Контрольные задачи к разделу 1

1.1. В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность выиграть, имея 3 билета?

Решение:

вероятность выиграть, имея три билета, состоит в наступлении хотя бы одного из трех событий, которые являются совместными. В этом случае вместо формулы суммы вероятностей удобнее использовать формулу вычисления вероятностей произведения противоположных событий:

.

Вероятность наступления каждого из событий вычисляется по формуле классического определения вероятности:

.

где - число возможных исходов, а - число благоприятных исходов.

.

Ответ: .

1.2. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

Решение:

первая цифра может быть любой. Вероятность того, что вторая отличается от первой 9/10, третья отличается от предыдущих 8/10, четвертая и пятая от предыдущих 7/10 и 6/10 соответственно.

Вероятность всех различных 1*9/10*8/10*7/10*6/10=0.3024.

Ответ: 0.3024

1.3. Какова вероятность вытащить 2 разноцветных шара из ящика, где 8 белых и 12 черных.

Решение:

существует два варианта выбора разноцветных шара: сначала вытащить черный шар, а затем белый, или сначала вытащить белый шар, а затем черный.

Вероятность вытащить первым черный шар равна , а затем вторым белый . Вероятность вытащить первым белый шар равна , а затем вторым черный . Итоговая вероятность равна .

Ответ: .

1.4. У первого акционера 9 акций вида А и 12 акций вида В. У второго, соотвественно, 5 и 9. В результате операции купли-продажи 7 акций первого перешли ко второму держателю акций. Найти вероятность того, что случайно выбранная акция второго акционера окажется вида А.

Решение:

рассмотрим гипотезы: Н₁ — взятая акция была из 7 купленных у первого, Н₂ — взятая акция первоначально была у второго.

Тогда . Пусть А — событие, когда взятая акция вида А, тогда по формуле полной вероятности: .

, тогда .

Ответ: .

1.5. Устройство состоит из 12 независимых блоков, помеченных Б1, Б2, …, Б12. Вероятность того, что неисправность может произойти в одном из блоков Б1, Б2, БЗ, Б4 составляет 0,6. При поиске появившейся неисправности обследованы блоки Б1, Б2, БЗ, но неисправность не обнаружена. Какова вероятность того, что неисправность будет обнаружена в блоке Б4?

Решение:

1.6. Определить вероятность того, что трехзначный номер первой встретившейся автомашины не содержит одинаковых цифр и цифры шесть.

Решение:

воспользуемся формулой:

;

где:

;

Ответ: .

1.7. Из чисел 1, 2, 3, 15 одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым числом будет не меньше числа 3?

Решение:

1.8. Стержень разламывается на две части в случайной точке, равномерно распределенной по всей длине стержня. Найти вероятность того, что меньший обломок имеет длину, не превосходящую одной трети длины стержня.

Решение:

вероятность, что меньший обломок имеет длину не больше стержня, равна .

Ответ:

1.9. Для повышения надежности прибора он дублируется тремя такими же приборами. Надежность каждого прибора равна 0.6. Найти надежность системы . Сколько надо взять приборов , чтобы надежность системы стала 98% ?

Решение:

1) n=3, p=0.6, P(s)=?;

2) p’=0.6; P’(s)>0.98; n’=?;

Так как вероятности выхода из строя любого из приборов равны и приборы работают независимо друг от друга, то мы можем найти вероятность того, что все приборы будут неисправны(это единственный случай , когда система неисправна) , и , вычитая из единицы данное решение мы найдем надежность системы.

1) P(s)= P(s)=

2) P(s)<P’(s) (0,9774<0,98) значит, n’>4, но при n=5:

Значит, n’=5;

Ответ:

1.10. Из колоды в 32 карты берутся 4. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

Решение:

А- вероятность того, что будет хотя бы одна дама.

Всего 32 карты, из них 4 дамы. При вытягивании первой карты вероятность того, что не будет дамы . При вытягивании второй карты . Третьей . Четвертой .

Вероятность того, что среди вытянутых карт нет дам:

Вероятность того, что будет хотя бы одна дама:

Ответ:

1.11. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 30,7% имеют первую, 39,5% - вторую, 21,9% - третью и 7,9% - четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

Решение:

вероятность события , заключающегося в том, что случайно взятому больному подойдет кровь случайно взятого донора, будем искать по формуле полной вероятности:

.

где – вероятность гипотезы ;

- условная вероятность наступления события при гипотезе .

Вероятности гипотез равны:

.

.

Найдем условные вероятности:

1) Если первая группа, то .

2) Если вторая группа, то .

