Ориентирование линий. 4.2 Основные геодезические задачи. 4.3 Масштаб изображения на плоскости

4.1 Ориентировать линию - значит определить (или задать) ее направление относительно другого направления, принятого исходным (начальным). В геодезии исходными направлениями служат северные направление истинного меридиана, магнитного меридиана, а так же осевого меридиана или линии ему параллельной. Северное направление истинного меридиана определяется из астрономических наблюдений, поэтому его называют иногда астрономическим меридианом. Северное направление магнитного меридиана определяется в данной точке при помощи компаса по магнитной стрелке. Астрономический и магнитный азимуты, дирекционный угол – эти ориентирные углы широко применяются в геодезической практике.

Астрономическим (истинным) азимутом А называется горизонтальный угол, отсчитанный в начальной точке линии от северного направления истинного меридиана по ходу часовой стрелки до заданного направления. Азимут А в разных точках одной и той же линии различен. Он изменяется при переходе от одной точки к другой, а величина изменения называется сближением меридианов γ. Переход выражается формулой

А23 = А12 +γ, где γ@(l2-l1)×sinj.

(15)

Для каждой линии существует прямое и обратное направление. Приняв условно направление 12, как прямое, а 21, как обратное, получим

А21 = А12 +180˚+γ.

(16)

Магнитным азимутом А_м называется горизонтальный угол, отсчитанный от северного направления магнитного меридиана до заданного направления. Северное направление указывает магнитная стрелка буссоли (компаса).

Дирекционным углом  называется горизонтальный угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки от положительного направления осевого меридиана или линии ему параллельной до заданного направления (рис.6с). Прямой дирекционный угол связан с обратным соотношением

 = 12 ±180°.

(17)

Все ориентирные углы связаны между собой определенными соотношениями, зависящими от сближения меридианови склонения магнитной стрелки .

Склонение магнитной стрелки угол между магнитным и истинным меридианом. Если северный конец магнитной стрелки отклоняется на восток, то склонение называется восточным и имеет знак «плюс», если на запад, то склонение называется западным и имеет знак «минус». Отсюда формула связи между магнитным и истинным азимутами имеет вид.

А = Ам+δ, Ам=А- δ

(18)

Угол, на который отклоняется в данной точке линия параллельная оси абсцисс, от направления истинного меридиана, называется Гауссовым сближением меридианов . Если точка находится к востоку от осевого меридиана зоны, то угол имеет положительный знак, если к западу, то угол  =(l-l_N)×sinjимеет отрицательный знак.

А = α+γ, α = А -γ

(19)

Из формул (25) и (26) можно получить формулу (27) связи между дирекционным углом и магнитным азимутом

Ам = α+γ - δ, α = Ам -γ +δ.

(20)

Для ориентирования линий используются также румбы - острые горизонтальные углы между ближайшим концом меридиана (или осью абсцисс) и направлением данной линии. Перед численным значением румба указывают его направление относительно сторон света. Дирекционные углы и румбы связаны между собой соотношениями (табл. 1).

Таблица 1

Четверть	Значения углов α	Румбы	Дирекционные углы
	0° - 90°	r-св = α	α = rсв
	90° -180°	rюв = 180° - α	α = 180°-rюв
	180° - 270°	rюз = α -180°	α =180° - rюз
	270° - 360°	rсз = 360- α	α = 360° - rсз

4.2Связь между координатами соседних точек на плоскости осуществляется при помощи геодезических задач.

В прямой геодезической задаче по координатам одной точки, дирекционному углу отрезка линии и его длине определяются координаты второй точки. В обратной геодезической задаче по координатам двух точек определяют дирекционный угол и расстояние между этими точками. Эти задачи имеют основное значение при развитии геодезических построений для передачи координат от одной точки к другой.

Обратимся к правилам их решения.

Для решения прямой задачи должны быть известны координаты одной точки: Х₁, и Y₁; дирекционный угол линии 12 -  ₁₂, и расстояние между определяемыми точками d₁₂. В задаче определяются координаты второго пункта Х₂, Y ₂.

В построенном прямоугольном треугольнике Δ12С его катеты являются приращениями координат, которые можно вычислить по формулам: Х₁₂ = d₁₂cos ₁₂, Y₁₂= d₁₂sin ₁₂. А так как Х₂=Х₁+Х₁₂, У₂=У₁+У₁₂, то решением задачи являются соотношения

Х2=Х1+d12×cos12, У2=У1+d12×sin12.

(21)

Для решения обратной геодезической задачи должны быть известны координаты двух точек: Х₁, У₁; Х₂, У₂ . В результате решения определяется дирекционный угол линии - ₁₂, и расстояние между точками d₁₂.

Из того же прямоугольного треугольника следует одно из возможных решений задачи.

tg12=(У2-У1)/(Х2-Х1); d12=(Х2-Х1)/cos12=(У2-У1)/sin12 или d12=Ö(Y122+Х12 2).

(22)

При последовательном вычислении координат точек по ходовой линии необходимо воспользоваться правилом последовательной передачи дирекционных углов по углам поворота β ходовой линии (1.14) и формулами прямой геодезической задачи

=i-1,i ±180° ± βi ,

(23)

где β_i – угол поворота хода, то есть, чтобы получить дирекционный угол последующей стороны ходовой линии нужно к дирекционному углу предыдущей линии, измененному на 180⁰ , прибавить или отнять угол β_i поворота хода. Причем, угол β_i прибавляется, если он измерен с левой стороны хода и отнимается правый по ходу угол. При вычислении по формуле 1.14, если получается отрицательный результат, то к нему прибавляется 360⁰ , а при результате большем 360⁰ из него убирают полные периоды.

₁₂ =85°25¢; β₂^лев =200°17¢; β₂^пр =159°43¢.

₂₃ =85°25¢ +180°+200°17¢=465°42¢-360°=105°42¢,

₂₃ =85°25¢ +180° -159°43¢=105°42¢, или, наконец,

₂₃ =85°25¢ -180° -159°43¢= -254°18¢+360°=105°42¢.

4.3.Степень уменьшения линий на карте (плане) по сравнению с горизонтальными проекциями тех же линий на местности называют масштабом карты. Численный масштаб представляется простой дробью 1/М, у которой числитель равен единицы, а знаменатель М показывает степень уменьшения линий, иначе говоря

1/М =s/S

(24)

где s – расстояние на плане (карте), S – длина горизонтальной проекции той же линии на местности (s и S имеют одну и ту же размерность).

Чем больше знаменатель М масштаба, тем большая будет степень уменьшения. Из двух принятых масштабов более крупным считается тот, у которого знаменатель М меньше.

Пользуясь формулой (31) можно решать ряд задач, связанных с масштабом, (определять третью неизвестную величину при двух известных).

Все топографические карты России составлены в стандартных масштабах от 1:1000000 до 1:5000. Численный масштаб подписывается под южной рамкой карты.

Вместе с численным масштабом так же дается его расшифровка в виде именованного масштаба, который указывает, сколько метров на местности содержится в одном сантиметре на карте (плане). Например, если масштаб карты равен 1:10000, то именованный масштаб указывает, что в одном сантиметре содержится 100 метров.

Точностью масштаба называют наименьший отрезок на местности, который можно изображать или различать на карте данного масштаба. Поскольку наименьший отрезок, различимый простым глазом равен s_о =0,01см, то по формуле (1.20), соответствующие ему расстояние на местность равно S₀ = s_о×М = 0,01М см – это будет точностью масштаба карты. Например, при масштабе 1:5000, точность масштаба будет равна S₀ =0,01·5000 = 50 см (реально – в два раза больше).

Если же в строительной практике ставится обратная задача – заказать такую карту, на которой различались наименьшие детали, равные S₀ , то масштаб такого плана должен быть равен

1/М = 0,01/S0.

(25)

Пусть S₀ =10см. Тогда 1/М=0,01см/10см=1/1000.

Графические масштабы бывают двух видов – линейные поперечные, - они используются, чтобы избежать расчетов по формуле (1.15).

Линейный масштаб представляется двумя прямыми линиями, разделенными на равные отрезки, равные 1см или 2см, которые называются основанием а масштаба.

Первое основание делят на 10 равных частей и на правом конце его пишут нуль, а на левом – то число метров на местности, которому соответствует в данном масштабе основание. Вправо от нуля под каждым основанием подписывают соответствующие расстояния на местности. С помощью такого построения можно уверенно измерять или откладывать на плане отрезки с точностью до десятых долей основания «а».

Для более точных измерений используется график поперечного масштаба. На графике одиннадцать горизонтальных параллельных линий разделены перпендикулярами на отрезки. Эти отрезки равны основанию масштаба. Обычно в нормальном (сотенном) масштабе, а=2см. Крайнее левое основание вверху и внизу поделено на 10 частей, равных 0,1а = 2мм и полученные отрезки соединены трансверсалями (наклонными линиями).

Из подобия прямоугольных треугольников Δofh ~ Δode следует, что катет de =0,1fh=0,01a, то есть цена наименьшего деления этого графика равна сотой доли основания. Следующие катеты (отрезки между вертикалью и наклонной линией) будут соответственно равны 0,02а, 0,03а, … 0,1а (горизонтальное расстояние между наклонными линиями равно 0,1а). Любой отрезок на поперечном масштабе можно представить в виде числа, состоящего из целых и дробных частей основания, с точностью до 0,01а.

Топографические карты