Дискретизация при импульсно-кодовой модуляции
И ЧАСТОТА НАЙКВИСТА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучение основ функционирования современных контрольно-измерительных приборов
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Как вы уже знаете из предыдущих экспериментов, первый шаг в процессе ИКМ-кодирования (и в большинстве других схем оцифровки) - дискретизация аналогового сигнала сообщения. Это необходимо, поскольку, если сообщение представляет собой сигнал, наподобие речевого, он изменяется непрерывно, и ИКМ-кодер (PCM Encoder) не может точно преобразовать его. Вместо этого сообщение подвергается дискретизации (что немного напоминает моментальные снимки) и значение напряжения (или тока), полученное в момент дискретизации, сохраняется постоянным достаточно долго, чтобы ИКМ-кодер успел преобразовать его в двоичный код. После этого берется другой отсчет, и процесс повторяется заново.
Важно отметить, что сигнал, который действительно преобразуется в цифровую форму, является искаженной версией сообщения, а не самим сообщением. Это показано на рис. 1, где сигналом сообщения является синусоида (Message), а пунктирные линии обозначают моменты взятия отсчетов. Дискретизированный во времени сигнал показан ниже (Sampled message). Заметим, что амплитуда ступенек напряжения такая же, как и амплитуда исходного сообщения в точках взятия отсчетов.
Рисунок 1
Если вам кажется, что вы уже видели раньше второй сигнал, вы не ошибаетесь. Это нефильтрованный сигнал, наблюдаемый на выходе ИКМ-декодера (PCM Decoder). Другие словами, ИКМ-декодер верно преобразует цифровые данные в дискретизированное, а не в оригинальное сообщение. Как вы видели в предыдущем эксперименте, неискаженную версию сообщения получают при помощи фильтрации.
Чтобы понять, как работает фильтрация, рассмотрим математическую модель, описывающую дискретизированный сигнал:
Дискретизированное сообщение = сигнал дискретизации х сообщение
Как вы видите, дискретизация на самом деле является умножением сигнала сообщения на сигнал дискретизации (цифровой сигнал, используемый для снятия отсчетов). Цифровой сигнал дискретизации состоит из постоянной составляющей, первой (или основной) гармоники, и прочих гармоник с частотами, кратными частоте основной гармоники. Таким образом, уравнение, приведенное выше, можно переписать как:
Дискретизированное сообщение = (постоянная составляющая + основная гармоника + гармоники) х сообщение.
Если сообщение представляет собой простой гармонический сигнал (как на рис. 1) , решение уравнения (требующее обязательного использования тригонометрии, что здесь не показано) говорит, что дискретизированный сигнал состоит из:
Синусоиды той же частоты, что и сообщение.
Набора синусоид (побочных составляющих), представляющих собой сумму и разность между частотами основной гармоники и сигнала сообщения.
Множества других пар синусоид (побочных составляющих), представляющих собой сумму и разность частот гармоник дискретизирующего сигнала и сообщения.
Рассмотрим для примера ту схему, что вы собрали в предыдущем эксперименте. Напомним, сообщение представляло собой синусоиду частотой 500 Гц, а 8-битный ИКМ-кодер синхронизировался частотой 100 кГц. Поскольку ИКМ-кодеру требуется восемь тактов, чтобы преобразовать каждое двоичное число в последовательный код, частота дискретизирующего сигнала должна составлять одну восьмую тактового, то есть, в нашем случае, 12.5 кГц.
В таком случае дискретизированный сигнал включает:
· Синусоиду частотой 500 Гц.
· Пары синусоид с частотой 12 кГц (то есть 12.5 кГц - 500 Гц) и 13 кГц (то есть 12.5 кГц + 500 Гц)
· Пары синусоид с частотами 24.5 кГц и 25.5 кГц ( то есть 2 х 12.5 кГц ± 500 Гц), еще пары синусоид с частотами 37 кГц и 38 кГц ( то есть 3 х 12.5 кГц ± 500 Гц), и так далее, теоретически – до бесконечности.
Как вы видите, это очень много синусоид! Важно знать, что среди них всегда есть одна с той же частотой, что и сообщение. Поэтому, чтобы восстановить сообщение, нужно лишь пропустить дискретизированный сигнал через фильтр нижних частот (ФНЧ) называемый восстанавливающим фильтром (reconstruction) или предфильтром (anti-aliasing filter). При подходящей частоте среза, большой крутизне спада и если побочные составляющие имеют достаточно высокие частоты, фильтр пропустит на выход копию исходного сигнала, подавив побочные частоты. Результатом будет неискаженная копия сообщения.