3) Если третья группа, то .

4) Если четвертая группа, то .

Тогда вероятность наступления события :

.

Ответ: .

1.12.Какова вероятность, что при игре в преферанс (32 карты раздаются трём игрокам) в прикупе окажутся два туза?

Решение:

для первой карты прикупа допустимо 4 варианта (любой из тузов), всего карт 32, для второй – 3 (из 31) карты, поэтому

Ответ:

1.13. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпало 4.

Решение:

всего исходов , а благоприятных 3: (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1). Итоговая вероятность равна .

Ответ: .

1.14. 4 поздравительные открытки случайно разложены по 4-ём конвертам с адресами. Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка попала в свой конверт.

Решение:

пусть А_i — событие, когда открытка оказалась в своём конверте. Тогда согласно формуле вероятности суммы событий получим:

, где . Тогда .

Ответ:

1.15. Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный.

Решение:

вероятность выигрыша . По формуле Бернулли .

Ответ:

1.16.Устройство состоит из 5 элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что оба элемента будут не изношены.

Решение:

m – включенные устройства не изношены, n – возможность включить два устройства

Ответ:

1.17. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и помня лишь что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение:

всего мы имеем десять цифр и нам нужно выбрать три из них, зная лишь что они должны быть различны. Первое число мы можем выбирать из всех десяти, но подойдет нам только одно, второе число мы выбираем уже из девяти чисел, а третье из восьми, поскольку мы знаем что числа не должны повторяться.

Ответ: Р=0,14%.

1.18. Два игрока по очереди бросают игральную кость. Каждый по одному разу. Выигравшим считается тот, кто получит большее число очков. Найти вероятность выигрыша первого игрока.

Решение:

всего может выпасть 36 вариантов, первый игрок выиграет при 15 исходах. Тогда .

Ответ:

1.19. В коробке 5 одинаковых изделий, 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди 2-х извлеченных изделий окажется одно окрашенное.

Решение:

рассмотрим 2 возможных варианта:

1)Р(А) - 1-ый шар окрашенный,

Р(В|А) - 2-ой неокрашенный.

2)Р(В) - 1-ый шар неокрашенный,

Р(А|В) - 2-ой окрашенный.

Тогда по формуле получим:

1)

2)

Сложим найденные результаты и получим Р=0,6

Ответ:

1.20. Среди 10 электрических лампочек три нестандартные. Найти вероятность того, что две одновременно лампочки окажутся нестандартными.

Решение:

А1 - вероятность получения одной нестандартной лампочки. А2- вероятность получения второй нестандартной лампочки.

А - вероятность того, что две одновременно лампочки окажутся нестандартными.

Ответ:

1.21. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти первых покупателей обувь этого размера будет необходима одному.

Решение:

в данном случае производится независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью может появиться событие , поэтому применим формулу Бернулли:

.

.

.

Ответ: .

1.22.Вероятность того, что монета диаметром d не пересечёт ни одну сторону квадратной сетки равно p. Определить размер сетки.

Решение:

a=b+d, b=a-d

1.23. Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному кораблю придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого корабля составляет два часа, а второго – три часа.

Решение:

пусть у – время прихода второго корабля, а х – первого. Тогда, условие не ожидания будут выглядеть так: , или . Тогда искомая вероятность равна .

Ответ: .

1.24. На обслуживающее устройство в промежуток времени [0,12]должны поступить 2заявки. Если разность между моментами поступления заявокменьше 2,то вторая заявка теряется. Найти вероятность потери заявки.

Решение:

заявки х и у могут поступить в промежуток [0,12] не зависимо друг от друга. Событие А — потеря заявки происходит, когда . Рассмотрим график этой функции. Тогда по геометрической интерпретации задачи .

.

Ответ:

1.25. Найти вероятность того, что сумма двух случайных чисел из отрезка [- 1, 2] больше единицы, а их произведение меньше единицы.

Решение:

1.26.На пол, разграфленный параллельными прямыми на полосы шириной а, бросается наугад игла длины l (l<a). Найти вероятность того, что иголка пересечет какую-либо прямую.

Решение:

L

L/2

0 pi/2 pi

Ответ:

1.27. На плоскости отрезок длиной 10 см закреплен в одним концом и вращается вокруг точки закрепления так, что все направления отрезка равновероятны. Найти среднюю проекцию отрезка на заданную ось.

Решение:

1.28. Стрельба заканчивается после третьего попадания по мишени. Найти вероятность того, что при этом будет 5 промахов, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3.

Решение:

по формуле Бернулли .

