Goodness-of-Fit Tests for A.Col_1

Табличная функция Лапласа (см приложение А).

Проверим гипотезу с помощью критерия согласия Хи-квадрат Пирсона.

Параметр = 127,16, 20,978 (вычислены в лабораторной работе №1).

Вычислим вероятности по формуле:

= = = -0,4099+0,5 = 0,0901,

= = = - 0,2517 + 0,4099 = 0,1582,

= = = - 0,0040 + 0,2517= 0,2477,

= = = 0,2454 + 0,0040 = 0,2494,

= = = 0,4082- 0,2454 = 0,1628,

= = = 0,4772- 0,4082 = 0,069,

= = = 0,5 - 0,4772 = 0,0228.

Таблица 2.2 – Расчет c2 для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону

Границы интервалов	Частоты эмпири-ческие	Вероятности	Частоты теоретические
( , 99]		0,0901	4,505	0,028
(99 , 113]		0,1582	7,91
(113,127 ]		0,2477	12,385	0,155
(127, 141]		0,2494	12,47	0,999
(141, 155]		0,1628	12,73	0,586
(155, 169]		0,069
(169, )		0,0228
итого				1,768=

Рисунок 2.2 – Компьютерный расчет

Вывод. По таблицам квантилей распределения c² определяется критическое значение = = 3,841(Приложение Б), соответствующее заданному уровню значимости a=0,05 и числу степеней свободы , (4 – число интервалов в последнем столбце таблицы , 2 – число параметров нормального закона распределения). Сравниваем полученное значение с табличным значением. Так как расчетное = 1,768 меньше, чем табличное = 3,841, то гипотеза о нормальном законе распределения подтвердилась.

Пример 2.2

При проведении экспериментов фиксировались значения случайной величины X, характеризующей время простоя оборудования в ожидании ремонта (в часах).

Требуется выдвинуть гипотезу о виде закона распределения данной случайной величины X и проверить ее с помощью критерия согласия .

1) Составим расчетную таблицу, в которой запишем вариационный ряд (элементы выборки в порядке возрастания признака) и произведем расчеты, необходимые для вычисления числовых характеристик.

Таблица 2.3 – Расчетная таблица

Номер п/п	Выборка, час.	Вариационный ряд, , час.
	6,72	0,21
	8,2	0,4
	0,4	0,64
	12,9	0,69
	3,15	0,77
	34,5	0,93
	4,71	1,14
	1,14	1,51
	2,87	1,73
	3,07	1,86
	5,86
	11,4	2,1
	3,12	2,32
	0,21	2,32
	1,51	2,4
	2,76	2,76
	0,93	2,87
	2,4	2,87
	3,5	2,99
	5,29	3,07
	1,86	3,12
	4,99	3,15
	8,77	3,5
	1,73	3,6
	0,77	4,59
	5,99	4,61
	7,95	4,71
	2,87	4,99
	0,64	5,29
	5,74	5,74
	0,69	5,86
	2,99	5,99
	4,59	6,72
	2,32	7,95
	2,32	8,2
		8,77
	2,1	11,4
	4,61	12,9
	30,1	30,1
	3,6	34,5
Итого

2) Найдем размах выборки = 34,5- 0,21 = 34,29.

3) Длина интервала = = = 5,424.

4) границы интервалов:

= 0,21, =0,21+5,424 = 5,634, = 5,634 +5,424 = 11,058, = 11,058 +5,424= 16,482, = 16,482+ 5,424= 21,906, = 21,906+ 5,424 = 27,33, = 27,33+ 5,424 = 32,754, = 32,754+ 5,424 = 38,178 .

5) Построим интервальный статистический ряд:

Таблица 2 .4– Интервальный статистический ряд

Границы интервалов , час.	Частоты
[0.21; 5,634)
[5,634; 11,058)
[11,058; 16,482)
[16,482; 21,906)
[21,906; 27,33)
[27,33; 32,754)
[32,754; 38,178)
Итого

6) Вычислим необходимые числовые характеристики.

а) математическое ожидание .

7) Построим гистограмму частот.

Рисунок 2.3 – Гистограмма частот

8) По виду гистограммы частот выдвигаем нулевую гипотезу о виде закона распределения случайной величины (времени простоя оборудования в ожидании ремонта):

Случайная величина (время простоя оборудования в ожидании ремонта) распределена по показательному (экспоненциальному) закону.

9) Выбираем уровень значимости .

10) Вычислим вероятности p_i попадания значений случайной величины Х в рассматриваемые разряды разбиения по формуле: = .

.

Проверим гипотезу с помощью критерия согласия Хи-квадрат Пирсона .

11) Вычислим параметр = = = 0,189358 = 0,189.

12) Так как изучается непрерывная случайная величина, то при вычислении значений необходимо изменить границы первого и последнего частичных интервалов разбиения. В нашем случае проверяется гипотеза о показательном законе распределения.

Вид закона распределения	Первый интервал разбиения	Последний интервал разбиения
Экспоненциальный

13) Вычислим вероятности по формуле .

Пример расчета:

1- 0,344788 = 0,655212 =0,655.

14) Для того, чтобы облегчить расчеты, можно с помощью пакета программ выполнить промежуточные расчеты, которые необходимо оформить в виде таблицы:

Таблица 2.5- Расчетная таблица

Граница интервала
			0,655212	0,655212
5,634	-1,06483	0,344788	0,221096	0,221096
11,058	-2,08996	0,123692	0,079318	0,079318
16,482	-3,1151	0,044374	0,028455	0,028455
21,906	-4,14023	0,015919	0,010208	0,010208
27,33	-5,16537	0,005711	0,003662	0,003662
32,754	-6,19051	0,002049	0,002049	0,002049
	-		-	-
Итого	-	-

Таблица 2.6 – Расчет c2 для случайной величины Х, распределенной по показательному закону

Границы интервалов	Частоты эмпири-ческие	Вероят-ности	Частоты теоретические
[0; 5,634)		0,655	26,21
[5,634; 11,058)		0,221	8,844
[11,058; 16,482)		0,079	3,173
[16,482; 21,906)		0,028	1,138
[21,906; 27,33)		0,01	0,408
[27,33; 32,754)		0,004	0,146
[32,754; )		0,002	0,082
Итого				0,863 = c2

15) Вычислим число степеней свободы n = k – r – 1 = 3-1-1= 1 , где k = 3– число интервалов в таблице 2.6 после объединения, r =1 - число параметров выбранного закона распределения – в нашем случае показательный закон (один параметр ).

16) По таблицам квантилей распределения c² определяется критическое значение = = 3,841 (Приложение Б), соответствующее заданному уровню значимости a=0,05 и числу степеней свободы n = 1.

Вывод. Так как расчетное = 0,863 меньше, чем табличное = 3,841, то гипотеза о показательном законе распределения непрерывной случайной величины, характеризующей время простоя оборудования в ожидании ремонта, подтвердилась.

Порядок выполнения работы

1 Принять значение уровня значимости a.

2 Выдвинуть гипотезу о виде закона распределения изучаемой случайной величины по данным из лабораторной работы №1.

3 Проверить согласование сформулированной гипотезы с имеющимися выборочными данными (ручной расчёт):

– вычислить оценки параметров предполагаемого закона распределения;

– определить значения теоретических частот np_i, i = 1, 2, …, k;

– вычислить выборочное значение критерия c²;

–сравнить выборочное значение критерия с критическим значением и сделать вывод.

4 Проверить согласование выдвинутой гипотезы с имеющимися экспериментальными данными с помощью ППП:

– вычислить выборочное значение критерия c² (приложение А, п. 9);

– построить совместное графическое изображение статистического и предполагаемого теоретического распределений изучаемой случайной величины (см. приложение А, п. 9).

5 Сделать вывод о законе распределения вероятностей изучаемой случайной величины.

Контрольные вопросы

1 Что такое непараметрическая гипотеза?

2 Что такое нулевая, альтернативная гипотезы?

3 Из каких соображений выдвигается гипотеза о виде закона распределения случайной величины?

4 Что такое статистический критерий?

5 Какие ошибки могут быть совершены при статистической проверке гипотез?

6 Что такое уровень значимости статистического критерия?

7 Что называется статистическим критерием значимости?

8 По какой формуле вычисляется критерий c²?

9 Сформулируйте алгоритм применения критерия Пирсона.

10 Как найти критическое значение критерия ?

11 Как вычислить число степеней свободы ?

ПРИЛОЖЕНИЕ А (справочное) Таблица значений функции Лапласа

х	Сотые доли х
0.0	0.0000
0.1	0.0398
0.2	0.0793
0.3	0.1179
0.4	0.1554
0.5	0.1915
0.6	0.2257
0.7
0.8
0.9
1.0	0.3413
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0	0.4772
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0	0.49865
3.1	0.49903
3.2	0.49931
3.3	0.49952
3.4	0.49966
3.6	0.499841
3.8	0.499928
4.0	0.499968
4.5	0.499997
5.0	0.4999997
	0.5

ПРИЛОЖЕНИЕ Б
(справочное)
Критические точки распределения c²

Степени свободы n	Уровень значимости a
0.001	0.01	0.025	0.05	0.1	0.9	0.95	0.975	0.99
	10.827	6.635	5.024	3.841	2.706	0.016	0.0039	0.00098	0.00016
	13.815	9.210	7.378	5.991	4.605	0.211	0.103	0.051	0.020
	16.266	11.345	9.348	7.815	6.251	0.584	0.352	0.216	0.115
	18.466	13.277	11.143	9.488	7.779	1.064	0.711	0.484	0.297
	20.515	15.086	12.832	11.070	9.236	1.610	1.145	0.831	0.554
	22.457	16.812	14.449	12.592	10.645	2.204	1.635	1.237	0.872
	24.321	18.475	16.013	14.067	12.017	2.833	2.167	1.690	1.239
	26.124	20.090	17.535	15.507	13.362	3.490	2.733	2.180	1.647
	27.877	21.666	19.023	16.919	14.684	4.168	3.325	2.700	2.088
	29.588	23.209	20.483	18.307	15.987	4.865	3.940	3.247	2.558
	31.264	24.725	21.920	19.675	17.275	5.578	4.575	3.816	3.053
	32.909	26.217	23.337	21.026	18.549	6.304	5.226	4.404	3.571
	34.527	27.688	24.736	22.362	19.812	7.041	5.892	5.009	4.107
	36.124	29.141	26.119	23.685	21.064	7.790	6.571	5.629	4.660
	37.698	30.578	27.488	24.996	22.307	8.547	7.261	6.262	5.229
	39.252	32.000	28.845	26.296	23.542	9.312	7.962	6.908	5.812
	40.791	33.409	30.191	27.587	24.769	10.085	8.672	7.564	6.408
	42.312	34.805	31.526	28.869	25.989	10.865	9.390	8.231	7.015
	43.819	36.191	32.852	30.144	27.204	11.651	10.117	8.907	7.633
	45.314	37.566	34.170	31.410	28.412	12.443	10.851	9.591	8.260
	46.796	38.932	35.479	32.671	29.615	13.240	11.591	10.283	8.897
	48.268	40.289	36.781	33.924	30.813	14.041	12.338	10.982	9.542
	49.728	41.638	38.076	35.172	32.007	14.848	13.091	11.689	10.196
	51.179	42.980	39.364	36.415	33.196	15.659	13.848	12.401	10.856
	52.619	44.314	40.646	37.652	34.382	16.473	14.611	13.120	11.524
	54.051	45.642	41.923	38.885	35.563	17.292	15.379	13.844	12.198
	55.475	46.963	43.195	40.113	36.741	18.114	16.151	14.573	12.878
	56.892	48.278	44.461	41.337	37.916	18.939	16.928	15.308	13.565
	58.301	49.588	45.722	42.557	39.087	19.768	17.708	16.047	14.256
	59.702	50.892	46.979	43.773	40.256	20.599	18.493	16.791	14.953
	61.098	52.191	48.232	44.985	41.422	21.434	19.281	17.539	15.655
	62.487	53.486	49.480	46.194	42.585	22.271	20.072	18.291	16.362
	63.869	54.775	50.725	47.400	43.745	23.110	20.867	19.047	17.073
	65.247	56.061	51.966	48.602	44.903	23.952	21.664	19.806	17.789
	66.619	57.342	53.203	49.802	46.059	24.797	22.465	20.569	18.509
	67.985	58.619	54.437	50.998	47.212	25.643	23.269	21.336	19.233
	69.348	59.893	55.668	52.192	48.363	26.492	24.075	22.106	19.960
	70.704	61.162	56.895	53.384	49.513	27.343	24.884	22.878	20.691
	72.055	62.428	58.120	54.572	50.660	28.196	25.695	23.654	21.426
	73.403	63.691	59.342	55.758	51.805	29.051	26.509	24.433	22.164

Goodness-of-Fit Tests for A.Col_1

Chi-Squared Test

	Lower	Upper	Observed	Expected
	Limit	Limit	Frequency	Frequency	Chi-Squared
at or below		29,7143		3,87	0,33
	29,7143	30,2857		11,75	0,26
	30,2857	30,8571		17,97	0,00
	30,8571	31,4286		12,22	0,05
above	31,4286			4,20	0,01

Chi-Squared = 0,651928 with 2 d.f. P-Value = 0,721831

The StatAdvisor

This pane shows the results of tests run to determine whether A.Col_1 can be adequately modeled by a normal distribution. The chi-squared test divides the range of A.Col_1 into nonoverlapping intervals and compares the number of observations in each class to the number expected based on the fitted distribution.

Since the smallest P-value amongst the tests performed is greater than or equal to 0,05, we can not reject the idea that A.Col_1 comes from a normal distribution with 95% confidence.