Алгоритм метода крутого восхождения

Начальный этап. Выбрать начальную точку X₀⁽¹⁾=[ Алгоритм метода крутого восхождения - student2.ru ]^T, интервал варьирования DX⁽¹)=[Dx₁⁽¹⁾, D x₂⁽¹⁾,…, Dx_n⁽¹⁾]^Tи e> 0 - скаляр, используемый в критерии остановки,a - коэффициент сжатия шага, n–размерность задачи, число опытов равно N=2ⁿ. Положить k=1, i=1 и перейти к основному этапу.

Основной этап. Шаг 1. Вычислить натуральное и кодированное значение переменной х⁽^k⁾_i= Алгоритм метода крутого восхождения - student2.ru Dx_i⁽^k⁾иY_i=(x_i⁽^k⁾-x₀_i⁽^k⁾)/Dx_i⁽^k⁾. Если i=n, то положить j=1 и перейти к шагу 2, иначе положить i=i+1 и вернуться к шагу 1.

Шаг 2. В соответствии с матрицей планирования полного факторного эксперимента реализовать полный факторный эксперимент в окресности точки X^(k).Определить значение функции f(Х_j⁽^k)). Если j=N, то положить i=1, j=1 и перейти к шагу 3, иначе вернуться к шагу 2.

Шаг 3. Вычислить коэффициенты аппроксимационного уравнения Алгоритм метода крутого восхождения - student2.ru f(X⁽^k⁾) = b₀⁽^k⁾+ b₁⁽^k⁾x₁⁽^k⁾+ b₂⁽^k⁾x₂⁽^k⁾+ … + b_n⁽^k⁾x_n⁽^k⁾ по формуле . Если i=n, то перейти к шагу 4, иначе вернуться к шагу 3.

Шаг 4. Определить значение функции в точке (X⁽^k⁾- jDX⁽^k⁾Ba), если
f(X⁽^k⁾- jDX⁽^k⁾Ba)<f(X⁽^k⁾), то положить j=j+1 и вернуться к шагу 4, иначе
X⁽^k⁺¹⁾= (X⁽^k⁾- jDX⁽^k⁾Ba), k=k+1 и перейти к шагу 5.

Шаг 5. Если ||X⁽^k⁺¹⁾ - X⁽^k⁾|| < e, то остановиться; в противном случае i=j=1и перейти к шагу 1.

Пример расчета экстремума функции методом крутого восхождения.

Постановка задачи. Найти минимум функции f(x) = (x₁ - 2)⁴+ (х₁ - 2х₂)². Выбираем начальное приближение Х⁽¹⁾ = [2.5; 2.5]^Т, интервал варьирования на первой итерации принимаем DX⁽¹)=[0.5; 0.5]^T, a⁽¹⁾=0,05 и точность поиска e=0,01.

Результаты расчетов минимума функции методом крутого восхождения с использованием табличного процессора EXCEL для данного варианта представлены в таблице 2.8. Траектория поиска метода приведена на рис.2.8.

Таблица 2.8.

Результаты расчета минимума функции f(x) = (x₁ - 2)⁴+ (х₁ - 2х₂)² методом крутого восхождения.

1. Эксперимент в точке [2.5,2.5], Δx₁=0.5, Δx₂=0.5,
№	Y₁	Y₂	x₁	x₂	f(X)	b₁	b₂
	-1	-1	2.00	2.00	4.00	-2.00	5.00
		-1	3.00	2.00	2.00	a=0.05
	-1		2.00	3.00	16.00
			3.00	3.00	10.00
Движение в направлении градиента
№	x₁	x₂	f(X)	№	x₁	x₂	f(X)
	2.500	2.500	6.3125		2.800	1.750	0.8996
	2.600	2.250	3.7396		2.900	1.500	0.6661
	2.700	2.000	1.9301		3.000	1.250	1.2500
2. Эксперимент в точке [2.9,1.5], Δx₁=0.5, Δx₂=0.5,
№	Y₁	Y₂	x₁	x₂	f(X)	b₁	b₂
	-1	-1	2.40	1.00	0.1856	1.81	0.20
		-1	3.40	1.00	5.8016	a=0.1
	-1		2.40	2.00	2.5856
			3.40	2.00	4.2016
Движение в направлении градиента
№	x₁	x₂	f(X)	№	x₁	x₂	f(X)
	2.900	1.500	0.6661		2.538	1.460	0.2296
	2.719	1.480	0.3255		2.358	1.440	0.2893
2. Эксперимент в точке [2.538,1.460], Δx₁=0.75, Δx₂=0.5,
№	Y₁	Y₂	x₁	x₂	f(X)	b₁	b₂
	-1	-1	1.788	0.960	0.0193	0.80	0.76
		-1	3.288	0.960	4.6280	a=0.1
	-1		1.788	1.960	4.5457
			3.288	1.960	3.1544
Движение в направлении градиента
№	x₁	x₂	f(X)	№	x₁	x₂	f(X)
	2.538	1.460	0.2296		2.217	1.155	0.0108
	2.458	1.384	0.1397		2.136	1.078	0.0008
	2.378	1.307	0.0766		2.056	1.002	0.0027
	2.297	1.231	0.0350	Критерий			Достигнут

Алгоритм метода крутого восхождения - student2.ru В результате трех итераций реализации метода крутого восхождения получена точка Х*=[2.056; 1,002]^т, значение функции в которой f(Х*)=0.0027.