Перевод чисел из некоторой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления

Системы счисления

Основные определения

Система счисления - совокупность приемов записи чисел. Алфавит системы счисления - упорядоченное множество символов для записи чисел. Цифра - элемент алфавита системы счисления. Основание системы счисления - количество цифр в алфавите. Система счисления определяет способ записи чисел, при котором используются цифры алфавита.

Позиционные системы счисления - системы, в которых значение каждой цифры зависит от ее места в изображении числа. Позиционные системы счисления также называются аддитивно-мультипликативными. Непозиционные системы счисления - системы, в которых значение каждой цифры не зависит от ее места в изображении числа.Непозиционные системы счисления также называются аддитивными.

Примеры систем счисления:

1. Десятичная система счисления:
   позиционная (аддитивно-мультипликативная), алфавит {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
2. Римская система счисления:
   непозиционная (аддитивная), алфавит {I, V, X, L, C, D, M}, где I =1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.
   Правила построения чисел:
• Если цифра справа меньше либо равна цифре слева, то эти цифры складываются (например, VII=7, XVI=16).
• Если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (например, IV=4, XL=40).

Вид числа в позиционной системе счисления

Пусть имеется позиционная система счисления с основанием P и алфавитом A_P={0,1,2, ..., P} и вещественное число X, записанное цифрами этого алфавита в виде a_na_n-1a_n-2...a₁a₀,a_-1a_-2...a_-m (цифры в записи числа - разряды; разряды нумеруются с 0; n - количество разрядов в десятичной части числа, m - количество разрядов в дробной части числа). Тогда X представимо в виде полинома X=a_nPⁿ+a_n-1P^n-1+...+a₁P¹+a₀P⁰+a_-1P^-1+a_-2P^-2+...+a_-mP^-m.

Основание системы счисления показывает соотношение весов цифр соседних разрядов.

Пример:

1237,089=1*10³+2*10²+3*10¹+7*10⁰+0*10^-1+8*10^-2+9*10^-3

Двоичная система счисления

В компьютерах используется в основном двоичная система счисления. Одна из основных причин - для ее реализации нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями ("есть ток"-"нет тока" и т.д., а не, например, с десятью, - как в десятичной системе счисления). Алфавит A₂={0,1}.

Таблица сложения

+

Таблица умножения

*

Примеры:

10111₂+1101₂=100100₂; 10111₂*1101₂=100101011₂; 10111₂-1101₂=1010₂. (Проверьте вручную, используя таблицы сложения и умножения!)

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Двоичная система счисления приводит к громоздкой записи чисел, поэтому для кодирования используют также 8-ю и 16-ю системы счисления. Алфавит A₈={0,1,2,3,4,5,6,7}. Алфавит A₁₆={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}(используются латинские буквы, т.к. для записи алфавита не хватает арабских цифр).

Изображение чисел одной системы счисления с помощью цифр другой системы счисления

Для изображение чисел системы счисления с основанием P с помощью цифр системы счисления с основанием Q (Q<P) используется смешанная система счисления (Q-P)-ичная со старшим основанием P и младшим основанием Q. Для представления числа в смешанной системе счисления каждая его цифра из A_P заменяется на соответствующую цифру из A_Q, причем используется всегда такое количество Q-ичных разрядов, которое достаточно для представления любой цифры из A_P.

Примеры:

Для изображения любой 10-чной цифры требуется 4 двоичных разряда. Тогда 723₁₀=0111 0010 0011_2-10. Для изображения любой 8-чной цифры требуется 3 двоичных разряда. Тогда 723₈=111 010 011_2-8.

Перевод чисел из некоторой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления

Пусть имеется число X, записанное P-ичной системе счисления в виде a_na_n-1a_n-2...a₁a₀,a_-1a_-2...a_-m и требуется найти представление X в 10-й системе счисления.

Для перевода необходимо вычислить полином X=a_nPⁿ+a_n-1P^n-1+...+a₁P¹+a₀P⁰+a_-1P^-1+a_-2P^-2+...+a_-mP^-m, где цифры a_i заменяются их десятичными изображениями и операции выполняются в 10-й системе счисления.

Примеры:

Пусть требуется перевести 547₈ в 10-чную систему счисления. Запишем число в виде в виде полинома и выполним действия в 10-чной системе счисления. Получим 5*8²+4*8¹+7*8⁰=359. Таким образом, 547₈ есть 359₁₀.

Пусть требуется перевести DF,3₁₆ в 10-чную систему счисления. Запишем число в виде в виде полинома и выполним действия в 10-чной системе счисления. Получим 13*16²+15*16¹+3*16^-1=223,1875. Таким образом, DF,3₁₆ есть 223,1875₁₀.