Проблемы возникают, когда система неудачно разработана или используется в неподходящих условиях. При этом может возникнуть ситуация, когда одна или несколько побочных составляющих проходят через восстанавливающий фильтр вместе с сообщением. Неудивительно, это вызывает искажения восстановленного сообщения – проблему, известную как наложение спектров (aliasing).
В этом эксперименте вы будете использовать модуль Emona FOTEx для преобразования гармонического сигнала в поток ИКМ-данных и обратного преобразования в аналоговый сигнал при помощи ИКМ-декодера и ФНЧ с частотой среза 3 кГц. В данном эксперименте мы просто "позаимствуем" сигнал битовой синхронизации с модуля PCM Enсoder.
Далее с помощью математических выкладок вы определите частоты побочных низкочастотных составляющих, присутствующих в спектре сигнала на выходе ИКМ-декодера, и воспользуетесь анализатором спектра NI ELVIS II для подтверждения ваших расчетов. Также вы будете использовать анализатор спектра для изучения влияния частоты сигнала и частоты дискретизации на частоты побочных составляющих (aliases).
Наконец, вы изучите проблему наложения спектров (aliasing), общую для всех цифровых систем, и как избежать этой проблемы, используя частоту Найквиста.
Оборудование
· Персональный компьютер с соответствующим установленным программным обеспечением
· NI ELVIS II с USB-Кабелем и блоком питания
· Модуль расширения Emona FOTEx для выполнения экспериментов
· Два проводника с разъѐмами BNC - "банан" (2 мм)
· Набор соединительных проводников с разъѐмами типа "банан" (2 мм)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
Часть A – Настройка ИКМ кодера и декодера
Прежде, чем исследовать проблемы дискретизации, необходимо настроить одноканальную систему ИКМ кодирования-декодирования.
1. Убедитесь, что питание NI ELVIS II выключено, выключатель расположен на задней стенке устройства.
2. Осторожно вставьте модуль расширения Emona FOTEx в NI ELVIS II.
3. Вставьте крепежные винты для фиксации модуля Emona FOTEx в NI ELVIS II.
Примечание: Для предотвращения повреждения FOTEx эти действия должны выполняться при выключенном питании.
4. Подключите NI ELVIS II к ПК при помощи кабеля USB.
5. Включите питание NI ELVIS II, выключатель расположен на задней стенке устройства, затем включите питание макетной платы, этот выключатель расположен в правом верхнем углу рядом с индикатором питания.
6. Включите компьютер и дайте ему загрузиться.
7. Запустите программу NI ELVISmx.
8. Запустите виртуальный прибор NI ELVIS II Function Generator (Генератор функций).
9. Настройте функциональный генератор с помощью виртуальных элементов управления для получения сигнала со следующими параметрами:
· Waveshape (Форма сигнала): Sine (Синусоидальная) Frequency (Частота): 500 Гц
· Amplitude (Пиковая амплитуда): 4 В
· DC Offset (Смещение по постоянному току): 0 В
10. Установите переключатель режимов Mode ИКМ-кодера в положение PCM.
11. Соберите схему, показанную на рисунке 2.
Рисунок 2
Выполненные соединения можно представить блок-схемой, изображенной на рисунке 3. С генератора функций на вход ИКМ-кодера (PCM Encoder) поступает синусоидальный сигнал частотой 2 кГц. ИКМ-кодер преобразует его в цифровой сигнал, который, в свою очередь, ИКМ-декодер (PCM Decoder) преобразует в дискретизированную версию оригинального сигнала. ФНЧ с частотой среза 3 кГц используется для восстановления исходного сообщения на выходе
Рисунок 3
PCM Encoding - ИКМ кодирование: Function Generator – генератор функций, Master Signals – генератор опорных сигналов, Message To CH 0 – сообщение к каналу 0,
IN – вход сигнала сообщения, CLK – вход синхронизации, PCM Decoding - ИКМ декодирование: PCM data - ИКМ сообщение,
CLK – сигнал битовой синхронизации с ИКМ кодера,
Reconstruction – восстановление: 3kHz LPF –фильтр низких частот с частотой среза 3 кГц, Recovered message To CH 1 – восстановленное сообщение к каналу 1
12. Запустите ВП осциллограф NI ELVIS II
13. Настройте осциллограф в соответствии с инструкцией, приведенной в Эксперименте 1 (стр. 15).
14. Установите настройку Timebase (Масштаб по оси времени) таким образом, чтобы видеть на экране примерно два периода сообщения.
Примечание: Вы должны увидеть копию оригинального сигнала, скорее всего, сдвинутую по фазе.
Часть В – Предварительная оценка спектральных составляющих сигнала на выходе ИКМ-декодера.
Далее вам предстоит предварительно определить спектральный состав дискретизированного сигнала на выходе ИКМ-декодера.
16. Измените схему подключения в соответствии с рис. 4.
Рисунок 4
Выполненные соединения можно представить блок-схемой, изображенной на рис. 5.
Рисунок 5
PCM Encoding - ИКМ кодирование: Message To CH 0 – сообщение к каналу 0, IN – вход сигнала сообщения, CLK – вход синхронизации?
PCM Decoding - ИКМ декодирование: PCM data - ИКМ сообщение, CLK – сигнал битовой синхронизации с ИКМ кодера,
Reconstruction – восстановление: Recovered message – восстановленное сообщение Sampled message To CH 1 – дискретизированное сообщение к каналу 1
Совет: метод расчета приведен в предварительном обсуждении.
17. Остановите осциллограф, нажав на кнопку Stop (Стоп).
18. Запустите ВП Анализатора динамических сигналов NI ELVIS II.
19. Установите следующие настройки анализатора сигналов:
| Input Settings (Настройки входов) | |
| Source Channel (Канал источника сигнала) - в положение Scope CH1 (Канал 1 Осциллографа) | Voltage Range – ±10V (Диапазон напряжений - ±10 В) |
| FFT Settings (Настройки быстрого преобразования Фурье – БПФ) Frequency Span (Диапазон частот) – 45,000 Resolution (Разрешение) – 400 Window (Окно) – 7 Term B-Harris (Блэкмана-Харриса 7-го порядка) | Averaging (Усреднение) Mode (Режим) – RMS (среднеквадратическое значение) Weighting (Взвешивание) – Exponential (Экспоненциальное) # of Averages (выборок для усреднения) – 3 |
| Triggering (Запуск) Type (Тип) – Edge (По фронту) | |
| Frequency Display (Режим отображения) Units (Масштаб) – dB (Логарифмический – дБ) Mode (Режим) – RMS (Среднеквадратический) Scale – Auto (Автомасштабирование) | Cursor Settings (Настройки курсоров) Cursors On (курсоры включены) – снимите флажок (пока) |
20. Активируйте курсоры (поставив флажок в окне Cursors On (Курсоры включены) и воспользуйтесь ими, чтобы убедиться, что на выходе ИКМ-декодера присутствует копия исходного сигнала частотой 2 кГц.
21. Воспользуйтесь курсорами, чтобы подтвердить ваш ответ на вопрос 1.
Часть С – Влияние частоты сигнала и частоты дискретизации на значения частот побочных составляющих
Отвечая на вопрос 1, вы рассчитали частоты побочных составляющих спектра на основе заданных частоты сигнала и частоты дискретизации. Очевидно, что если бы эти две частоты изменились, изменились бы и частоты побочных составляющих. Далее вы в этом убедитесь наглядно.
22. Увеличьте частоту сигнала сообщения (то есть сигнала на выходе генератора функций) до 4 кГц.
23. При помощи курсора убедитесь, что сигнал на выходе ИКМ-декодера содержит копию исходного сообщения.
24. Воспользуйтесь курсорами, чтобы подтвердить ваш ответ на вопрос 2.
25. Установите частоту сигнала на выходе генератора функций равной 10 кГц.
26. Измените схему согласно рис. 6.
Рисунок 6
Выполненные соединения можно представить блок-схемой, изображенной на рисунке 7. За сообщение вновь принимается сигнал с выхода 2 kHz SINE генератора опорных сигналов. Выход SYNC генератора функций обеспечивает цифровой сигнал частотой 100 кГц, поступающий на тактирующие входы ИКМ-кодера и ИКМ-декодера.
Рисунок 7
PCM Encoding – ИКМ кодирование: Function Generator – генератор функций, Master Signals – генератор опорных сигналов, Message To Ch 0 – сообщение к каналу 0,
IN – вход сигнала сообщения, CLK – вход синхронизации PCM Decoding – ИКМ декодирование: PCM data – ИКМ сообщение,
CLK – сигнал битовой синхронизации с ИКМ кодера,
Reconstruction – восстановление: Recovered message – восстановленное сообщение Sampled message To Ch 1 – дискретизированное сообщение к каналу 1.
27. С помощью курсора убедитесь, что частоты побочных составляющих вернулись на следующие отметки: 10.5 кГц и 14.5 кГц, 23 кГц и 27 кГц, 35.5 кГц и 39.5 кГц.
Примечание: Тактовая частота 72 кГц даст частоту дискретизации 9000 Отсчетов/с.
28. Установите тактовую частоту ИКМ-декодера (то есть, выходную частоту генератора функций) равной 72 кГц.
29. Воспользуйтесь курсорами, чтобы подтвердить ваш ответ на вопрос 4.
Часть D - Наложение спектров и частота Найквиста
Как вы уже видели, для заданной частоты сигнала при уменьшении частоты дискретизации, уменьшаются и частоты побочных составляющих. Если частота дискретизации станет достаточно низкой по сравнению с частотой сигнала, побочные составляющие с самыми низкими частотами будут накладываться на копию сообщения, что сделает невозможным отделения их с помощью фильтра. Это значит, что на выходе фильтра, помимо копии сигнала, будет присутствовать гармоники, которых не было в оригинальном сообщении, то есть копия сигнала будет искажена. Это явление называется наложением спектров, и далее вы будете изучать его как во временной, так и в частотной областях.
30. Устанавливайте поочередно тактовые частоты ИКМ-кодера и ИКМ-декодера на следующие позиции: 64 кГц (8000 Отсчетов/c), 56 кГц (7000 Отсчетов/c), 48 кГц (6000 Отсчетов/c), 40 кГц (5000 Отсчетов/c) и 32 кГц (4000 Отсчетов/c).
Примечание: При каждой смене тактовой частоты дайте анализатору сигналов достаточно времени, чтобы войти в режим, и обратите внимание на то, что происходит с побочными составляющими, особенно как изменяются самые низкочастотные побочные составляющие.
31. Убедитесь, что тактовые частоты ИКМ-кодера и ИКМ-декодера установлены на 32 кГц (или 4 000 Отсчетов/с).
32. Измените подключение канала 1 осциллографа с соответствии со схемой на рис. 8, чтобы наблюдать восстановленный сигнал на выходе фильтра.
33. Остановите ВП Анализатора спектра.
34. Запустите ВП Осциллограф.
Примечание: Сделав это, вы будете наблюдать за эффектом наложения в восстановленном сообщении во временной области.
Чтобы избежать наложения спектров, минимальная частота дискретизации теоретически должна быть как минимум в два раза больше частоты сигнала (или в два раза больше максимальной частоты сигнала, если он содержит более одной гармоники). Эта частота известна как частота Найквиста (названная по имени ученого, впервые доказавшего соответствующую теорему). При текущей частоте сообщения в 2 кГц, частота дискретизации должна составлять как минимум 4000 Отсчетов/с (что соответствует тактовой частоте ИКМ-кодера и ИКМ-декодера в 32 кГц). Наверное, вы обратили внимание, что установленная вами тактовая частота 32 кГц удовлетворяет этому требованию. Но наложение все равно присутствует!
Это может объяснить тем, что частота Найквиста основана на двух предположениях. Во-первых, восстанавливающий фильтр имеет частоту среза чуть выше самой высокой частоты сообщения. Во-вторых, все частоты выше частоты среза подавляются фильтром полностью.
В нашем случае ни одно из предположений не является истинным (как и в большинстве случаев). Сообщение имеет частоту 2 кГц, но частота среза используемого ФНЧ равна 3 кГц. Таким образом, даже при частоте дискретизации 6000 Отсчетов/с (или при тактовой частоте 48 кГц), все равно будут появляться искажения, вызванные наложением спектра. Во-вторых, как вы уже видели ранее, изучая работу ФНЧ с частотами среза 1 кГц и 3 кГц, ослабление сигнала после частоты среза не крутое, а плавное. Другими словами, даже при частоте дискретизации выше 6 кОтсчетов/с (или тактовой частоте выше 48 кГц) все равно будут появляться искажения, вызванные наложением спектра.
Далее вам предстоит экспериментировать с настройками ФНЧ, чтобы подобрать подходящую частоту дискретизации.
35. Увеличивайте тактовые частоты ИКМ-кодера и ИКМ-декодера с интервалом 8 кГц (то есть, 40 кГц, 48 кГц, 56 кГц и т.д.), пока наложение спектра не исчезнет.
Примечание: Увеличивая тактовую частоту на 8 кГц, тем самым вы увеличиваете частоту дискретизации на 1000 Отсчетов/с.
36. Запишите частоту, при которой наложение спектра исчезло, в таблицу 1.
37. Рассчитайте и запишите частоту дискретизации ИКМ-кодера.
Таблица 1.
| Минимальная тактовая частота | Минимальная частота дискретизации |
Лабораторная работа № 6