=$F$3 отражает необходимость выполнения ограничения на участие (18). Выполнение естественного ограничения (23) (неотрицательность фазовых переменных и ) ограничение обеспечивает $D$5: $D$6>=0. После выполнения оптимизации в ячейках D5: D6 будут находиться приближенные значения искомых величин и ( и ). (рис. 5). В ячейке F14 содержится ожидаемая прибыль фирмы, которая равна значению функции полезности для принципала при высоком уровне усилий агента и оптимальных значениях стимулирующего контракта, она равна 17,3333. Найденные значения величин и ( и ) и а также ожидаемой прибыли совпадает с решением найденным графически.

Рис.10. Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» при поиске оптимальных значений стимулирующих выплат