Решение произвольных систем линейных уравнений

Системы линейных уравнений.

Система вида

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru (1)

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными.

Здесь Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru - неизвестные, Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru - коэффициенты при неизвестных, Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru - свободные члены уравнений.

Если все свободные члены уравнений равны нулю, система называется однородной. Решением системы называется совокупность чисел Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , при подстановке которых в систему вместо неизвестных все уравнения обращаются в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной. Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Система (1) может быть представлена в матричной форме с помощью уравнения

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru (2)

где

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru .

Совместность систем линейных уравнений.

Назовем расширенной матрицей системы (1) матрицу

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Теорема Кронекера - Капелли. Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru .

§3. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru (3)

Теорема Крамера.Если главный определитель системы (3) Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

т.е. Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru ,

где Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru - определитель, получаемый из определителя Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru заменой Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru -го столбца на столбец свободных членов.

Если Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , а хотя бы один из Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru ≠0, то система решений не имеет.

Если Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , то система имеет бесконечно много решений.

Систему (3) можно решить, используя ее матричную форму записи (2). Если ранг матрицы А равен n, т.е. Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , то матрица А имеет обратную Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru . Умножив матричное уравнение Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru на матрицу Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru слева, получим:

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru .

Последнее равенство выражает способ решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Пример.Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Решение.Матрица Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru невырожденная, так как Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , значит, существует обратная матрица. Вычислим обратную матрицу: Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru .

Тогда

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru ,

т.е. Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru .

Задание. Решить систему методом Крамера.

Решение произвольных систем линейных уравнений.

Пусть дана неоднородная система линейных уравнений вида (1).

Предположим, что система совместна, т.е. выполнено условие теоремы Кронекера-Капелли: Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru . Если ранг матрицы Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru (числу неизвестных), то система имеет единственное решение. Если Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , то система имеет бесконечно много решений. Поясним.

Пусть ранг матрицы r(A)=r<n. Поскольку Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , то существует некоторый ненулевой минор порядка r. Назовем его базисным минором. Неизвестные, коэффициенты которых образуют базисный минор, назовем базисными переменными. Остальные неизвестные назовем свободными переменными. Переставим уравнения и перенумеруем переменные так, чтобы этот минор располагался в левом верхнем углу матрицы системы:

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru .

Первые r строк линейно независимы, остальные выражаются через них. Следовательно, эти строки (уравнения) можно отбросить. Получим:

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Дадим свободным переменным произвольные числовые значения: Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru . Оставим в левой части только базисные переменные, свободные перенесем в правую часть.

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Получили систему r линейных уравнений с r неизвестными, определитель которой отличен от 0. Она имеет единственное решение.

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Эта система называется общим решением системы линейных уравнений (1). Иначе: выражение базисных переменных через свободные называется общим решением системы. Из него можно получить бесконечное множество частных решений, придавая свободным переменным произвольные значения. Частное решение, полученное из общего при нулевых значениях свободных переменных называется базисным решением. Число различных базисных решений не превосходит Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru . Базисное решение с неотрицательными компонентами называется опорным решением системы.

Пример. Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , r=2.

Переменные Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru - базисные, Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru - свободные.

Сложим уравнения; выразим Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru через Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru :

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru - общее решение.

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru - частное решение при Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru .

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru - базисное решение, опорное.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса - это универсальный метод исследования и решения произвольных систем линейных уравнений. Он состоит в приведении системы к диагональному (или треугольному) виду путем последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований, не нарушающих эквивалентности систем. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении системы с коэффициентом 1.

Элементарными преобразованиями системы являются:

- умножение уравнения на число, отличное от нуля;

- сложение уравнения, умноженного на любое число, с другим уравнением;

- перестановка уравнений;

- отбрасывание уравнения 0 = 0.

Элементарные преобразования можно совершать не над уравнениями, а над расширенными матрицами получающихся эквивалентных систем.

Пример.

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru .

Выполняя элементарные преобразования, приведем левую часть матрицы к единичному виду: на главной диагонали будем создавать единицы, а вне ее - нули.

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Замечание. Если при выполнении элементарных преобразований получено уравнение вида 0 = к (где к Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru 0),то система несовместна.

Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных можно оформлять в виде таблицы.

Левый столбец таблицы содержит информацию об исключенных (базисных) переменных. Остальные столбцы содержат коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.

В исходную таблицу записывают расширенную матрицу системы. Далее приступают к выполнению преобразований Жордана:

1. Выбирают переменную Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , которая станет базисной. Соответствующий столбец называют ключевым. Выбирают уравнение, в котором эта переменная останется, будучи исключенной из других уравнений. Соответствующую строку таблицы называют ключевой. Коэффициент Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru , стоящий на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называют ключевым.

2. Элементы ключевой строки делят на ключевой элемент.

3. Ключевой столбец заполняют нулями.

4. Остальные элементы вычисляют по правилу прямоугольника. Составляют прямоугольник, в противоположных вершинах которого находятся ключевой элемент и пересчитываемый элемент; из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитают произведение элементов другой диагонали, полученную разность делят на ключевой элемент.

Пример.Найти общее решение и базисное решение системы уравнений:

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Решение.

Базис Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru
Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru -1 -3 Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru 1 -2 -9 -2
Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru -1 -3 -3 Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru 2 -7 -2
Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru -1,5 0,5 -1,5 -4 -3

Общее решение системы :

Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru

Базисное решение: Решение произвольных систем линейных уравнений - student2.ru .

Перейти от одного базиса системы к другому позволяет преобразование однократного замещения: вместо одной из основных переменных в базис вводят одну из свободных переменных. Для этого в столбце свободной переменной выбирают ключевой элемент и выполняют преобразования по указанному выше алгоритму.

Наши рекомендации