Что такое переключательная схема?
В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.
| Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал. |
Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.
Будем считать, что два переключателя Х и 
связаны таким образом, что когда Х замкнут, то разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю должна соответствовать переменная 
.
Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.
Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:
a) 
Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1;
б) 
Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0;
в) 
Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;
г) 
Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = ;
д) 
Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x) = x . y;
е) 
Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x)=x v y;
ж) 
Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией 
.
| Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале). Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей. |
Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И. Журавлев, С.В. Яблонский и др.
При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.
СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работысводится к следующим трём этапам:
1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
2. упрощению этой функции;
3. построению соответствующей схемы.
АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к
1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
2. получению упрощённой формулы.
Примеры.
1. Построим схему, содержащую 4 переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.
Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид F(x, y, z, t) = t . (x v y v z), а схема выглядит так:
2. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей.
Схема имеет вид:
3. Найдем функцию проводимости схемы:
Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b. Функция проводимости F(a, b, c, d, e) = a . b v a . e . d v c . d v c . e . b.
4. Упростим переключательные схемы:
а) 
Решение: 
Упрощенная схема:
б) 
.
Здесь первое логическое слагаемое 
является отрицанием второго логического слагаемого 
, а дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1.
Упрощенная схема :
в) 
Упрощенная схема:
г) 
Упрощенная схема: 
д) 
(по закону склеивания)
Упрощенная схема: 
е) 
Решение: 
Упрощенная схема: 