Основы машинной арифметики с двоичными числами

Любая информация (числа, команды, записи и т. п.) представляется в ЭВМ в виде двоичных кодов фиксированной или переменной длины. Отдельные элементы двоичного кода, имеющие значение 0 или 1, называют разрядами или битами. Двоичный код состоящий из 8 разрядов носит название байта. Для записи чисел также используют 32-разрядный формат (машинное слово), 16-разрядный формат (полуслово) и 64-разрядный формат (двойное слово).

Коды чисел.

В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Использование кодов позволяет свести операцию вычитания чисел к арифметическому сложению кодов этих чисел. Применяютсяпрямой, обратный и дополнительныйкоды чисел. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве ЭВМ, а также при умножении и делении. Обратный и дополнительный коды используются для замены операции вычитания операцией сложения, что упрощает устройство арифметического блока ЭВМ. К кодам выдвигаются следующие требования:

1) Разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой.

2) Для записи кода знака в разрядной сетке отводится фиксированный, строго определенный разряд. Например, если за основу представления кода взят один байт, то для представления числа будет отведено 7 разрядов, а для записи кода знака один разряд.

Прямой код. Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1.*

Пример. В случае, когда для записи кода выделен один байт, для числа +1101 прямой код 0,0001101, для числа –1101 прямой код 1,0001101.

Обратный код.Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.

Пример.

Для числа +1101 прямой код 0 , 0001101; обратный код 0,0001101.

Для числа –1101 прямой код 1 , 0001101; обратный код 1,1110010.

Дополнительный код.Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.

Пример.

Для числа +1101:

прямой код обратный код дополнительный код

0,0001101 0,0001101 0,0001101

Для числа –1101:

прямой код обратный код дополнительный код

1,0001101 1,1110010 1,1110011

Особенности сложения чисел в обратном и дополнительном кодах.

При сложении чисел в дополнительном кодевозникающая единица переноса в знаковом разряде отбрасывается.

При сложении чисел в обратном кодевозникающаяединица переноса в знаковом разряде прибавляется к младшему разряду суммы кодов.

Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код. При этом обратный код преобразуется в прямой заменой цифр во всех разрядах, кроме знакового, на противоположные. Дополнительный код преобразуется в прямой так же, как и обратный, с последующим прибавлением единицы к младшему разряду.

Пример.

Сложить X и Y в обратном и дополнительном кодах.

а) X= 111, Y= –11;

1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

X= 111 Y= – 11 X+Y= 100

2) Сложим числа, используя коды:

Прямой код	Сложение в обратном коде	Сложение в дополни-тельном коде
X_пр=0,0000111 Y_пр=1,0000011	X_обр= 0,0000111 Y_обр= 1,1111100 1 0,0000011 +1 (X+Y)_обр= 0,0000100	X_доп= 0,0000111 Y_доп= 1,1111101 1)0,0000100 _{отбрасывается} (X+Y)_доп= 0,0000100

Так как результат сложения является кодом положительного числа (знак 0), то (X+Y)_обр=(X+Y)_доп=(X+Y)_пр.

б) X= –101,Y= –11;

1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

X= – 101 Y= – 110 X+Y= –1011

2) Сложим числа, используя коды:

Прямой код	Сложение в обратном коде	Сложение в дополни-тельном коде
X_пр=1,0000101 Y_пр=1,0000110	X_обр= 1,1111010 Y_обр= 1,1111001 1 1,1110011 +1 (X+Y)_обр= 1,1110100	X_доп= 1,1111011 Y_доп= 1,1111010 1)1,1110101 _{отбрасывается} (X+Y)_доп= 1,1110101