Ответ:

1.29. Вероятность того, что посетитель страховой компании заключит с ней какой-либо договор, равна 0,4. Сколько посетителей надо обслужить, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,9 можно было утверждать, что будет заключен договор?

Решение:

т.к. производится n одинаковых опытов(в одинаковых условиях) и вероятность появления события А в каждом опыте одна и та же( Р=0.4), т о вероятность события А вычисляется по формуле Бернулли:

1 клиент: 0,4<0,9

2 клиента:

3 клиента:

4 клиента:

5 клиентов:

Ответ: 5

1.30. Производится залп из 6 орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равно 0.6. найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее 4 попаданий.

Решение:

Р=0,6 – вероятность попадания в объект из каждого орудия,

А- поражение цели. Воспользуемся формулой Бернулли: Мы можем ее использовать, так как имеем многократное повторение опыта в задаче.

Ответ: .

1.31. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Решение:

вероятность хотя бы одного появления события в независимых опытах в одинаковых условиях выражается формулой:

.

.

Ответ: .

1.32.Сотрудники отдела маркетинга предполагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность, что рост спроса действительно произойдёт?

Решение:

решим задачу по формуле полной вероятности:

где H₁ – спрос вырастет; H₂ – спрос понизится; A/H₁ – прогноз оправдается; A/H₂ – прогноз не оправдается;

Ответ:

1.33. 2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-ого автомата вдвое больше производительности 2-ого. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2-й – 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена первым автоматом.

Решение:

пусть производительность первого - , тогда производительность второго - . По условию . Используя, формулу полной вероятности .

Ответ: .

1.34. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более вероятно: выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6? Ничьи не рассматриваются.

Решение:

по формуле Бернулли: . Противники равносильные, значит, . Тогда .

Ответ: вероятнее выиграть 2 партии из 4.

1.35. Два баскетболиста делают по 3броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7.Начти вероятность того, что у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

Решение:

1.36.Известно, что в среднем 60% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов.

Решение:

P=0,6 – вероятность того, что аппарат первого сорта

Q=0,4

N=10 – общее кол-во аппаратов

M=6 – первого сорта

По формуле Бернулли:

Ответ:

1.37. Рабочий обслуживает три станка. Каждый из станков может выходить из строя независимо друг от друга с вероятностями Р₁=0,3, Р₂=0,4, Р₃=0,5 соответственно. Стало известно, что вышел из строя один станок. Какова вероятность того, что это первый станок?

Решение:

вероятность будем считать по формуле Байеса:

Ответ: Р=20,45%.

1.38.Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40% приборов собирается из высококачественных Деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность за время t равна 0.95,если из деталей обычного качества - его надежность 0.7.Прибор испытывали в течение времени t и он отработал безотказно. Какова вероятность того, что он был собран из высококачественных деталей?

Решение:

1.39. Найти вероятность того, что при случайной расстановке 3-х ладей на шахматной доске они не будут угрожать друг другу.

Решение:

воспользуемся формулой :

Поставим на шахматное поле 1-ую ладью, это можно сделать 64 способами, значит Р1=

Для 2-ой ладьи свободных клеток 63, а благоприятных расстановок 49, значит Р2=

Для 3-ей ладьи свободных клеток осталось 62, а благоприятных – 36, значит Р3=

Окончательно получаем Р=1 =0,45

Ответ:

1.40. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы одно из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0.3; 0.4 и 0.6

Решение:

P1=0.3 q1=0.7 P2=0.4 q2=0.6 P3=0.6 q3=0.4

- вероятность выхода из строя всей сети. Вероятность отказа одного прибора:

Вероятность отказа 2 приборов:

Вероятность отказа 3 приборов:

А – сеть работает:

Ответ: .

1.41. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает эти вопросы.

Решение:

используем теорему умножения вероятностей:

.

Представим сложное событие как произведение трех событий
, где - студент знает 1-й вопрос, - студент знает 2-й вопрос, - студент знает 3-й вопрос. Тогда вероятность того, что студент знает все три вопроса:

.

.

Ответ: .

1.42.В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказа первого, второго и третьего элемента соответственно равны: . Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение:

тока в сети не будет, если откажет хоть 1 элемент

Ответ:

1.43. Оптовая база обслуживает 12 магазинов. От каждого из них заявка на товары на следующий день может поступить с вероятностью 0,3. Найти наивероятнейшее число заявок на следующий день.

Решение:

искомая величина лежит между числами и . То есть она равна 3.

Ответ: 3.

1.44. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,2, 0,3 и 0,5. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равны: для первой кассы 0,2, для второй 0,3, для третьей 0,4. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что это была первая касса?

