Операции (высказывания) алгебры логики

Основные понятия алгебры логики. Логические основы ЭВМ

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления, числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).(стр 83-88 лучше все прочитать и попытаться понять)

Восьмери́чная систе́ма счисле́ния — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10₁₀ до 15₁₀, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с 8-битными символами, как, например, PDP-11 или БЭСМ-6) использовали восьмеричную систему.

В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости — с ведущими нулями).

Шестнадцатеричный цвет — запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде.

В математике основание системы счисления принято указывать в десятичной системе в нижнем индексе. Например, десятичное число 1443 можно записать как 1443₁₀ или как 5A3₁₆.

В разных языках программирования для записи шестнадцатеричных чисел используют различный синтаксис:

В Ада и VHDL такие числа указывают так: «16#5A3#».

В Си и языках схожего синтаксиса, например, в Java, используют префикс «0x». Например, «0x5A3».

В некоторых ассемблерах используют букву «h», которую ставят после числа. Например, «5A3h». При этом, если число начинается не с десятичной цифры, то для отличия от имён идентификаторов (например, констант) впереди ставится «0» (ноль): «0FFh» (255₁₀)

Другие ассемблеры (AT&T, Motorola), а также Паскаль и некоторые версии Бейсика используют префикс «$». Например, «$5A3».

Некоторые иные платформы, например ZX Spectrum в своих ассемблерах (MASM, TASM, ALASM, GENS и т. д.) использовали запись #5A3, обычно выровненную до одного или двух байт: #05A3.

Другие версии Бейсика используют для указания шестнадцатеричных цифр сочетание «&h». Например, «&h5A3».

В Unix-подобных операционных системах (и многих языках программирования, имеющих корни в Unix/linux) непечатные символы при выводе/вводе кодируются как 0xCC, где CC — шестнадцатеричный код символа.

В электронных калькуляторах

Б3-34 и ему подобные используют "-", "L", "C", "Г", "E" " " (space) на их экране.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 5A3 в десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

5A3₁₆ = 3·16⁰+10·16¹+5·16²
= 3·1+10·16+5·256 = 3+160+1280 = 1443₁₀

Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой. Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную нужно заменить каждую его цифру на соответствующую тетраду из нижеприведенной таблицы перевода.

Таблица перевода чисел

	0hex	=	0dec	=	0oct
	1hex	=	1dec	=	1oct
	2hex	=	2dec	=	2oct
	3hex	=	3dec	=	3oct
	4hex	=	4dec	=	4oct
	5hex	=	5dec	=	5oct
	6hex	=	6dec	=	6oct
	7hex	=	7dec	=	7oct
	8hex	=	8dec	=	10oct
	9hex	=	9dec	=	11oct
	Ahex	=	10dec	=	12oct
	Bhex	=	11dec	=	13oct
	Chex	=	12dec	=	14oct
	Dhex	=	13dec	=	15oct
	Ehex	=	14dec	=	16oct
	Fhex	=	15dec	=	17oct

Операции (высказывания) алгебры логики

Типы высказываний (основные операции алгебры логики):

1. Конъюнкция – логическое умножение (результат соединения высказываний с помощью связки “и”) дает сложное высказывание, истинное только тогда, когда истинны оба составляющие его высказывания обозначаются: x y или x & y или х×у, читается “х и у”.

Обозначается Таблица истинности

на схемах & логического умножения

X	Y	Х Ù Y

2. Дизъюнкция – логическое сложение (результат соединения высказываний с помощью связки ”или”) дает сложное высказывание, истинное, когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний. Обозначается x y или x + y – дизъюнкция, читается “х или у”

Обозначается Таблица истинности

на схемах 1 логического сложения

X	Y	Х Ú Y

3. Строгая дизъюнкция (результат соединения высказываний с помощью связки “исключающее или”) дает сложное высказывание, истинное, когда истинно только одно из составляющих его высказываний (x y или x y - строгая дизъюнкция).

Таблица истинности

X	Y	Х Y

Иначе эта операция называется “сложение по модулю 2”, т.к. при сложении четного количества единиц результат будет 0, а при сложении нечетного количества единиц – 1.

4. Инверсия - логическое отрицание (результат применения к высказыванию связки “не”) дает сложное высказывание, истинное, когда исходное высказывание ложно ( x или - инверсия).

Обозначается инверсия Таблица истинности инверсии

Х

на схемах

Нет

5. Импликация (следование) (результат соединения высказываний с помощью связки “если ... , то”) дает сложное высказывание, ложное, только когда первое из составляющих его высказываний истинно, а второе - ложно (x y - импликация).

Таблица истинности

импликации

Х	Y	X Y

6. Эквиваленция (результат соединения высказываний с помощью связки “тогда и только тогда”) дает сложное высказывание, истинное, когда истинность составляющих его высказываний совпадает (X « Y или X º Y - эквиваленция).

Эта операция называется также “эквивалентность” или равнозначность. Ее таблица истинности

Х	Y	X«Y

Алгебра логики вводит аксиомы и основные законы, с помощью которых можно упростить схемную реализацию компьютерных устройств или алгоритмов обработки информации, тем самым повысить надежность и сократить затраты на обработку информации. Используются также логические операторы - кванторы общности (“для всех”) и существования (“существует”). Для сложных высказываний строятся таблицы истинности, например: