Алгоритмы перевода чисел из одной позиционной системы исчисления в другую

1. Для перевода чисел из системы исчисления с основой p в систему исчисления с основой q, используя арифметику новой системы исчисления с основой q, нужно записать коэффициенты разложения, основы степеней и показатели степеней в системе с основой q и выполнить все действия в этой самой системе. Очевидно, что это правило удобно при переводе в десятичную систему исчисления. Например:

из шестнадцатиричной в десятичную:

92C8₁₆=9*10₁₆³+2*10₁₆²+C*10₁₆¹+8*10₁₆⁰= 9*16₁₀³+2*16₁₀²+12*16₁₀¹+8*16₁₀⁰=37576

из восьмиричной в десятичную:

735₈=7*10₈²+3*10₈¹+5*10₈⁰= 7*8₁₀²+3*8₁₀¹+5*8₁₀⁰=477₁₀

из двоичной в десятичную:

110100101₂=1*10₂⁸+1*10₂⁷+ 0*10₂⁶+1*10₂⁵+0*10₂⁴+0*10₂³+ 1*10₂²+0*10₂¹+1*10₂⁰= 1*2₁₀⁸+1*2₁₀⁷+0*2₁₀⁶+1*2₁₀⁵+ 0*2₁₀⁴+0*2₁₀³+1*2₁₀²+0*2₁₀¹+ 1*2₁₀⁰=421₁₀

2. Для перевода чисел из системы исчисления с основой p в систему исчисления с основой q с использованием арифметики старой системы исчисления с основой p нужно:

• для перевода целой части:
• последовательно число, записанное в системе основой делить на основу новой системы исчисления, выделяя остатки. Последние записанные в обратном порядке, будут образовывать число в новой системе исчисления;
• для перевода дробной части:
• последовательно дробную часть умножать на основу новой системы исчисления, выделяя целые части, которые и будут образовывать запись дробной части числа в новой системе исчисления.

Этим же правилом удобно пользоваться в случае перевода из десятичной системы исчисления, поскольку ее арифметика для нас привычна.

Пример: 999,35₁₀=1111100111,01011₂

для целой части:

для дробной части:

Контрольные вопросы

1. Что такое система исчисления?
2. Какие типы систем исчисления вы знаете?
3. Что такое основа позиционной системы исчисления?
4. В чем состоит проблема выбора системы исчисления для представления чисел в памяти компьютера?
5. Какая система исчисления используется для представления чисел в памяти компьютера? Почему?
6. Каким образом осуществляется перевод чисел, если основа новой системы исчисления равняется некоторой степени старой системы исчисления?
7. По какому правилу переводятся числа из десятичной системы исчисления

Лекция 3 "Архитектура вычислительной системы. Классификация компьютеров"

Совокупность устройств, предназначенных для автоматической или автоматизированной обработки информации называют вычислительной техникой. Конкретный набор, связанных между собою устройств, называют вычислительной системой. Центральным устройством большинства вычислительных систем является электронная вычислительная машина (ЭВМ) или компьютер.

Архитектура компьютера

Компьютер - это электронное устройство, которое выполняет операции ввода информации, хранения и обработки ее по определенной программе, вывод полученных результатов в форме, пригодной для восприятия человеком. За любую из названных операций отвечают специальные блоки компьютера:

• устройство ввода,
• центральный процессор,
• запоминающее устройство,
• устройство вывода.

Все эти блоки состоят из отдельных меньших устройств. В частности, в центральный процессор могут входить арифметико-логическое устройство (АЛУ), внутреннее запоминающее устройство в виде регистров процессора и внутренней кэш-памяти, управляющее устройство (УУ). Устройство ввода, как правило, тоже не является одной конструктивной единицей. Поскольку виды входной информации разнообразны, источников ввода данных может быть несколько. Это касается и устройств вывода.

Схематично общая структура компьютера изображена на рис.1.

Рис. 1. Общая структура компьютера

Запоминающее устройство - это блок ЭВМ, предназначенный для временного (оперативная память) и продолжительного (постоянная память) хранения программ, входных и результирующих данных, а также промежуточных результатов. Информация в оперативной памяти сохраняется временно лишь при включенном питании, но оперативная память имеет большее быстродействие. В постоянной памяти данные могут сохраняться даже при отключенном компьютере, но скорость обмена данными между постоянной памятью и центральным процессором, в подавляющем большинстве случаев, значительно меньше.

Арифметико-логическое устройство - это блок ЭВМ, в котором происходит преобразование данных по командам программы: арифметические действия над числами, преобразование кодов и др.