Решение:

вероятность купить билет в первой кассе равна , вероятность купить билет в какой-н. кассе равна . Тогда вероятность равна .

Ответ:

1.45. Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недоброкачественные. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что деталь взята из второй партии.

Решение:

1.46. Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Проводится испытание прибора в трех независимых опытах. Вероятность отказа прибора при одной опасной перегрузке равна 0,2; при двух перегруз как равна 0,5; при трех перегрузках равна 0,8. Определить вероятность отказа прибора в испытании.

Решение:

. По формуле Бернулли . Тогда искомая вероятность равна .

Ответ:

1.47. В квадрат с вершинами (0;0), (1;0), (0;1), (1;1) наудачу брошена точка М(a;b). Найти вероятность того, что кори уравнения ,будут действительными.

Решение:

корни данного уравнения будут действительными, если дискриминант квадратного уравнения будет больше 0, т.е.

И

Изобразим картинку.

Вероятность того, что корни уравнения будут действительными – это площадь заштрихованной области, т.е.

Ответ: Р=8,3%.

1.48. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной нестандартной детали, равна 0,93. Найти вероятность того, что не будет выпущено ни одной нестандартной детали: а) за две смены; б) за три смены.

Решение:

. Тогда

a)

б)

Ответ: a) б)

1.49. На факультете обучаются 650 студентов. Найти вероятность того, что ровно 4 студента имеют день рождения 4 апреля.

Решение:

воспользуемся формулой Бернулли: где

Ответ:

1.50. Вероятность наступления события в каждом опыте равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Найти вероятность того, что придется производить четвертый опыт.

Решение:

вероятность, что придётся производить 4-ый опыт равна и по формуле Бернулли .

Ответ:

1.51. В круг радиуса R вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что поставленные наудачу внутри круга две точки окажутся внутри квадрата?

Решение:

возможностей оказаться внутри круга равно площади круга, т. е. , возможностей оказаться в квадрате равно площади квадрата, т. е. . Тогда вероятность для 1-ой точки оказаться внутри квадрата равна А для 2-х - .

Ответ:

1.52.Имеются две партии изделий по 15 и 10 штук, причём в каждой партии есть одно бракованное изделие. Изделие взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

Решение:

для решения задачи воспользуемся формулой полной вероятности:

где H₁ – взятое из первой партии изделие бракованное, H₂ – взятое из первой партии изделие не бракованное, A/H₁, A/H₂ – взятое из второй партии изделие бракованное;

Ответ:

1.53. В ящике содержится 16 деталей завода № 1, 20 деталей завода № 2, 24 деталей завода № 3. Вероятность того, что детали завода № 1 отличного качества, равна 0,9; для деталей заводов № 2 и № 3 она соответственно равна 0,65 и 0,92. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

Решение:

общее число деталей равно 16+24+20=60, тогда по формуле полной вероятности

.

Ответ:

1.54. Вероятность того, что во время работы ЭВМ возникают сбои в про-цес-соре, оперативной памяти и в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружения сбоя в процессоре, оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,84, 0,78 и 0,93. Найти вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой будет обнаружен.

Решение:

по формуле полной вероятности .

Ответ:

1.55. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый выпускает 22%, второй - 30%, третий - 48% деталей данного типа. Первый автомат дает 0,26% брака, второй - 0,13%, третий - 0,18%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали.

Решение:

1.56. Шар помещен внутри эллипсоида . Найти вероятность того, что брошенная наудачу внутрь эллипсоида точка окажется внутри шара.

Решение:

воспользуемся формулой:

m – объём шара;

n – объём эллипсоида;

Ответ:

1.57. Имеется 15 билетов по два вопроса, которые не повторяются. Студент может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и дополнительный вопрос из другого билета.

Решение:

P₁= – ответил на два вопроса

P₂= – ответил на дополнительный вопрос

– ответил на первый и не ответил на второй, или ответил на второй и не ответил на первый.

Ответ: Р=94%.

1.58. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента А₁ или двух элементов А₂ и А₃, которые выходят из строя независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,35, 0,24 и 0,12. Найти вероятность разрыва электрической цепи.

Решение:

по формуле суммы вероятностей .

Ответ:

1.59. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение:

всего двузначных 90, кратных 2-м 45; 5-ти -18; 5 и 2 – 9.

Воспользуемся формулой: и Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Р=

Ответ:

1.60.Из последовательности чисел 1,2,3,...,10 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность, что одно из них меньше 6, а другое больше 7?

Решение: