Ряды динамики и их предварительная обработка

Ряд динамики -Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака)

Если в качестве признака, в зависимости от которого происходит упорядочение, берется время, то такой динамический ряд называется временным рядом.

Если во временном ряду проявляется длительная («вековая») тенденция изменения экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Таким образом, под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов

Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда, а также в определении наличия тренда в исходном временном ряде.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

λ = |yt — yt-1|/σy, t=2,3,...,n

где среднеквадратическое отклонение σy рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение yt уровня ряда считается аномальным

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяется несколько методов; рассмотрим два из них.

Метод проверки разностей средних уровней. Реализация этого метода состоит из четырех этапов.

На п е р в о м э т а п е исходный временной ряд y1,y2,y3,...,yn разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части n1 первых уровней исходного ряда, вовторой — n2 остальных уровней (n1+n2=n).

На в т о р о м э т а п е для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии:

Третий э т а п заключается в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F- критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия:

с табличным (критическим) значением критерия Фишера Fa с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) а. В качестве а чаще всего берут значения 0,1 (10%-ная ошибка),

0,05 (5%-ная ошибка), 0,01 (1%-ная ошибка). Величина 1 — a называется доверительной

вероятностью.

Если расчетное значение F меньше табличного Fa, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается и переходят к четвертому этапу. Если F больше или равно Fa, гипотеза о

равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что данный метод для определения наличия тренда ответа не дает.

На ч е т в е р т о м э т а п е проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

Если расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента ta с заданным уровнем значимости а, гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение ta берется для числа степеней свободы, равного n1+n2-2 при этом данный метод применим только для рядов с монотонной тенденцией.

Метод Фостера—Стьюарта. Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению с предыдущим. Кроме тренда самого ряда (как говорят,

тренда в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т. д. Реализация метода также содержит четыре этапа.

На п е р в о м э т а п е производится сравнение каждого уровня исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые

последовательности:

на втором э т а п е вычисляются величины s и d:

Нетрудно заметить, что величина s, характеризующая изменение временного ряда, принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до n-1 (ряд монотонный).

Величина d характеризует изменение дисперсии уровней временного ряда и изменяется от -(га-1) (ряд монотонно убывает) до (n-1) (ряд монотонно возрастает).

Третий э т а п заключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными

1) отклонение величины s от величины (J. — математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом,

2) отклонение величины d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

На ч е т в е р т о м э т а п е расчетные значения ts и td сравниваются с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости ta. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть. Например, если ts больше табличного значения ta, a td меньше ta, то для данного временного ряда имеется тренд в среднем, а тренда дисперсии уровней ряда нет.

< Билет 3 >