Управляющее устройство координирует работу всех блоков компьютера. В определенной последовательности он выбирает из оперативной памяти команду за командой. Каждая команда декодируется, по потребности элементы данных из указанных в команде ячеек оперативной памяти передаются в АЛУ; АЛУ настраивается на выполнение действия, указанной текущей командой (в этом действии могут принимать участие также устройства ввода-вывода); дается команда на выполнение этого действия. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока не возникнет одна из следующих ситуаций: исчерпаны входные данные, от одного из устройств поступила команда на прекращение работы, выключено питание компьютера.

Описанный принцип построения ЭВМ носит название архитектуры фон Неймана - американского ученого венгерского происхождения Джона фон Неймана, который ее предложил.

Современную архитектуру компьютера определяют следующие принципы:

1. Принцип программного управления. Обеспечивает автоматизацию процесса вычислений на ЭВМ. Согласно этому принципу, для решения каждой задачи составляется программа, которая определяет последовательность действий компьютера. Эффективность программного управления будет выше при решении задачи этой же программой много раз (хотя и с разными начальными данными).
2. Принцип программы, сохраняемой в памяти. Согласно этому принципу, команды программы подаются, как и данные, в виде чисел и обрабатываются так же, как и числа, а сама программа перед выполнением загружается в оперативную память, что ускоряет процесс ее выполнения.
3. Принцип произвольного доступа к памяти. В соответствии с этим принципом, элементы программ и данных могут записываться в произвольное место оперативной памяти, что позволяет обратиться по любому заданному адресу (к конкретному участку памяти) без просмотра предыдущих.

На основании этих принципов можно утверждать, что современный компьютер - техническое устройство, которое после ввода в память начальных данных в виде цифровых кодов и программы их обработки, выраженной тоже цифровыми кодами, способно автоматически осуществить вычислительный процесс, заданный программой, и выдать готовые результаты решения задачи в форме, пригодной для восприятия человеком.

Реальная структура компьютера значительно сложнее, чем рассмотренная выше (ее можно назвать логической структурой). В современных компьютерах, в частности персональных, все чаще происходит отход от традиционной архитектуры фон Неймана, обусловленный стремлением разработчиков и пользователей к повышению качества и производительности компьютеров. Качество ЭВМ характеризуется многими показателями. Это и набор команд, которые компьютер способный понимать, и скорость работы (быстродействие) центрального процессора, количество периферийных устройств ввода-вывода, присоединяемых к компьютеру одновременно и т.д. Главным показателем является быстродействие - количество операций, какую процессор способен выполнить за единицу времени. На практике пользователя больше интересует производительность компьютера - показатель его эффективного быстродействия, то есть способности не просто быстро функционировать, а быстро решать конкретные поставленные задачи.

Как результат, все эти и прочие факторы способствуют принципиальному и конструктивному усовершенствованию элементной базы компьютеров, то есть созданию новых, более быстрых, надежных и удобных в работе процессоров, запоминающих устройств, устройств ввода-вывода и т.д. Тем не менее, следует учитывать, что скорость работы элементов невозможно увеличивать беспредельно (существуют современные технологические ограничения и ограничения, обусловленные физическими законами). Поэтому разработчики компьютерной техники ищут решения этой проблемы усовершенствованием архитектуры ЭВМ.

Так, появились компьютеры с многопроцессорной архитектурой, в которой несколько процессоров работают одновременно, а это означает, что производительность такого компьютера равняется сумме производительностей процессоров. В мощных компьютерах, предназначенных для сложных инженерных расчетов и систем автоматизированного проектирования (САПР), часто устанавливают два или четыре процессора. В сверхмощных ЭВМ (такие машины могут, например, моделировать ядерные реакции в режиме реального времени, прогнозировать погоду в глобальном масштабе) количество процессоров достигает нескольких десятков.

Скорость работы компьютера существенным образом зависит от быстродействия оперативной памяти. Поэтому, постоянно ведутся поиски элементов для оперативной памяти, затрачивающих меньше времени на операции чтения-записи. Но вместе с быстродействием возрастает стоимость элементов памяти, поэтому наращивание быстродействующей оперативной памяти нужной емкости не всегда приемлемо экономически.

Проблема решается построением многоуровневой памяти. Оперативная память состоит из двух-трех частей: основная часть большей емкости строится на относительно медленных (более дешевых) элементах, а дополнительная (так называемая кэш-память) состоит из быстродействующих элементов. Данные, к которым чаще всего обращается процессор находятся в кэш-памяти, а больший объем оперативной информации хранится в основной памяти.

Раньше работой устройств ввода-вывода руководил центральный процессор, что занимало немало времени. Архитектура современных компьютеров предусматривает наличие каналов прямого доступа к оперативной памяти для обмена данными с устройствами ввода-вывода без участия центрального процессора, а также передачу большинства функций управления периферийными устройствами специализированным процессорам, разгружающим центральный процессор и повышающим его производительность.