Этапы построения математических моделей

Сущность построения математической модели состоит в том, что реальная система упрощается, схематизируется и описывается с помощью того или иного математического аппарата. Выделяют следующие основные этапы построения моделей.

1. Содержательное описание моделируемого объекта. Словесно описывается объект моделирования, цели его функционирования, среда, в которой он функционирует, выявляются отдельные элементы, возможные состояния, характеристики объекта и его элементов, определяются взаимосвязи между элементами, состояниями, характеристиками. Такое предварительное, приближенное представление объекта исследования называется концептуальной моделью. Этот этап является основой для последующего формального описания объекта.

2. Формализация операций. На основе содержательного описания определяется и анализируется исходное множество характеристик объекта, выделяются наиболее существенные из них. Затем выделяют управляемые и неуправляемые параметры, вводят символьные обозначения. Определяется система ограничений, строится целевая функция модели. Таким образом, происходит замена содержательного описания формальным (символьным, упорядоченным).

3. Проверка адекватности модели. Исходный вариант модели необходимо проверить по следующим аспектам:

1) все ли существенные параметры включены в модель?

2) нет ли в модели несущественных параметров?

3) правильно ли отражены связи между параметрами?

4) правильно ли определены ограничения на значения параметров?

Главным путем проверки адекватности модели исследуемому объекту выступает практика. После предварительной проверки приступают к реализации модели и проведению исследований. Полученные результаты моделирования подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта. По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

Таблица 5.2 Классификация видов моделирования систем

Описание

Описывает совокупность функций, функциональных подсистем, их взаимосвязи

Отражает состав и взаимосвязи между элементами системы

Описывает динамику функционирования с помощью понятий: состояние системы, событие, переход из одного состояния в другое, условия перехода, последовательность событий

Получают изоморфные модели, находящиеся в строгом соответствии с оригиналом и дающие о нем исчерпывающую информацию

Получают гомоморфныемодели путем сознательного огрубления исследуемого процесса, значительного сокращения числа факторов, отбора среди них наиболее существенных

Используется возможность исследования характеристик либо на реальном объекте, либо на его части

Применяется, когда модели не реализуемы в заданном интервале времени, либо отсутствуют условия для их физического создания

Включение в модель управляемых переменных, что позволяет находить эффективное управляющее воздействие

Предварительное содержательное описание исследуемого объекта, которое не содержит управляемых переменных, играет вспомогательную роль, предшествует построению конструктивной модели (например, математической). Модели имеют вид схем, отражающих наши представления о том, какие переменные наиболее существенны и как они связаны между собой

Служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени

Служит для исследования объекта во времени

Виды моделей

Функциональное

Информационное

Поведенческое (событийное)

Полное

Приближенное

Реальное

Мысленное

Конструктивное

Дескриптивные (описательные, концептуальные)

Статическое

Динамическое

Признак классификации

Аспект моделирования

Соответствие оригиналу

Форма реализации

Наличие управляемых переменных

Изменение во времени

Продолжение табл.5.2

Описание

Отображение процессов, в которых все параметры и воздействия предполагаются не случайными, а причинно обусловленными

Учитываются вероятностные процессы и события

Строятся модели геометрического подобия (изобразительные модели): чертежи, схемы, диаграммы, карты, макеты самолетов, модели солнечной системы в планетариях, модели атома и т.п.

Процесс установления соответствия реальному объекту некоторого набора символов и выражений, например математических. Математические модели наиболее удобны для исследования и количественного анализа, позволяют не только получить решение для конкретного случая, но и определить влияние параметров системы на результат решения

Воспроизведение (с помощью ЭВМ) алгоритма функционирования сложных объектов во времени, поведения объекта. Имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания. Это искусственный эксперимент, при котором вместо проведения натурных испытаний с реальным объектом проводятся опыты на математических моделях

Проведение исследования на реальном исследуемом объекте

Исследования проводятся на установках, которые сохраняют физическую природу исследуемого объекта, но отличаются от него размерами, формой и другими характеристиками (аэродинамическая труба, в которой отрабатываются свойства летательного аппарата)

Набор одних свойств используется для отображения свойств другой физической природы: гидравлическая система как аналог электрической или транспортной; электрическая система как аналог механической, транспортной систем

Виды моделей

Детерминированное

Стохастическое

Наглядное

Математическое (символическое)

Имитационное

Натурное

Физическое

Аналоговое

Признак классификации

Степень определенности

Способ реализации

4. Корректировка модели. На этом этапе уточняются имеющиеся сведения об объекте и все параметры построенной модели. Вносятся изменения в модель, и вновь выполняется оценка адекватности.

5. Оптимизация модели. Сущность оптимизации (улучшения) моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, являются время и затраты средств для проведения исследований и принятия решений с помощью модели.